Как сделать касательную в инвентаре
Обновлено: 07.07.2024
Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.
В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .
Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .
Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.
С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение: если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:
Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:
Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:
Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент.
– общее уравнение искомой касательной плоскости.
Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:
Ответ:
Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
И задание, интересное с технической точки зрения:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.
Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.
В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .
Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.
Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?
Перепишем её в неявном виде :
и по тем же принципам найдём частные производные:
Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:
, и соответственно, канонические уравнения нормали:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….
Решение: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:
аккуратно, не спешим:
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ:
И заключительный пример для самостоятельного решения:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)
Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие). Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.
Кроме того, в прикладных областях особую важность приобретает второй вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО? Например, та или иная команда языка программирования. В подобных определениях должен обязательно содержаться ответ на этот вопрос.
Однако ответ желательно найти в любом случае. Ну, с нашими примерами всё понятно, Чебурашка нужен, чтобы развлекать детей, а касательные плоскости и нормали – чтобы радовать взрослых =)
Эту статью я написал за один-единственный день (величайшая редкость), и надеюсь, она вам понравилась!
Традиционные решения и ответы:
Пример 2: Решение: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составим по формуле:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом:
(умножили обе части на –5)
– уравнение искомой касательной плоскости.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке :
– канонические уравнения искомой нормали.
Ответ:
Пример 3: Решение: преобразуем уравнение:
Вычислим частные производные в точке :
Запишем уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке :
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ: – уравнение искомой касательной плоскости;
– уравнения искомой нормали.
Пример 5: Решение: используем формулу:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
Уравнения нормали:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Autodesk Inventor 2016-2019
Не нашел темы в которой можно было бы обсудить вопросы проектирования деталей/узлов в этой программе.
Проектирую форму для литья свинцовых грузил с крючком. Нужно на внутреннюю часть полусферы нанести зеркальные цифры массы груза. В интернете есть несколько видео, но все они описывают нанесение "чертежа" на поверхность, то есть какие то линии, фигуры в виде прямоугольников, и др кривые. Текст же в моем случае не воспринимается программой как кривые. Может кто то знает как сделать?
покажите текст который пытаетесь нанести. Возможно он содержит самопересекающиеся или незамкнутые контуры. Попробуйте использовать специальный шрифт для гравировки надписей. Как вариант попробуйте разрушить надпись, тогда она должна стать вектором.
Текстом это сложно назвать. Нужно всего лишь две цифры, 1 и 4, то есть 14. Это маркировка массы груза. Создаю эскиз, рисую линию. Выбираю текст по линии, и пишу 14 и нажимаю кнопочку "выравнивание по центру". Как разрушить текст - не нашел. Возможно это помогло бы
Надо создать рабочую плоскость, касательную к цилиндрической\конической поверхности, на ней создать эскиз, затем инструментом "Рельеф" или "Emboss" выдавить в сторону нужной поверхности, можно поставить галочку "Деформировать".
В моем случае не получается так, т.к. поверхность вогнутая. Наверное надо всё заново делать, на детали сделать текст, и потом с помощью операции "комбинировать" получить форму с нужным текстом
Если расположить надпись по поверхности как в видео то есть вероятность что получатся поднутрения либо недостижимые области. Ну не будет же он гравировать на 4 осях эту надпись. Я бы расположил эскиз на верхней грани и вырезал его на глубину ниже самой низкой точки формы. Надеюсь меня правильно поняли.
Переделал грузило, добавил конусность, потому как в солидкаме абы что получается при чистовой. зарезы более 0,3 мм
Как сделать плоскость на таких поверхностях. Инвентор не может привязаться ни к чему чтобы даже точку поставить.
Вы можете выделить эту поверхность? Если да то касательную к этой поверхности. Либо смещением от любой другой плоскости или поверхности.
sima8520 писал(а): Переделал грузило, добавил конусность, потому как в солидкаме абы что получается при чистовой. зарезы более 0,3 мм
Как сделать плоскость на таких поверхностях. Инвентор не может привязаться ни к чему чтобы даже точку поставить.
Со сферической поверхностью можно создать плоскость касательную к поверхности и параллельную другой плоскости. Попробовал, работает.
По аналогии и в Инвенторе строится.
Хоть с сферической, хоть с конической в вакууме. В параметрах вырезания ставим до поверхности и указываем перебег за поверхность на глубину гравировки. И карманчик получается без поднутрений.
Вообще как мне кажется проще в солидкам запрограммировать гравировку. Загружаем модель, загружаем надпись в векторе и гравируем проецированием на целевую поверхность. Хотя чем больше я читаю темы по солдкаму тем больше он у меня вызывает отрицательные эмоции.
Касательная к окружности и ее свойства — важная тема. Без ее понимания нельзя перейти к более сложным вопросам — решению уравнений с касательной к графику функций, а ведь именно такие задания есть в тестах ОГЭ и ЕГЭ.
О чем эта статья:
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
- окружность с центральной точкой А;
- прямая а — касательная к ней;
- радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
∠АОС = 180° - ∠САО - ∠АСО = 180° - 90° - 28° = 62°
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° - ∠МКN) : 2 = (180° - 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ - ВС = 16 - 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у - R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° - ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Если кривая задана полярным уравнением то, переходя обычным образом к прямоугольным координатам, получаем параметрическое представление кривой в виде
причем роль параметра здесь играет .
В таком случае, по общей формуле (6),
Однако, если кривая исследуется в полярных координатах, обычно положение касательной определяют не углом а с полярной осью, а углом с продолженным радиусом-вектором (рис. 114 и 133). Мы имели уже [218, 4)] простую формулу
Точно так же вместо отрезков о которых была речь в 230, здесь рассматривают другие отрезки. Проведя через полюс О ось, перпендикулярную к радиусу-вектору (эта ось вращается при перемещении точки), продолжают касательную и нормаль до пересечения с ней, соответственно, в точках Т и Тогда отрезки и называются полярными отрезками касательной и нормали, а их проекции и на упомянутую ось - полярными подкасательной и поднормалью. Обозначать их будем, как и прежде, но помещая внизу в виде значка букву . Легко получить, используя формулу (8):
Читайте также: