Как сделать формулу сокращенного умножения

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 05.10.2024

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

Предостережение!

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Предостережение!

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2 )
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) используются для возведения в степень и умножения чисел, выражений. ФСУ помогают производить вычисления быстрее и делают их более компактными.

В нашей статье будут перечислены все необходимые формулы сокращенного умножения, а также, для удобства запоминания, формулы структурируем в таблицу, разберём примеры применения ФСУ, рассмотрим, как сократить формулы сокращенного умножения, наибольшее внимание уделим способам доказательства ФСУ.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица

Чтобы с лёгкостью использовать формулы, их нужно заучить наизусть. Сгруппируем их в таблицу и представим ниже, заключив в рамку.

Соответственно, a и b в формулах могут быть заменены на любое число, переменную, выражение.

С помощью первых четырёх формул можно вычислить квадрат, куб суммы и разности 2-х выражений. Формула под номером 5 позволяет вычислить разность квадратов, перемножая сумму и разность выражений.

6-ая и 7-ая формулы вычисляют сумму и разность кубов путём произведения разности и суммы выражений на неполный квадрат разности (суммы).

ФСУ часто синонимично называют тождественные выражения формулы сокращенного умножения. Действительно, левая и правая части этих выражений представляют собой тождества.

Поэтому, решая практические примеры, часто переставляют левые и правые части. Это очень удобно при разложении многочлена на множители.

Все необходимые формулы сокращенного умножения по алгебре

Помимо этих формул, выдаваемых на уроках в 7 классе, используются еще несколько формул. Одной из них является бином Ньютона.

В этой формуле – это биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля. Они находятся по следующей формуле:

Треугольник Паскаля – это арифметический треугольник. Он назван в честь Блеза Паскаля. Он состоит из коэффициентов одночленов, входящих в состав формулы степени суммы двух чисел. Если схематично очертить этот треугольник Паскаля, то получим равнобедренный треугольник, у которого по бокам стоят единицы. Каждое нижнее число получается путем сложения двух чисел, стоящих выше него.

Можно заметить, что формулы сокращенного умножения квадрат(куб) суммы (разности) – это частный случай формулы бинома Ньютона, когда n=2 и n=3.

Если слагаемых больше, чем два, как выполнить возведение в степень? Полезно вывести формулу квадрата суммы слагаемых, больших, чем два.

Еще одной нужной формулой в вычислениях является формула разности n-ых степеней 2-х слагаемых.

Формулы разности квадратов и разности кубов являются частным случаем формул сокращенного умножения.

Способы чтения формул сокращенного умножения

Прежде чем дать определение всех формул сокращенного умножения, следует пояснить правила формулы сокращенного умножения. Разберём на примере чтение формулы квадрата разности двух чисел.

Квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Оставшиеся формулы читаются по такому же принципу.

Квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения. Попробуем прочитать формулу куба суммы:

Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Разность кубов следует читать так: Формула сокращенного умножения куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятую формулу следует читать следующим образом: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

называются неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности

Зная это, сумма и разность кубов читаются так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Формулы сокращенного умножения доказываются несложно. Опираясь на свойства умножения, умножим пошагово части формул в скобках.

В качестве примера будем использовать формулу квадрата суммы.

Для того, чтобы возвести выражение во 2-ую степень, это выражение следует умножить само на себя:

Что и требовалось доказать.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Примеры использования формул сокращенного умножения

Как уже было сказано, формулы сокращенного умножения позволяют быстро и кратко возвести выражение в степень. ФСУ применяются еще и при сокращении дробей и выражений, разложении многочленов на множители, вычислении интегралов и пределов. Рассмотрим примеры формулы сокращенного умножения. Эти примеры содержат уже готовые формулы сокращенного умножения и ответы.

Пример 1. Преобразовать выражение в многочлен стандартного вида. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, и приведем подобные слагаемые.

Пример 2. Разложить на множители

Используем формулу степеней и применим формулу разности квадратов:

Заметим, что выражение, представленное в числителе, является разностью квадратов формул сокращенного умножения. Применим её и сократим на идентичные выражения в числителе и знаменателе (х-3):

Пример 4. Упростить выражение и найти его значение при

Раскрываем скобки:

Теперь можно подставить в выражение значение переменной а.

Пример 5. Вычислить

Числа 63 и 57 можно представить в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Следовательно, для вычисления произведения удобно использовать формулу разности квадратов. Данное вычисление можно посчитать устно.

Пример 6. Раскрыть скобки

Возведем в квадрат.

Практическое применение формул сокращенно умножения, особенности преподавания в школе

В современной системе образования преобладает системно-деятельностный подход. Это означает, что инициатива к поглощению знаний должна исходить от ученика, а учителю следует только направлять его в нужном направлении. У многих учащихся отсутствует интерес к учёбе, они ссылаются на то, что эти знания нигде не пригодятся в жизни. Как быть учителю в данной ситуации? Какие способы мотивации изучения формул сокращенного умножения найти? Эти замечательные формулы еще как пригодятся в житейских ситуациях. В частности, при подборе строительного материала для дома. Например, вы пришли в супермаркет, и продавец по размеру пола (106 м) навязывает 13 000 м 2 паркетной доски. Зная ФСУ, вы с лёгкостью в уме сможете проверить, не обманывает ли вас работник магазина.

(106 м) 2 =(100+6) 2 =10 000+2*100*6+36= 11236 м 2

Оказывается, вам достаточно будет 11236 м 2 .

Многие учащиеся ссылаются еще и на то, что сложно выучить и запомнить все эти семь формул. Если, вы умеете перемножать выражения, то ничего заучивать и не придётся. Известно, что а 3 =а*а*а. то есть, нужно умножить число или выражение само на себя столько раз, сколько написано в показателе степени.

Рассмотрим выведение формулы куб суммы:

И так можно вывести абсолютно любую формулу. Главное, уметь упрощать выражения, умножать, приводить подобные слагаемые. Кроме аналитического доказательства формул сокращенного умножения, имеет место быть еще и геометрический. О нём нельзя не упомянуть на уроках алгебры. Полезно будет дать это задание в качестве домашнего в рамках исследовательской деятельности учащихся.

Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.

Формулы сокращённого умножения многочленов — это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.

Таблица 1. Три формулы квадратов и четыре формулы кубов (нажмите для увеличения)

Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица

Таблица 2. Определения формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

Три формулы сокращенного умножения для квадратов

1. Формула квадрата суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)

А теперь разложим на множители (свернем формулу)

Последовательность действий при разложении на множители:

определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m);
проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 • 5 • 3m = 30m);
запиши ответ (5 + 3m) 2 .

2. Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Сначала упростим выражение (развернем формулу):

А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):

3. Формула разности квадратов

Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

Свернем формулу (выполним умножение)

А теперь развернем формулу (разложим на множители)

Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

4. Формула куба суммы двух чисел

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1);
проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
записать ответ.

5. Формула куба разности двух чисел

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

6. Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

7. Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения. Таблица

Таблица 3. Применение формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

Пример использования формул на практике (устный счет).

Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Ответ: 5041 см 2

Формулы сокращённого умножения используются для возведения чисел в степень, а также умножения этих чисел и различных выражений. Не редко такие формулы сокращающего умножения помогают вычислять примеры быстрее и компактней.

Нас ищут по таким запросам:

Формулы сокращённого умножения примеры;
Все формулы сокращённого умножения;
Формулы сокращённого умножения видео;
Как быстро выучить формулы сокращённого умножения;
Задание на формулы сокращённого умножения;
Задание на формулы сокращённого умножения ВНО;
Алгебра 7 класс формулы сокращённого умножения;
Теорема Виета;
Табличка сокращённого умножения;
Тригонометрические формулы.

В этой статье рассмотрим самые популярные формулы сокращённого умножения. Затем сгруппируем формулы в табличку и рассмотрим некоторые примеры использования формул сокращающего умножения.

Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса

Как сократить формулы сокращённого умножения?

Квадрат суммы двух чисел:

В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращённого умножения.

(a + b) 2 = (a + b)(a + b)=a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (квадрат суммы двух чисел)

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:

Квадрат разности двух чисел:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 (квадрат разности двух чисел)

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:

Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

Разность квадратов двух чисел

a 2 — b 2 = (a + b)(a — b) (разность квадратов двух чисел)

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращённого умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.

Формулы сокращённого умножения частенько называют тождествами сокращенного умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Другие формулы сокращённого умножения:

(a + b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab — 2ac — 2bc

Куб суммы двух чисел

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (куб суммы двух чисел)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример выражения:

a) (m + 2n) 3 = m 3 + 3·m 2 ·2n + 3·m·(2n) 2 + (2n) 3 = m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

б) (3x + 2y) 3 = (3x) 3 + 3·(3x) 2 ·2y + 3·3x·(2y) 2 + (2y) 3 = 27x 3 + 54x 2 y + 36xy 2 + 8y 3

Куб разности двух чисел

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 (куб разности двух чисел)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

(a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

Пример выражения:

а) (2x – y) 3 = (2x) 3 -3·(2x) 2 ·y + 3·2x·y 2 – y 3 = 8x 3 – 12x 2 y + 6xy 2 – y 3

б) (x – 3n) 3 = x 3 -3·x 2 ·3n + 3·x·(3n) 2 – (3n) 3 = x 3 – 9x 2 n + 27xn 2 – 27n 3

Сумма кубов двух чисел

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) (сумма кубов)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Пример выражения:

a) 125 + 8x 3 = 5 3 + (2x) 3 = (5 + 2x)(5 2 — 5·2x + (2x) 2 ) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x 2 )

б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m 2 ) = 1 3 + (3m) 3 = 1 + 27m 3

Разность кубов двух чисел

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 ) (разность кубов)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.

a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )

Пример выражения:

а) 64с 3 – 8 = (4с) 3 – 2 3 = (4с – 2)((4с) 2 + 4с·2 + 2 2 ) = (4с – 2)(16с 2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) = (3a) 3 – (5b) 3 = 27a 3 – 125b 3

Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:

(a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4

Данные формулы сокращённого умножения доказываются путём раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых .

Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов

Рассмотрим семь основных формул сокращённого умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:

Таблица формул сокращённого умножения

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

Выражение в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:

Выражение в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:

Группа формул: сумма степеней

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) ,
(x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y)

Таблица 2. – Сумма степеней

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб (третья степень) суммы	(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Четвертая степень суммы	(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы	(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы	(x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

Общая формула для вычисления суммы

Разность степеней

Таблица 3. – Разность степеней

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2
Куб (третья степень) разности	(x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3
Четвертая степень разности	(x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4
Пятая степень разности	(x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5
Шестая степень разности	(x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6

Квадрат многочлена

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Примеры квадрата многочлена

1. (1 + 2 + 3 + 4) 2 =
1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 2 • 1 • (2 + 3 + 4) + 23 • (3 + 4) + 2 • 3 • 4 =
1 + 4 + 9 + 16 + 2 • 1 • 9 + 2 • 2 • 7 + 24 =
30 + 18 + 28 + 24 = 100 ;
a = 1 ;
b = 2 ;
c = 3 ;
d = 4 ;
2. (2 + 3 + 4 + 5) 2 =
2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 2 • 2 • 3 + 2 • 2 • 4 + 2 • 2 • 5 + 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 5 + 2 • 4 • 5 =
4 + 9 + 16 + 25 + 12 + 16 + 20 + 24 + 30 + 40 = 196 ;
a = 2 ;
b = 3 ;
c = 4 ;
d = 5 ;
3. (5 + 6 + 7 + 8) 2 =
5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 2 • 5 • 6 + 2 • 5 • 7 + 2 • 5 • 8 + 2 • 6 • 7 + 2 • 6 • 8 + 2 • 7 • 8 =
25 + 36 + 49 + 64 + 60 + 70 + 80 + 84 + 96 + 112 = 676 ;
a = 5 ;
b = 6 ;
c = 7 ;
d = 8 ;

Читайте также: