Как сделать из эллипса дугу

Добавил пользователь Morpheus
Обновлено: 05.10.2024

Эллипса так же как окружность имеет центр, но у него больший радиус по главной оси и более короткий радиус по малой оси. Можно создать эллипсы или эллиптические дуги любого размера.

Создание эллипсов из центральной точки и радиусов перпендикулярных осей:

  1. Нажмите Нарисовать > Эллипс > Центр (или введите Ellipse, а затем укажите параметр Центр).
  2. В графической области нажмите, чтобы определить:
    1. Начальную точку оси.
    2. Конечную точку оси.
    3. Радиус перпендикулярной оси или укажите параметр:
      • Значение конечной точки оси.
      • Поворот для указания эллипса через угол, определенный соотношением большой и малой осей. Можно указать угол от 0 до 89,9°. Чем больше угол, тем более плоским будет эллипс.

    Создание эллипсов из оси, определенной его конечными точками, и радиуса перпендикулярной оси:

    Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

    Определение и элементы эллипса

    Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

    Характеристики эллипса


    По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

    Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

    Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

    Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

    Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

    Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

    Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

    Основные свойства эллипса

    имеются две оси и один центр симметрии;

    при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

    все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

    Уравнение эллипса

    Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

    Эллипс

    Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

    а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

    c – половина фокального расстояния;

    M(x;y) – произвольная точка линии.

    В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

    100

    101

    После ввода ещё одного обозначения

    получается наиболее простой вид уравнения:

    a 2 b 2 - a 2 y 2 - x 2 b 2 = 0,

    a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

    Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

    В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

    Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.


    Площадь эллипса

    Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

    Площадь эллипса

    a – большая полуось, b – малая.

    Площадь сегмента эллипса

    Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

    108

    Длина дуги эллипса

    Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

    109

    Радиус круга, вписанного в эллипс

    В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

    Радиус круга, описанного вокруг эллипса

    Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

    Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.


    Как построить эллипс

    Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

    Построение эллипса

    110

    Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

    111

    Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

    Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

    При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.


    Построение дуги окружности. Произвольная дуга, дуга по трем точкам, дуга касательная к кривой.

    Программа “Компас 3D” располагает несколькими методами, позволяющими построить дугу окружности различных типов. Включая произвольную дугу, дугу по трём точкам, дугу касательно к кривой, дугу по двум точкам, дугу по двум точкам и углу раствора. Данная статья ознакомит вас с некоторыми методами. Которые позволят получить дугу окружности.

    Произвольная дуга окружности.

    Для того, чтобы построить произвольную дугу, вам нужно нажать кнопку “Дуга” в панели компакта или найти её в меню сверху. Где оно скрыто за командами “Инструменты” – “Геометрия” – “Дуги” – “Дуга”.

    С помощью указателя мышки вы сначала можете задать начало дуги и её центральную точку. Также вы сможете ввести положение точки начала дуги в свойственной панели. После того, как зададите размеры угла и радиуса или диаметра в нужных пунктах меню. По умолчанию задаются параметры радиуса. Итак, перейдём к постановке дуги, имеющей центр в начале координатной оси. Начальная точка указывается с учётом радиуса в 30 мм и угла в 150 градусов. После ввода данных, вам нужно будет нажать клавишу ввода или переноса.

    После этого с помощью курсора или введя значение угла, вы указываете координаты точки, где будет заканчиваться дуга. Например, можем задать угол в 10 градусов.

    После нажатия клавиши ввода, дуга будет строиться автоматически.

    По умолчанию построение дуги заданно как построение против часовой стрелки.

    Если вы желаете задать обратное направление. В панели свойств есть отдельный пункт меню, где вы сможете ввести изменения в установки по умолчанию, как на картинке выше.

    Дуга по трем точкам.

    Для того, чтобы построить дугу с трема точками, вам нужно нажать кнопку “Дуга по 3 точкам”. Которая находится в панели компактного меню или же сверху в меню. Где нужно последовательно нажать на пункты “Инструменты” – “Геометрия” – “Дуги” – “Дуга по 3 точкам”.

    С помощью курсора мыши, вы получите возможность последовательного указания токи, где дуга будет начинаться, точки, через которую дуга должна проходить (такой точкой может быть, например, вершина прямоугольника), а также точки, в которой дуга будет заканчиваться. В данном случае система сможет самостоятельно просчитать координаты центральной точки и радиус дуги.

    Дуга касательная к кривой.

    Для того, чтобы построить касательную к кривой линии дугу, вам нужно нажать кнопку “Дуга касательная к кривой”. В компактной панели, или же в меню сверху, где вам предстоит нажать команды “Инструменты” – “Геометрия” – “Дуги” – “Дуга касательная к кривой”.

    Вам нужно задать точку, через которую пройдёт будущая дуга, а также точку, где дуга будет заканчиваться, с помощью курсора мыши. Система способна рассчитать по умолчанию, какими будут радиус и координаты центральной точки дуги. Начало дуги будет лежать в точке соприкосновения.

    После того, как вы укажете точки, экран покажет вам фантомные варианты различных возможностей и вариантов построения дуги. Вам нужно будет выбрать тот, который подходит именно вам. Далее вы должны будете зафиксировать данный вариант с помощью курсора. В завершение построения нужно нажать кнопки “Создать объект” и “Прервать команду”.

    Если вы знаете радиус, предписанный касательной дуге, у вас есть возможность ввода его в нужное поле панели свойств.

    К примеру, можем заняться построением дуги касательной к прямоугольнику с радиусом в 50 мм.

    После того, как вы закончили ввод значений в ячейки, вам нужно нажать клавишу ввода. Экран опять покажет фантомные варианты построения дуг.

    Как и раньше, нужно выбрать соответствующий вам вариант и зафиксировать его.

    Стоит помнить о том, что не всегда является возможным построение дуги касательной с помощью указания радиуса. О том, что это невозможно, вам сообщит исчезновение всех фантомных вариантов после того, как вы введете желаемый радиус.

    Пока что, это всё. Существуют и другие способы построения дуг, которые мы покроем в следующих уроках.

    Построение дуги окружности. Дуга по двум точкам, дуга по двум точкам и углу раствора.

    Дуга по двум точкам.

    Для начала в нужном поле в свойственной панели от вас требуется ввести значение радиуса либо диаметра (к примеру, радиус в 100 мм) и нажать кнопку ввода.

    С помощью курсора или же в свойственной панели указываете координаты начала и конца дуги. Экран отобразит фантомные варианты построения.

    Если вы хотите построить дугу по диаметрально противоположным точкам, то радиус и диаметр программа рассчитает самостоятельно.

    Дуга по двум точкам и углу раствора.

    В свойственной панели для начала нужно ввести значение угла (к примеру, 220 градусов) и нажать клавишу ввода.

    Потом вам нужно указать положение начала и конца дуги. Координаты могут указываться с помощью курсора либо введя их в нужные поля свойственной панели.

    Нами были рассмотрены все возможности построения дуг в “Компас 3D”. Далее мы разберёмся, как строить эллипсы.

    Построение эллипса.

    В программе “Компас 3D” у вас есть несколько возможностей построить эллипс:

    • произвольный эллипс
    • эллипс с указанием диагонали прямоугольника
    • центра и вершины прямоугольника
    • центра, середины стороны и вершины параллелограммы
    • эллипс с указанием трёх вершин параллелограмма
    • центра и трёх точек
    • с касанием двух кривых линий.

    Первые три метода будут рассмотрены в данной статье.

    Произвольный эллипс.

    Для начала с помощью курсора вам нужно задать точку центра эллипса. Также её координаты можно ввести в свойственной панели.

    Далее вам стоит указать конечные точки расположения двух полуосей с помощью курсора либо свойственной панели. При постройке эллипса с центральной точкой в пересечении координатной оси вы можете указать в свойственной панели длину полуосей

    Для примера задаём длину первой оси как 100 мм, а второй – 50 мм и после каждого завершённого ввода жмём клавишу ввод.

    Значение угла наклона первой оси к оси абсцисс программа способна рассчитать автоматически, но также мы имеем возможность введения его значения, при условии, что оно известно. Например, введём угол 45 градусов и нажмём клавишу ввода.

    В результате эллипс поворачивается на необходимое значение угла. Для того, чтобы отрисовать оси, свойственная панель располагает соответствующей опцией. Для эллипса при постройке устанавливается любой стиль линии.

    Эллипс по диагонали габаритного прямоугольника

    Как пример, для построения можно начертить произвольный прямоугольник. Если имеется значение угла наклона первой полуоси эллипса к оси абсцисс используемой координатной системы, его можно ввести в нужное поле свойственной панели (по умолчанию значение нулевой). Далее мы можем задать начало и конец диагоналей прямоугольника, который будет описываться вокруг эллипса.

    Размеры полуосей рассчитываются программой.

    Эллипс по центру и вершине габаритного прямоугольника.

    Как и раньше, мы можем начертить произвольный прямоугольник и провести его диагонали. Также у нас есть возможность задания угла, но в этом случае давайте разберём построение по умолчанию. Для начала нужно нажать кнопку «Эллипс по центру и вершине прямоугольника” и указать центр и вершину прямоугольника, в который будет вписан создаваемый эллипс.

    Длины полуосей программа способна рассчитать самостоятельно. Для начала этого хватит, прочие методы построения эллипса мы можем рассмотреть в следующей статье. Продолжим рассматривать методы построения эллипса в программе “Компас 3D”.

    Эллипс по центру, середине стороны и вершине описанного параллелограмма.

    Программа самостоятельно определит угол наклона первой полуоси к оси абсцисс в текущей координатной системе, а также определит длины полуосей.

    Эллипс по трем вершинам параллелограмма.

    Далее с помощью курсора мы имеем возможность указать три вершины параллелограмма. Программа самостоятельно определит угол наклона первой полуоси к оси абсцисс в текущей системе координат, а также длины полуосей. Для того, чтобы отрисовать оси, нужно нажать соответствующую опцию в свойственной панели.

    Эллипс по центру и трем точкам.

    Эллипс касательный к двум кривым.

    Все способы, рассмотренные нами в панели свойств, могут также задавать стиль линий и оси для уже построенных эллипсов.

    Лекальная кривая строится по точкам, которые затем плавно соединяются от руки или при помощи лекала (способ 1).

    Циркульная кривая строится при помощи циркуля как кривая, состоящая из четырёх сопрягающихся дуг окружностей (способы 2, 3).

    Рассмотрим построение эллипса в аксонометрической плоскости х'О'у'. Аналогичными будут построения в других плоскостях. Только необходимо учитывать ориентацию осей эллипса. Возьмём окружность произвольного радиуса и построим её прямоугольную изометрию и диметрию разными способами, заготовив предварительно треугольники пропорциональности (рис. 84).

    Способ L Лекальная кривая. Строим аксонометрию по восьми точкам, которыми будут являться концы осей и сопряжённых диаметров.



    В прямоугольной изометрии (рис. 85, а) приведённые коэффициенты искажения по всем осям равны 1. Поэтому на осях х' и у' от центра О' откладываем радиус 7? окружности, на оси г' - малую полуось эллипса 0,717?, на прямой, перпендикулярной z', - большую его полуось 1,22R.

    Для определения размеров большой и малой полуосей эллипса откладываем на натуральной шкале (1:1) треугольника пропорциональности для изометрии радиус окружности R, и из точки А проецируем его на остальные шкалы. На верхней шкале получаем размер 1,227?, на нижней - 0,71 R.

    В прямоугольной диметрии (рис. 85, 6) по осям х' и z' коэффициент искажения равен 7, по оси у-0,5. Поэтому на оси х' откладываем радиус R. Остальные размеры определяем при помощи треугольника пропорциональности для диметрии. На натуральной шкале (1:1) откладываем радиус R и через точку А и конец этого отрезка проводим проецирующий луч. На шкале 0,5 получаем размер 0,57? для оси у на шкале 0,35 - размер 0,357? малой полуоси эллипса, который откладываем на z'. Размер 1,067? большой полуоси берём со шкалы 1,06 и откладываем его на прямой, перпендикулярной z'.

    Полученные восемь точек в обоих случаях предпочтительнее соединить при помощи лекала.


    Примечание. Размеры осей эллипса для прямоугольной изометрии можно определить и графически (рис. 86). Для этого из концов С и D взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводим дуги радиусом CD до взаимного пересечения в точках А и В. Соединив точки А и В, получим большую ось эллипса, равную 1,22D, а отрезок CD будет его малой осью, равной 0,7 Ш.

    Способ 2. Коробовая кривая. Коробовая кривая является циркульной кривой, состоящей из четырёх дуг окружностей (рис. 87). Ею можно заменить эллипс. Строится она по его осям.

    На рис. 87 коробовая кривая построена в прямоугольной изометрии. Малая ось CD направлена вдоль аксонометрической оси z большая АВ ей перпендикулярна. Построение выполняем в определённой последовательности.

    • • Соединяем концы большой и малой полуосей (отрезок A Q.
    • • Находим разность большой и малой полуосей (отрезок СЕ). Для этого из центра О' радиусом О'А проводим дугу до пересечения с прямой, проходящей через CD, в точке Е.
    • • Откладываем СЕ от точки С на АС. Получаем точку F.
    • • Строим срединный перпендикуляр к отрезку AF и отмечаем точки пересечения его с прямыми линиями, проходящими через оси эллипса. 0 и 02 - центры двух дуг окружностей.
    • • Замеряем расстояния от 0 и 02 до О'и откладываем их по другую сторону от центра эллипса 2 = 0'04). Получаем ещё два центра 03 и 04.
    • • Соединяем попарно центры и проводим дуги из центра 0 радиусом 0А, из 02 - радиусом 02С, из 03 - радиусом 02В и из 04 - радиусом 04D. Точки сопряжения дуг находятся на линиях центров.

    На рис. 88 построена прямоугольная диметрия окружности в плоскости x'O'z' в виде коробовой кривой. Малая ось CD направлена вдоль оси у' и равна 0,95D. Большая ось АВ ±у' и равна 1,060. Последовательность построения та же, что была рассмотрена выше для изометрии.

    Этот метод является универсальным и может применяться не только для построения аксонометрии окружности, но и любого эллипса или овала, если известны размеры его большой и малой оси, чем широко пользуются при конструировании технических деталей.

    Способ 3. Овал. Построим прямоугольную изометрию окружности в плоскости х'О'у', заменяя эллипс овалом (рис. 89)

    Задаём аксонометрические оси х', у', z' и направление большой оси эллипса (перпендикулярно z'). Из центра эллипса проводим окружность радиусом, равным радиусу той окружности, аксонометрию которой строим. На пересечении этой окружности с направлением малой оси эллипса (осью z') получаем два центра дуг 0 и 02. Проводим прямые через 0 и точки Е, L (или через 02 и точки К, F) пересечения окружности с осями х', у'. На пересечении их с направлением большой оси получаем ещё два центра - 03 и 04. Затем последовательно проводим из центра 0 дугу EL радиусом 0Е, из центра 04 - дугу LF радиусом Оф?, из 02 - дугу FK радиусом 02F, из 03 - дугу КЕ радиусом 02К. Построенный овал неточно повторяет форму эллипса. У них имеются небольшие расхождения в размерах. Таким приёмом можно построить овал только в прямоугольной изометрии.

    На рис. 90 показано построение овала, заменяющего эллипс в прямоугольной диметрии. Овал строится по осям и пригоден только для эллипсов, у которых малая ось в три раза меньше большой оси (в плоскостях х'О'у'иг'ОУ). Рассмотрим построение овала в плоскости х'О'у'.

    Проводим две взаимно перпендикулярные прямые. Одну вертикально (параллельно z% другую горизонтально. Точка пересечения прямых будет центром О эллипса. Отрезки АВ и CD - соответственно большая и малая ось эллипса. По обе стороны от центра О на прямой, проходящей через малую ось CD, откладываем отрезки, равные длине большой оси АВ эллипса. Получаем центры 0 и 02 двух дуг окружностей. Центры 03 и 04 двух других дуг окружностей удалены от концов А и В большой оси эллипса на расстояние 1/4CD. Соединяем попарно центры и между линиями центров проводим дуги: из 0 радиусом Оф, из 04 радиусом О4В, из 02 радиусом 02С, из 03 радиусом 6М. Как следует из построений, радиусы сопрягающихся дуг равны R = АВ + 1/2CD, г = 1/4CZ).

    Коробовая кривая и овал представляют собой кривые, приближенные к эллипсу. Существуют и другие способы построения эллипса.

    Читайте также: