Как сделать из обычного числа комплексное

Обновлено: 04.07.2024

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Решение. ;

Задача 1. Пусть и – пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность – мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.

Пример 2. Найти , .

Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Раскроем квадрат разности:

б) Раскроем куб суммы:

Можно было считать так: .

Пример 5. Найти частное , если .

Решение.

Пример 6. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

Запомним:

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат – его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Комплексно-сопряженное число – это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:

Задача 2. Доказать, что .

Модуль разности двух комплексных чисел – это расстояние между соответствующими точками:

Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа – это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .

Пример 7. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых

Решение. а) Так как , то заданное двойное неравенство можно переписать в виде: . Получили вертикальную полосу.

б) Так как , то заданное двойное неравенство перепишем в виде: . Получили горизонтальную полосу. Задачи в) и г) решить самостоятельно.

Пример 8. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль комплексного числа – это длина вектора, идущего из нуль-точки в точку , т.е. расстояние от начала координат до точки . Значит, в случае речь идет о геометрическом месте точек плоскости, равноудаленных от начала координат – это окружность (в данном случае радиус окружности равен 1). Можно было перевести задачу на язык декартовых координат:

б) Здесь речь идет о геометрическом месте точек, находящихся вне круга радиуса (с центром в начале координат).

в) точки находятся в кольце между окружностями радиуса и .

Пример 9. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль разности – это расстояние между точкой комплексной плоскости и точкой 1. Значит, речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных (на расстояние 1) от точки 1, – это окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). На языке координат:

б) Точки находятся одновременно в круге с центром в начале координат и в круге с центром, смещенным в точку : .

в) Это точки правой полуплоскости , лежащие внутри круга : .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргументом комплексного числа называют угол , который составляет вектор с положительным направлением действительной оси, . Этот угол определяется неоднозначно:

Здесь – главное значение аргумента, оно выделяется неравенствами (т.е. на комплексной плоскости проводится разрез по действительной оси влево от начала координат).

В первом столбце указан для числа , лежащего на действительной или мнимой оси, а во втором столбце - для всех остальных комплексных чисел.

Обозначим . Так как , , то комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

Два комплексных числа и , заданных в тригонометрической форме

в силу неоднозначности аргумента равны тогда и только тогда, когда , .

Пример 10. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.

Решение. Модули всех этих чисел одинаковы:

Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.

1) Точка лежит в первой четверти, значит,

В тригонометрической форме , здесь учтена - периодичность косинуса и синуса.

2) Точка лежит во второй четверти, значит,

3) Точка лежит в третьей четверти, значит,

4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

Для частного получаем формулу:

Пример 11. Найти произведение и частное чисел

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем:

Проверим результат, перемножая эти числа в алгебраической форме:

По формуле (2) находим

В алгебраической форме эта операция запишется так:

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

Пример 12. Вычислить 1) ; 2) .

Решение. 1) Выше мы получили запись комплексного числа в тригонометрической форме: . По формуле (3) находим . Этот же результат был получен выше в примере 4в) с помощью бинома Ньютона.

2) Прежде всего представим число в тригонометрической форме.

точка лежит в четвертой четверти, значит, . Поэтому

Остается воспользоваться формулой (3):

Раскрывая куб разности, получим тот же результат (проверьте!).

С её помощью легко получаются соотношения, выражающие синусы и косинусы кратных углов с и .

Пример 13. Выразить и через и .

Решение. Полагая в формуле Муавра , получим:

Слева раскроем куб суммы и соберем подобные члены:

Здесь учтено, что . Пришли к равенству двух комплексных чисел в алгебраической форме

которое справедливо в том и только в том случае, когда равны действительные и мнимые части этих чисел.

Равенство действительных частей дает ;

приравнивая мнимые части, получаем .

Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:

Будем считать, что здесь – главное значение аргумента числа .

Наша задача – по заданному числу (т.е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:

Здесь – корень -ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу

Полагая последовательно , получим различных значений :

Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Пример 14. Найти все значения корня -ой степени из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости, если

Решение. 1) Прежде всего, найдем модуль и аргумент комплексного числа : . Формула (5) для примет вид

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса, один корень – является действительным числом. Аргументы двух соседних точек отличаются на угол . Заметим, что .

2) Здесь : , поэтому

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность , корень является действительным числом. Заметим, что . Сравните с результатом пр.12.2, где получили , т.е. .

, откуда получаем два числа:

Запомним: .

Задача 3. Выполнить задания пр.14, если 1) , 2) .

Пример 15. Разложить на линейные множители квадратный трехчлен

Решение. 1) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант . Значит, действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями можем разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

2) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант , действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями разлагаем квадратный трехчлен на линейные множители:

Обращаем внимание на то, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет пару комплексно сопряженных корней.

Задача 4. Убедиться, что справедливы разложения на линейные множители

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера (будет доказана позже):

позволяет записать комплексное число в показательной форме:

Из формулы Эйлера и из - периодичности синуса и косинуса следует:

Пример 16. Числа записать в показательной форме.

Решение. В примере 10 нашли ,

Легко проверить справедливость соотношений:

Сравните эти соотношения с правилами умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример 17. Сравните комплексные числа и .

Решение. Из пр.16: . У чисел и модули равны. Выделяя в показателе числа слагаемое, кратное , представим в виде , так как множитель . Значит, .

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Больше. Основные параметры

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование комплексного в Microsoft Excel.

Описание

Преобразует коэффициенты при вещественной и мнимой частях комплексного числа в комплексное число в форме x + yi или x + yj.

Синтаксис

Аргументы функции КОМПЛЕКСН описаны ниже.

Действительная_часть — обязательный аргумент. Действительная часть комплексного числа.

Мнимая_часть — обязательный аргумент. Мнимая часть комплексного числа.

Мнимая_единица — необязательный аргумент. Обозначение мнимой единицы в комплексном числе. Если аргумент "мнимая_единица" опущен, используется суффикс "i".

Замечания

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно

Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно и мнимой единицей j

Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 0 и 1 соответственно

Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 1 и 0 соответственно

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида то есть те числа, которые используются человеком для счёта. В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел. Чтобы этого избежать, были придуманы целые числа и рациональные числа.

Потребность измерять величины и проводить операции вроде извлечения корня привела к расширению множества рациональных чисел — к нему добавились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе образовали множество действительных чисел.

Наконец, желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел.

Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Определение. Комплексными числами называются выражения вида , в которых и — некоторые действительные числа, а — символ, называемый мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обычно обозначается (от слова complex).
Введём понятие равенства и операции сложения и умножения для комплексных чисел.

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда и .
Суммой комплексных чисел и называется число

Обычно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего (пишут ). При этом число называется действительной частью числа и обозначается (от слова real); пишут или . Число называется мнимой частью числа и обозначается (от слова imagine); пишут .

Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел: любое действительное число можно представить в виде . Числа вида называются чисто мнимыми и обозначаются .

Пользуясь формулой (2), найдём

Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, так как она легко получается, если в произведении двучленов и заменить по формуле (3) на :

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и
Решение. Пользуясь формулой (1), находим сумму:

Учитывая, что , находим произведение:

Свойства операций над комплексными числами

Коммутативность сложения: для любых комплексных чисел и .
Ассоциативность сложения: для любых комплексных чисел , и .
для любого комплексного числа .
Для любых комплексных чисел и существует комплексное число такое, что . Это число называется разностью комплексных чисел и и обозначается .
Коммутативность умножения: для любых комплексных чисел и .
Ассоциативность умножения: для любых комплексных чисел , и .
Закон дистрибутивности: для любых комплексных чисел , и .
для любого комплексного числа .
Для любых двух комплексных чисел и , , существует число такое, что . Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается .

Все эти свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Докажем здесь свойство 9.

Пусть , , (неравенство числа нулю означает, что хотя бы одно из чисел и не равно нулю), . Тогда равенство записывается так: Приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что числа и удовлетворяют системе уравнений:

Эта система уравнений имеет единственное решение

Эту формулу можно не запоминать. Далее мы покажем более простой способ нахождения частного двух комплексных чисел.

Определение. Пусть задано комплексное число . Число называется комплексно сопряжённым числу и обозначается .

Произведение комплексных чисел — всегда действительное число, большее нуля. Действительно, пусть , тогда

Покажем теперь простой способ для нахождения частного двух комплексных чисел.

Здесь мы умножили числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В результате в знаменателе получилось действительное число.

Решение. Находим разность:

Частное находим, домножая числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю:

Урок состоит из следующих параграфов:
1) Понятие комплексного числа.
2) Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.
3) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
4) Возведение комплексных чисел в степень.
5) Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Читайте также: