Как сделать интерполяцию в маткаде
Обновлено: 08.07.2024
Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В Mathcad можно или соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).
В отличие от функций регрессии, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Линейное предсказание заключается в использовании существующих значений данных, чтобы предсказать значения за их пределами. В Mathcad есть функция, которая позволяет предсказывать будущие значения данных на основе уже имеющихся данных. [1]
При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.
linterp (vx, vy, x)
Использует векторы данных vx и vy, чтобы возвратить линейно интерполируемое значение y, соответствующее третьему аргументу x. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания.
Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной.
Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстрaполяции. [3]
Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных точек.
В дополнение к cspline Mathcad поставляется с двумя другими кубическими сплайн-функциями. Три сплайн-функции:
cspline (vx, vy) pspline (vx, vy) lspline (vx, vy)
Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.
Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который называют vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.
функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках.
функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.
функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.
interp (vs, vx, vy, x)
Возвращает интерполируемое значение y, соответствующее аргументу x. Вектор vs вычисляется на основе векторов данных vx и vy одной из функций lspline, pspline или cspline.
Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки сплайна.
Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн первой из составляющих его кубических парабол. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.
Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx - маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для xвне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстрaполяции. [2]
Аппроксимация – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы отклонение f(x) от φ(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) называется аппроксимирующей.
Если исходная функция f(x) задана таблично (дискретным набором точек), то аппроксимация называется дискретной. Если исходная функция f(x) задана аналитически (на отрезке), то аппроксимация называется непрерывной или интегральной.
Интерполяция – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы φ(x) точно проходила через точки исходной функции f(x).
Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией.
Точки исходной функции f(x) называются узлами интерполяции.
Для интерполирующей функции справедливо .
Экстраполяцией называется аппроксимация вне заданной области определения исходной функции, т.е. x xn.
Найдя интерполяционную функцию, мы можем вычислить ее значения между узлами интерполяции, а также определить значение функции за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).
Основной мерой отклонения функции y(x) от функции f(x) при аппроксимации является величина, равная сумме квадратов разностей между значениями аппроксимирующей и исходной функций .
Простейшими видами интерполяции является линейная и квадратичная.
При линейной интерполяции точки заданной функции соединяются линейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках. В качестве уравнения интерполяционного многочлена используются уравнения прямой, проходящей через две точки.
При квадратичной интерполяции в качестве приближающей функции, соединяющей соседние точки, принимается квадратный трехчлен. Такая интерполяция называется параболической.
Распространенным видом интерполяции является интерполяция с использованием кубических сплайн-функций.
Сплайн представляет собой модель гибкого тонкого стержня из упругого материала, закрепленного в двух соседних узлах интерполяции с заданными углами наклона α и β так, чтобы потенциальная энергия стержня была минимальна.
Интерполяция может выполняться с помощью многочленов Ньютона, Эрмита, Лагранжа и т.д.
Наиболее известными методами аппроксимации являются метод наименьших квадратов, метод многочленов Чебышева, рядов Тейлор и т.д.
При решении задач аппроксимации часто используются функции регрессии.
Регрессия – представление совокупности данных некоторой функцией f(x).
Задачей регрессии является вычисление параметров функции f(x) таким образом, чтобы функция приближала последовательность исходных точек с наименьшей погрешностью. При этом функция f(x) называется уравнением регрессии.
При регрессии не требуется чтобы функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих ошибки.
Аппроксимация и интерполяция данных в MathCad
Линейная интерполяция осуществляется с помощью встроенной функции linterp, имеющей следующий общий вид:linterp(VX,VY,x), где VX, VY – векторы координат узловых точек;
x – значение аргумента, для которого будет получено интерполяционное значение функции y.
В MathCAD для проведения кубической сплайн-интерполяции предлагается три встроенные функции (VX, VY – вектора узловых точек):
cspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
pspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой;
lspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой.
Интерполирующая функция строится с помощью стандартной функции interp, имеющей следующий общий вид:
interp(VK,VX, VY,x), где
VK – вектор вторых производных сплайна в опорных точках;
x – произвольная точка, в которой вычисляется значение интерполирующей функции.
Последовательность кубической сплайн-интерполяции такова:
- создаются вектора VX и VY, содержащие координаты точек, через которые нужно провести кубический сплайн;
- вычисляется вектор VK с использованием одной из перечисленных функций;
- вычисляется множество произвольных значений интерполирующей функции в нужном количестве точек с помощью стандартной функции interp.
MathCAD позволяет проводить линейную регрессию общего вида, в которой аппроксимирующая функция задается линейной комбинацией функций, причем сами функции fi(x) могут быть нелинейными:
Линейная регрессия общего вида реализуется с помощью функции linfit:
linfit(VX, VY,F), где VX, VY – координаты исходных точек;
F - вектор, содержащий функции fi(x) , записанные в символьном виде.
Функция linfit еще называется функцией аппроксимации по методу наименьших квадратов.
Результатом работы функции linfit является вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения исходных точек с координатами VX, VY, минимальна.
Вектор VX должен быть возрастающим.
Аппроксимация по методу наименьших квадратов
Полиномиальная регрессия позволяет аппроксимировать зависимость полиномом произвольной степени.
Вычисление коэффициентов полинома осуществляется с помощью встроенной функции regress, которая имеет следующий общий вид:
regress(VX, VY, n), где VX, VY – вектора с координатами исходных данных,
n – порядок полинома (первые три возвращаемые коэффициенты служебные, а далее искомые значения, расположенные по возрастанию степени полинома).
Для построения аппроксимирующей зависимости можно воспользоваться встроенной функцией
где VK – вектор коэффициентов, рассчитанных функцией regress;
x – рассчитываемая точка.
Для проведения регрессии необходимо что бы вектор VX был возрастающим и количество его элементов было больше степени полинома на 1. Функция regress определяет единственный приближающий полином, элементы которого вычисляются по всей совокупности точек.
Для выполнения нелинейной регрессии общего вида необходимо определить параметры произвольной аппроксимирующей функции, при которой обеспечивается минимальная среднеквадратичная ошибка.
Для этого используется встроенная функция genfit, имеющая следующий общий вид:
VS - вектор, который задает начальные приближения элементов вектора K, рассчитываемых итерационным способом;
F - вектор, который содержит искомую функцию и ее частные производные по параметрам Ki в аналитическом виде:
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
В MathCAD последних версий удобно работать со сплайнами, в том числе, двумерными. Теорию и реализацию на Паскале можно посмотреть, например, здесь, а в этой статье я ограничусь примерами для MathCAD 14 и выше (в предыдущих версиях есть не все функции).
Сначала следует получить коэффициенты сплайна одной из функций lspline(vx,vy) , pspline(vx,vy) или cspline(vx,vy) .
Все они позволяют построить кубический сплайн (кривую 3 порядка с 2 непрерывными производными) с заданными краевыми условиями, а именно, lspline - линейными (2-я производная равна 0 на концах сплайна), pspline - параболическими, cspline - кубическими. Данные задаются в виде 2 векторов vx и vy , значения vx должны быть упорядочены по возрастанию. После этого функция interp(vs,vx,vy,x) может получить по найденным коэффициентам значение сплайна в заданной точке x . Вектор, который вернула функция lspline , cspline или pspline как раз и передаётся в качестве параметра vs .
Рассчитаем все 3 возможных сплайна для vx= и vy , заполненного случайной неубывающей последовательностью значений.
Гораздо интереснее двумерные сплайны, в том числе, для моделирования поверхностей. Приведём законченный расчёт, сначала формирующий матрицу данных M размерностью 10x10 , а затем строящий двумерный сплайн.
Дополнительно показано, как с помощью стандартной функции CreateMesh (построение сеток, почитать о ней можно в справке MathCAD) и сплайнов смоделировать красивую и гладкую 3D-поверхность.
Повращать её и поэкспериментировать самостоятельно Вы сможете, скачав приложенный файл MathCAD (формат .XMCD, версия 14 и выше).
Если просто нужно построить классический интерполяционный сплайн, это можно сделать гораздо более компактным кодом.
Задание сделать кусочно-линейную интерполяцию следующих с исходными данными х и y. Нужно сделать как пример на 1 рисунке,но ничего не работает. Как нужно правильно сделать?
Как описать кусочно-линейную периодическую функцию?
Добрый день. Кусочно-линейную функцию я описал, см. прикрепленный рисунок. Как ее сделать.
Выполнить линейную сплайн-интерполяцию функции, заданной в табличном виде
Выполнить линейную сплайн-интерполяцию функции, заданной в табличном виде. Экстраполировать ее за.
Кусочно-линейная функция. Как сделать вторую итерацию
как сделать вторую итерацию (2 картинка)? по оси у график должен получиться на отрезке
Выполнить линейную интерполяцию
Функция yi=f(xi) i=1,n, задана таблично в узлах xi . Выполнить линейную интерполяцию данной.
Krasme, Спасибо.Я думал об этом и раз 5 пересчитывал количество,но в задании чётко было на 1 значение Y больше
Не могу сделать линейную интерполяцию
Здравствуйте! Не получается сделать простую линейную интерполяцию Готовая формула ПРЕДСКАЗ не.
Как получить промежуточное значение используя линейную интерполяцию?
Программирую ардуино, нужно точно мерять температуру термистором. Есть таблица показаний.
Определить значения функции в некоторой промежуточной точке хk, используя линейную интерполяцию
Помогите пожалуйста, уже 2 недели бьюсь с кодом и все никак не выходит: Функция f(x) представлена.
Как сделать кубическую сплайн интерполяцию
делаю программу которая делает кубическую сплайн интерполяцию: а она выдает ошибку Type mismatch.
Как сделать более точно интерполяцию графика?
Здравствуйте, столкнулся со следующей проблемой, график интерполируется неправильно. Есть множество.
В этом уроке мы рассмотрим, как можно найти зависимость между данными, полученными из эксперимента.
Аппроксимация
В таблицу занесены данные эксперимента:
Построив график, мы увидим разброс данных:
Мы хотим построить гладкую линию через эти точки. Нахождение функции, которая наилучшим образом соответствует полученным экспериментальным данным, называется аппроксимацией. В одном из простых методов поиска аппроксимирующей функции предполагается, что данные зависят линейно:
Здесь a – угловой коэффициент прямой,b – точа пересечения прямой с осью y. Простейший путь определить эти константы – это провести линию на графике на глаз.
В Mathcad это можно сделать вручную, задав значения констант. Здесь они заданы с использованием глобального определения. Любое изменение этих констант тут же отражается на графике:
Попробуйте изменить a и b, чтобы найти лучшее соответствие. Сначала посмотрите, что произойдет при изменении b, а затем – при изменении a:
Mathcad содержит в себе большой набор функций для аппроксимации и сглаживания. Самой простой является функция line. Для наших данных:
Эти коэффициенты находятся по методу наименьших квадратов.
Теперь, когда соотношение найдено, Вы можете использовать его для оценки значения Y для любого значения X:
Второе значение экстраполировано, т.е. оно найдено для значения X, которое не входит в интервал экспериментально полученных данных.
Интерполяция
Регрессионный анализ используют при большом количестве данных, полученных экспериментально с некоторым разбросом. Если данных немного и Вы знаете, что они точны, можно использовать функции интерполяции.
Мы будем использовать пять точек данных из таблицы:
Предположим, что нам нужно значение Y при X=3.4. Мы можем найти это значение, используя линейную интерполяцию:
Можно посмотреть, что делает функция linterp, построив график:
Linterp проводит прямые линии между точками:
Более продвинутый метод интерполяции использует линейные сплайны. Эта процедура выполняется в два шага. Сначала вычисляется вектор сплайна, затем он используется для интерполяции:
Название сплайна – линейный – может сбить с толку: сам сплайн не является прямой. Функция линейна только на концах заданного интервала (вторая производная в конечных точках равна нулю).
Читайте также: