Как сделать из многоугольника прямоугольник

Обновлено: 04.07.2024

Раздел из полигона представляет собой совокупность примитивных единиц (например , квадраты), которые не перекрывают друг друга и объединение которых составляет многоугольник. Проблема полигона раздела является задача поиска раздела , который является минимальным в некотором смысле, например , разбиение с наименьшим числом единиц или единиц наименьшей общей боковой длины.

Разбиение полигонов - важный класс задач вычислительной геометрии . Существует множество различных проблем разбиения многоугольника, в зависимости от типа разбиваемого многоугольника и от типов единиц, разрешенных в разбиении.

СОДЕРЖАНИЕ

Приложения

Разложение по полигонам применяется в нескольких областях:

Методы распознавания образов извлекают информацию из объекта, чтобы описать, идентифицировать или классифицировать его. Установленная стратегия распознавания общего многоугольного объекта состоит в том, чтобы разложить его на более простые компоненты, затем идентифицировать компоненты и их взаимосвязи и использовать эту информацию для определения формы объекта.
При обработке данных графического объекта СБИС макеты представляются в виде многоугольников, и один из подходов к подготовке к электронно-лучевой литографии состоит в том, чтобы разложить эти области многоугольников на фундаментальные фигуры. Разложение по полигонам также используется в процессе разделения области маршрутизации на каналы.
В вычислительной геометрии алгоритмы решения проблем с общими многоугольниками часто более сложными, чем алгоритмы для ограниченных типов многоугольников, таких как выпуклые или звездообразные. Проблема включения точки является одним из примеров. Стратегия решения некоторых из этих типов проблем на общих многоугольниках состоит в том, чтобы разложить многоугольник на простые составные части, решить проблему для каждого компонента с помощью специального алгоритма, а затем объединить частичные решения.
Другие приложения включают в себя сжатие данных , системы управления базами данных , обработки изображений и компьютерную графику .

Разбиение многоугольника на треугольники

Наиболее хорошо изученная проблема разбиения многоугольника - это разбиение на наименьшее количество треугольников, также называемое триангуляцией . Для многоугольника без отверстий с вершинами триангуляцию можно рассчитать во времени . Для многоугольника с отверстиями существует нижняя граница . п Θ ( п ) Ω ( п бревно ⁡ п )

Связанная с этим проблема - разбиение на треугольники с минимальной общей длиной ребра, также называемое триангуляцией минимального веса .

Разбиение многоугольника на псевдотреугольники

Те же два варианта задачи были изучены для случая, когда куски должны быть псевдотреугольниками - многоугольники, которые, как и треугольники, имеют ровно три выпуклые вершины. Возможны следующие варианты: разбиение на наименьшее количество псевдотреугольников и разбиение на псевдотреугольники с минимальной общей длиной ребра.

Разбиение прямолинейного многоугольника на прямоугольники

Особое подсемейство проблем разбиения многоугольника возникает, когда большой многоугольник является прямолинейным многоугольником (также называемым ортогональным многоугольником). В этом случае наиболее важной формой компонента, которую следует учитывать, является прямоугольник .

Прямоугольные перегородки имеют множество применений. При проектировании СБИС необходимо разбивать маски на более простые формы, доступные в генераторах литографических узоров, и аналогичные проблемы декомпозиции масок также возникают при проектировании микрочипов ДНК . Прямоугольные разделы могут упростить операции свертки при обработке изображений и могут использоваться для сжатия растровых изображений . Тесно связанные задачи разложения матрицы применялись при планировании лучевой терапии , а прямоугольные перегородки также использовались для разработки последовательностей самосборки роботов .

Минимизация количества компонентов

Задача минимизации количества составляющих прямоугольников является полиномиальной: известно несколько алгоритмов с полиномиальным временем. Смотрите и для обзоров.

Задача разбиения прямолинейного многоугольника на наименьшее количество квадратов (в отличие от произвольных прямоугольников) является NP-сложной .

Минимизация общей длины кромки

В некоторых случаях более важно минимизировать общую длину разрезов (например, чтобы минимизировать стоимость выполнения перегородки или минимизировать количество пыли). Эта проблема называется прямоугольным разбиением с минимальной длиной ребра . Впервые она была изучена Лингасом, Пинтером, Ривестом и Шамиром в 1982 году. Сложность во время выполнения этой проблемы в решающей степени зависит от того, может ли необработанный многоугольник иметь дыры.

Если необработанный многоугольник может иметь дыры , даже если это вырожденные дыры (то есть одиночные точки), проблема NP-трудная. Это может быть доказано сокращением из Planar SAT . Для случая, когда все отверстия являются одиночными точками, было разработано несколько приближений постоянного множителя:

A (3 + sqrt (3)) приближение по времени ; О ( п 2 ) )>
A (3 + sqrt (3)) приближение по времени ; О ( п бревно ⁡ п ) )>
4-х приближенное приближение по времени (в более общем плане, в размерностях d , это приближение по времени ), О ( п бревно ⁡ п ) )> 2 d О ( d п бревно ⁡ п ) )>
3 приближения по времени ; О ( п 4 ) )>
1.75 аппроксимация по времени (в более общем смысле, в измерениях d это приближение по времени ); последнее приближение использует ограниченный вариант задачи, называемый гильотинным разбиением , в котором разрезы должны быть гильотинными разрезами ( разрезами от края до края). О ( п 5 ) )> 2 d - 4 + 4 / d О ( d п 2 d + 1 ) )>
Несколько схем полиномиальной аппроксимации с использованием сложных гильотинных разрезов.

Минимизация количества заготовок

Если большой многоугольник является прямоугольником, то при любом максимальном расположении n прямоугольников все отверстия будут прямоугольниками, и их количество не больше , и это мало. п - ⌈ 2 п - 1 ⌉ > - 1 \ rceil>
Если большой многоугольник представляет собой прямолинейный многоугольник с T рефлексными вершинами, то при любом максимальном расположении из n прямоугольников отверстия могут быть разбиты не более чем на прямоугольники, и это непросто. Т + п - ⌈ 2 п - 1 ⌉ > - 1 \ rceil>

Разбиение многоугольника на трапеции

В системах обработки изображений СБИС часто требуется разделить многоугольную область на минимальное количество трапеций с двумя горизонтальными сторонами. Треугольник с горизонтальной стороной считается трапецией с двумя горизонтальными сторонами, одна из которых вырождена. Для многоугольника без дырок со сторонами такое разбиение наименьшего размера можно найти за время . п О ( п 3 ) )>

Если количество трапеций не должно быть минимальным, трапеция может быть найдена во времени как побочный продукт алгоритма триангуляции многоугольника . О ( п )

Если многоугольник действительно содержит дыры, проблема NP-полная, но можно найти 3-аппроксимацию во времени . О ( п бревно ⁡ п )

Разбиение многоугольника на выпуклые четырехугольники

Quadrilateralization или quadrangulation является разбиение на четырехугольники .

Повторяющейся характеристикой задач четырехугольника является то , разрешены ли они точки Штейнера , т. Е. Разрешено ли алгоритму добавлять точки, которые не являются вершинами многоугольника. Разрешение точек Штейнера может позволить меньшие деления, но тогда гораздо труднее гарантировать, что деления, найденные алгоритмом, имеют минимальный размер.

Существуют алгоритмы линейного времени для четырехугольников многоугольников без дырок с точками Штейнера, но они не гарантируют нахождение наименьшего разбиения.

Разбиение многоугольника на m -угольники

Обобщением предыдущих задач является разбиение на многоугольники, которые имеют ровно m сторон или не более m сторон. Здесь цель - минимизировать общую длину кромки. Эта проблема может быть решена за время, полиномиальное от n и m .

Разбиение многоугольника на выпуклые многоугольники

При разбиении общего многоугольника на выпуклые многоугольники были изучены несколько целей.

Минимизация количества компонентов

Задача оптимального выпуклого разбиения состоит в том, чтобы разбить невыпуклый многоугольник на как можно меньше выпуклых многоугольников , используя только исходные вершины многоугольника. Существуют точные и приблизительные алгоритмы решения этой задачи.

Минимизация количества заготовок

Выравнивание площади и периметра

Задача разбиения справедливого многоугольника состоит в том, чтобы разбить (выпуклый) многоугольник на (выпуклые) части с равным периметром и равной площадью (это частный случай правильного разрезания торта ). Любой выпуклый многоугольник можно легко разрезать на любое количество n выпуклых частей с площадью ровно 1 / n . Однако добиться того, чтобы детали имели одинаковую площадь и равный периметр, сложнее. Существуют алгоритмы решения этой задачи при количестве штук в степени двойки.

Обобщение этой проблемы состоит в том, что меры площади и периметра заменяются мерой на теле и на границе многоугольника соответственно. Эта проблема прорабатывалась на 2 и 3 штуках.

Существует еще одно обобщение, позволяющее обрабатывать любое количество мер.

Более общие формы компонентов

Были изучены более общие формы частей, включая спиральные формы, звездообразные многоугольники и монотонные многоугольники . См. Обзор.

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника ABCDE равен:

AB + BC + CD + DE + EA.

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n - 2,

где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Геометрические фигуры для дошкольников могут быть сложным материалом, если подать его не правильно. Язык геометрических фигур состоит из простых элементов, из которых можно даже составлять рисунки. В игровой форме можно изучить, чем похожи все фигуры, составить рисунок из многоугольников и треугольников. Виды прямоугольников, изображения треугольной пирамиды, составленные из фигур рисунки и другие картинки для изучения материала можно скачать в этой статье.

Картинка из прямоугольников.

Рисунок из многоугольников.

Виды фигур по геометрии.

Паровоз из треугольников, кружков и прямоугольников.

Язык геометрических фигур.

Назови многоугольники.

Для класса.

Треугольная пирамида.

Подпиши названия этих фигур.

Виды четырёхугольников.

Простой рисунок для детского сада.

Какая фигура лишняя?

Составить рисунок из геометрических фигур не сложно.

Цветными карандашами.

Раскраска.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Разрезные картинки для дошкольников.

Многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.

Периметр многоугольника – это сумма всех его сторон.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, из каких элементов состоят некоторые геометрические фигуры и как их изобразить на плоскости. Сегодня мы рассмотрим многоугольник.

Ломаная линия лежит в основе построения многоугольника.

Построим ломаную. Для этого отметим на плоскости несколько точек – например, пять. Соединим их так, чтобы никакие два из отрезков, имеющих общие точки, не лежали на одной прямой. Полученная фигура и будет ломаной, которую обозначают A, B, C, D, E.

Отрезки АВ, ВС, СD,DE называются звеньями ломаной. У ломаной, которую мы изобразили, четыре звена.

Если измерить длину каждого звена и найти их сумму, то получится длина ломаной.

Измерим длину ломаной.

Сумма длин всех звеньев равна:

АВ + ВС + СD + DЕ = 14 см – длина ломаной

Теперь нарисуем ломаную таким образом, чтобы её конец совпадал с началом. Получается замкнутая ломаная A, B, C, D, E, А.

Фигуру, образованную таким образом, называют многоугольником. То есть многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.

Стоит помнить, что многоугольником является как замкнутая линия, так и эта линия вместе с плоскостью внутри неё.

Такие звенья называются сторонами многоугольника. В нашем случае это стороны АВ, ВС, СD,DE, ЕА.

Углы, образованные двумя соседними сторонами, называют углами многоугольника, а их вершины – вершинами многоугольника.

∠А, ∠В, ∠С, ∠D, ∠E – углы многоугольника

Точки А, В, С, D, E – вершины многоугольника

Кроме того, у многоугольника есть ещё и диагонали.

Диагональ – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника. АС, СЕ – диагонали.

Сумма всех сторон многоугольника составляет периметр многоугольника.

P = АВ + ВС + СD + DЕ + ЕА

Рассмотрим разновидности многоугольников.

Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Например, многоугольник ABCDE – выпуклый. А многоугольник MNKLO – нет.

По числу сторон многоугольники делятся на треугольники, пятиугольники и так далее.

Кроме того, многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называют правильными. Например, квадрат.

Многоугольники можно сравнить путём наложения. Если они полностью накладываются друг на друга, то считаются равными. При этом стоит помнить, они имеют одинаковые площади.

Для определения площади многоугольника надо выяснить, сколько раз выбранная единица измерения содержится в этой фигуре.

Не только человек может рисовать многоугольники. Природа тоже создаёт многоугольники в большом разнообразии. Рассмотрим, где они встречаются. Например, шестиугольники можно увидеть в сотах пчёл и – под микроскопом – в строении глаза мухи или некоторых других насекомых.

Панцирь черепахи тоже изобилует большим количеством многоугольников. Как и кожа змеи: она буквально покрыта многоугольниками. В общем, природа постаралась и разнообразила мир геометрическими фигурами.

Тренировочные задания

№ 1. Чему равен периметр правильного шестиугольника со стороной 4 см?

Решение: для решения этой задачи достаточно вспомнить, что в правильных фигурах все стороны равны, следовательно, все стороны шестиугольника равны 4 см. Вычислим периметр шестиугольника, это сумма всех его сторон.

Р = 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см = 24 см

№ 2. Из листа железа размером 10 × 14 см вырезали два квадрата со стороной 4 см и три прямоугольника со сторонами 2см и 6см. Определите площадь остатка.

Презентация на тему: " Математика Прямоугольник. Квадрат. Многоугольник.." — Транскрипт:

1 Математика Прямоугольник. Квадрат. Многоугольник.

3 Виды ломаных Простая ломаная это ломаная, которая не имеет самопересечений Замкнутая ломаная ломаная, у которой совпадают концы.

4 Многоугольник – это простая замкнутая ломаная. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, звенья ломаной – сторонами многоугольника.

5 Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон. А Р = АВ + ВС + СD + + DF + FА F В D С

6 ЗАДАЧА 1 Одна из сторон четырехугольника равна 5 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислить периметр четырехугольника Ответ: 32 см

7 ПРЯМОУГОЛЬНИК А В D С АВСD – прямоугольник А = В= С= D= 90 АВ = СD – длина, ВС = АD – ширина Р = 2(a +b), S = a×b

8 КВАДРАТ А В D С АВСD – квадрат А = В= С= D= 90 АВ = ВС = СD = АD P = 4a, S = a×а

9 Задача 2 Длина прямоугольника 14 см, что на 5 см больше ширины. Найдите периметр и площадь прямоугольника. Ответ : 46 см, 126 см 2

10 Задача 3 Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6см, 7 см. Ответ: 24 см 5 мм.

11 Задача 4 Одна из сторон четырехугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья – на 7 см меньше второй стороны и на 9 см больше четвертой. Вычислите периметр четырехугольника. Ответ : 57 см.

13 1.Что называется многоугольником? 2.Как найти периметр многоугольника? 3.Как найти периметр прямоугольника? 4.Как найти периметр квадрата?

Читайте также: