Как сделать из многочлена разность одночлена и многочлена

Обновлено: 07.07.2024

Два подобных одночлена можно сложить, и их сумма — это одночлен подобный слагаемым, с числовым коэффициент равным сумме числовых коэффициентов слагаемых. Так сложить можно только подобные одночлены. Сумма неподобных одночленов — это не одночлен, а многочлен.
3 × a 5 × b 4 + 7,3 × a 5 × b 4 =
= 10,3 × a 5 × b 4

Как умножить одночлен на одночлен

Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных сложить. Перемножить можно любые два одночлена — и подобные и неподобные.

7 × a 3 × b 4 × 2 × a × b 5 =
14 × a 4 × b 9

Как разделить одночлен на одночлен

Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных вычесть.

(21 × a 4 × b 5 ) : (3 × a 2 ) =
7 × a 2 × b 5

Как умножить одночлен на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена.

3 × a × b × [ 7 × a 3 × b 4 + 2 × a × b 5 × y ] =
21 × a 4 × b 5 + 6 × a 2 × b 6 × y

Как разделить многочлен на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

[ 12 × a 3 × b 5 × x - 33 × a × b 3 × y ] : (3 × a × b) =
[ 4 × a 2 × b 4 × x - 11 × b 2 × y

Как умножить многочлен на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 - 7 × x 5 ] =
=[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 ] - [ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 7 × x 5 ] =
= 6 × a 4 × b 2 × x + 15 × a × b 4 × x 3 - 14 × a 3 × x 6 - 35 × b 2 × x 8

Деление многочлена на многочлен Пример 1

Сейчас я покажу, как делить многочлен на многочлен в столбик. Обращаю ваше внимание на то, что не всякие два многочлена делятся один на другой. В этом видео специально подобраны пары многочленов, которые делятся один на другой. Также обращаю внимание на то, что для удобства деления слагаемые в многочленах нужно располагать в порядке убывания степеней — здесь в примерах слагаемые будут уже расставлены в нужном порядке. Чтобы поделить многочлены, нужно циклично повторять четыре действия: подели, занеси, умножь, вычти.

Пример 1: (12 × a 5 + 13 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a) : (4 × a 2 + 3 × a)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (12 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается 3 × a 3 . Заносим 3 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на 3 × a 3 — получается 12 × a 5 + 9 × a 4 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся 4 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (4 × a 4 ) : (4 × a 2 )— получается a 2 . Заносим a 2 в ответ ( + a 2 ). Умножим весь делитель на a 2 — получается 4 × a 4 + 3 × a 3 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 12 × a 2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (12 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается 3. Заносим 3 в ответ ( + 3). Умножим весь делитель на 3 — получается 12 × a 2 + 9 × a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно 3 × a 3 + a 2 + 3.

Деление многочлена на многочлен Пример 2

(-28 × a 5 + 24 × a 4 — 35 × a 3 — 6 × a 2 — 45) : (4 × a 2 + 5)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (-28 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается -7 × a 3 . Заносим -7 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -7 × a 3 — получается -28 × a 5 — 35 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое под соответствующей степенью делимого.Вычтем произведение из делимого — остаётся 24 × a 4 — 6 × a 2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (24 × a 4 ) : (4 × a 2 ) — получается 6 × a 2 . Заносим 6 × a 2 в ответ ( + 6 × a 2 ). Умножим весь делитель на 6 × a 2 — получается 24 × a 2 + 30 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся -36 × a 2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-36 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается -9. Умножим весь делитель на -9 — получается -36 × a 2 — 45. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -7 × a 3 + 6 × a 2 — 9.

Деление многочлена на многочлен Пример 3

Пример 3: (54 × a 6 — 63 × a 5 + 42 × a 4 + 185 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72) : (-9 × a 3 + 8 × a — 8)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (54 × a 6 ) : (-9 × a 3 ) — получается -6 × a 3 . Заносим -6 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -6 × a 3 — получается 54 × a 6 — 48 × a 4 + 48 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся -63 × a 5 + 90 × a 4 + 137 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-63 × a 5 ) : (-9 × a 3 ) — получается 7 × a 2 . Заносим 7 × a 2 в ответ ( + 7 × a 2 ). Умножим весь делитель на 7 × a 2 — получается -63 × a 5 + 56 × a 3 — 56 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 90 × a 4 + 81 × a 3 — 80 × a 2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (90 × a 4 ) : (-9 × a 3 ) — получается (-10 × a). Заносим (-10 × a) в ответ ( — 10 × a). Умножим весь делитель на ( — 10 × a) — получается 90 × a 4 — 80 × a 2 + 80a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 81 × a 3 — 72 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (81 × a 3 ) : (-9 × a 3 ) — получается -9. Заносим -9 в ответ ( -9). Умножим весь делитель на (-9) — получается 81 × a 3 - 72 × a + 72. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -6 × a 3 + 7 × a 2 - 10 × a - 9.

Одночлены - произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы, входящие в состав многочлена называются – члена многочлена.

Так членами многочлена 5ху+у-10 являются 5ху; у; -10.

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом:

5x 2 y – 7a 3 b 4; y+5b 6 ; 7a 3 +13с 5 .

Если из трех – трехчленом:

Договорились рассматривать одночлен как частный случай многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена:

2x 3 ; 3 ; 0 ; 7x 5 y.

Если среди одночленов, составляющих многочлен есть подобные, то их принято называть подобными членами многочлена.

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Подобное преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количеством членов.

Сумма и разность многочленов.

Для того, чтобы преобразовать сумму и разность многочленов в многочлен стандартного вида, надо:

1) раскрыть скобки;

2) привести подобные члены

Раскрытие скобок аналогично раскрытию скобок при действиях с числами. Если перед скобками стоит "+", слагаемые сохраняют знаки, если "-" - знаки меняются на противоположные.

(подобные многочлены для удобства разбора выделены цветом)

Умножение и деление многочлена.

Каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить (с учетом знаков слагаемых).

Деление многочлена на одночлен производится по аналогичному правилу.

Деление многочленов выполняется "углом", если степень многочлена-делимого не меньше степени многочлена делителя.

Стоило только разобраться с одночленами, как неугомонная алгебра принесла нам новое испытание. Многочлены — кто они такие, стоит ли их опасаться и что предпринимать при встрече с ними лицом к лицу в 7 классе.

О чем эта статья:

Определение многочлена

Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

Рассмотрим примеры многочленов:

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

10x − 3x 2
10x — одночлен
−3x 2 — одночлен

Этот же многочлен можно записать вот так:

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x − 3x 2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

Такие выражения состоят из свободных членов.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Дан многочлен 2x + 5x − 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy 2 + x − xy 2

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

3x и x — подобные слагаемые.
5xy 2 и −xy 2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy 2 + x − xy 2 = 4x + 4xy 2 .

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

Приводим многочлен к стандартному виду.
Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

6x и x — подобные слагаемые
4xy 2 и xy 2 — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy 2 + x + xy 2 = 7x + 5xy 2 .

Степень первого одночлена (7x) — 1.
Степень второго одночлена (5xy 2 ) — 3.
Наибольшая из двух степеней — 3.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy 2 — многочлен третьей степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx 2 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x

Приведем его к стандартному виду: 6xx 3 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x = 6x 4 + 5x 3 − 3x 4 − 3x 3

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

5x 3 и −3x 3 — подобные слагаемые.
6x 4 и −3x 4 — подобные слагаемые.
6x 4 + 3x 3 − 3x 4 − 3x 3 = 3x 4 − 2x 3
6xx 3 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x — многочлен четвертой степени.

Практика

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy 2 + x − xy 2 .

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

4x и x — подобные слагаемые.
6xy 2 и −xy 2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy 2 + x − xy 2 = 5x + 5xy 2 .

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy 2 . Данный многочлен — многочлен второй степени.

Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x 2 y 3 − xy 3 − x 4 − x 2 y 3 + xy 3 + 2x 4 .

Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x 2 y 3 − xy 3 − x 4 − x 2 y 3 + xy 3 + 2x 4 = (−x 4 + 2x 4 ) + (2x 2 y 3 − x 2 y 3 ) + (− xy 3 + xy 3 ) = x 4 + x 2 y 3 + 0 = x 4 + x 2 y 3 .

Многочлен приведен к стандартному виду.

Ответ: x 4 + x 2 y 3

Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy 2 − x + xy 2 .

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

8x и −x — подобные слагаемые.
8xy 2 и xy 2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy 2 − x + xy 2 = 7x + 9xy 2 .

Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy 2 , данный многочлен — многочлен третьей степени.

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Урок повторения и , обобщения и систематизации знаний по данной теме.

Вложение	Размер
urok_algebry_7_klpovtorenie_tem_summa_i_raznost_mnogochlenov_umnozhenie_odnochlena_na_mnogochlen.doc	404 КБ

Предварительный просмотр:

Урок алгебры в 7 классе

- повторить правила сложения и вычитания многочленов, умножения одночлена на многочлен, вынесения общего множителя за скобки;

-закрепить умения и навыки учащихся по данной теме и подготовить их к выполнению контрольной работы;

- развивать умение работать самостоятельно;

- учить контролировать и оценивать свою работу;

- развивать быстроту мысли;

- воспитывать любовь к предмету.

I. Организационный момент.

- Проверка готовности учащихся к уроку.

III. Работа по теме урока.

1. Проверка готовности к автопробегу.

- На обратной стороне автомобиля написаны задания. Сдадите экзамены и получите личную карточку водителя – водительский талон.

Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:

Данные выражения не являются одночленами — в первом у нас представлена сумма одночленов $2a$ и $b^$, а во втором — их разность.

Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто — такие примеры называют многочленами.

Многочлены — это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.

Упрощение многочленов

Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

Многочлены состоят из одночленов, которые, в свою очередь, называются членами многочлена. Таким образом, в выражении $11x-2x$ всего 2 одночлена: $11x$ и $-2x$. Многочлены, которые состоят из 2 членов, называются двучленами, а состоящие из 3 — трехчленами. Если в примере содержится обычное число без переменных, то его называют свободным членом многочлена.

В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой — с меньшим количество членов.

Стандартный вид многочленов

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

Мы можем получить выражение стандартного вида:

Степень многочлена

Рассмотрим многочлен стандартного вида:

Данное выражение составлено из одночленов: $2x^y$, $-x^y^$, $5x^y$, $y$ и $-2$. Их степени соответственно равны числам $4$, $4$, $3$, $1$, $0$. Наибольшая степень из этих степеней равна числу $4$, поэтому в таком случае говорят, что степень всего многочлена равна $4$.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

$\color3x^-xy+5y^$ — степень равна двум

$\color 3x^y^$ — степень равна шести

$\color 3$ — степень равна нулю

Коэффициенты многочленов

Зачастую многочлен состоит из множества частей, каждая из который имеет свой коэффициент. Они указываются перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена будет равен $1$. Рассмотрим на примере:

Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

Нуль-многочлены

Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

Читайте также: