Как сделать фигурную скобку в маткаде

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 04.10.2024

Рекурсивные вычисления применяются для решения конечно-разностных уравнений типа тех, которые возникают в задачах вычисления сложного процента, Марковских процессах и многих уравнениях фазовых состояний. Они могут также использоваться для получения приближенных решений для некоторых дифференциальных уравнений. В рекурсивных вычислениях определяется первый элемент массива и затем вычисляются последовательные элементы, основанные на первом элементе. Этот раздел описывает три типа рекурсивных вычислений: с одиночной переменной, с множественными переменными, и с вектором.

Рекурсивные вычисления с одной переменной

Классический метод для вычисления квадратных корней состоит в следующем:

Чтобы найти , начните с предполагаемого значения, которое можно рассматривать как приближение к истинному.
Вычислите новое приближение, основанное на старом приближении, по формуле

Рисунок 10 показывает, как выполнить этот метод в Mathcad.

Рисунок 10: Использование рекурсивных вычислений для вычисления квадратного корня.

Характерные особенности этого примера:

Начальное значение определено как нулевой элемент массива, guess₀.
Каждый элемент guess_i+1 определяется через предыдущий.

Зависимость элементов массива от предварительно вычисленных элементов массива — та особенность, которая отличает рекурсивные вычисления от более простого многократного вычисления, обсужденного в предыдущем разделе.

Рекурсивные вычисления с несколькими переменными

Удобно использовать запись вектора Mathcad, чтобы выполнить многократные вычисления нескольких переменных одновременно. Эта разновидность рекурсивных вычислений — мощный метод для решения системы уравнений в конечных разностях.

При выполнении многократных вычислений нескольких переменных на каждом шаге вычисляются значения переменных на основе всех их предыдущих значений. Нельзя сделать это с отдельными уравнениями, потому что, когда Mathcad видит формулу с дискретным аргументом, он пытается вычислить её для каждого значения дискретного аргумента перед переходом к следующему уравнению. Значит, следует создать одну формулу, которая выполняет вычисления со всеми переменными одновременно.

Например, рассмотрим модель эпизоотии с четырьмя переменными: через i обозначим число инфицированных животных, через s — число восприимчивых, через d — число умерших, через r — число выздоровевших и приобретших иммунитет. Четыре уравнения, которые связывают эти переменные в каждый момент:

i_l+1 = 0.0001 s_l i_l
s_l+1 = s_l — 0.0001 s_l i_l
d_l+1 = d_l + 0.55 i_l
r_l+1 = r_l + 0.45 i_l

Рисунок 11: Вычисления в модели распространения инфекции.

Рисунок 11 показывает, как выполнить одновременные вычисления, используя эти уравнения.

Сделаем одно очень важное замечание относительно этого примера: все индексы l+1 собраны по левую сторону уравнения. Правая сторона содержит только индекс l. Mathcad вычисляет все выражения справа перед выполнением любых присваиваний левой стороне. Это означает, что ничто справа не может зависеть ни от чего слева.

Рекурсивные вычисления с вектором

Возможно также выполнять рекурсивные вычисления, начинающиеся с вектора и возвращающие каждый раз новый вектор. Этот тип многократных вычислений использует начальный вектор и оператор верхнего индекса Mathcad.

Марковский процесс — пример задачи, которая приводит к рекурсивным вычислениям вектора. Марковский процесс начинает с вектора v, который задает начальные значения некоторых количеств, например, число избирателей, планирующих голосовать за различных кандидатов, число грузовиков в региональных ведомствах компании, сдающей в прокат грузовики, или долей различных компаний на рынке. Каждый шаг в процессе Маркова вычисляет новый вектор, умножая предыдущий вектор на переходную матрицу A. Рисунок 12 показывает, как задать процесс Маркова. Эта методика использует верхние индексы, чтобы индексировать весь столбец матрицы сразу. Чтобы создать верхний индекс, нажмите [Ctrl]6. Появится поле между угловыми скобками: .

Вот как записать уравнения из Рисунка 12:

Определите переходную матрицу A. Напечатайте A, нажмите клавишу двоеточия (:) и создайте 3×3 матрицу. Чтобы создать матрицу, выберите Матрицы из меню Математика.

Щёлкните справа от матрицы и напечатайте v. Затем нажмите [Ctrl]6. Напечатайте 0 в поле для верхнего индекса.

Завершите определение начального вектора. Нажмите клавишу двоеточия (:), затем выберите Матрицы из меню Математика. Укажите, что создаётся матрица с тремя строками и одним столбцом. Потом заполните ячейки матрицы.

Напечатайте k:1;8. Это задаст дискретный аргумент k, чтобы выполнить восемь вычислений.

Чтобы выразить k-тый вектор через (k-1)-ый, напечатайте v [Ctrl] 6 k. Затем напечатайте двоеточие (:) для символа определения. Завершите формулу, напечатав после символа определения: A*v[Ctrl] 6 k-1 .

Чтобы увидеть восьмой (последний) столбец матрицы, напечатайте v [Ctrl] 68=.

Чтобы увидеть все векторы как столбцы матрицы, напечатайте v=. Обратите внимание, что в изображении справа отображаются не все столбцы.

Рисунок 12: Рекурсивные вычисления вектора к модели Марковского процесса.

Оператор верхнего индекса фактически отыскивает или определяет один столбец в матрице. Определение v через v фактически выражает каждый столбец матрицы через предшествующий столбец. В последнем равенстве на Рисунке 12 показана матрица, составленная из этих столбцов.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

3.1.7. Допустимые имена переменных и функций

В заключение перечислим, какие символы можно, а какие нельзя применять в именах, которые пользователь дает переменным и функциям, и перечислим ряд ограничений на присваивание имен. Допустимые символы:

большие и маленькие буквы — Mathcad различает регистр: так, имена х и х определяют разные переменные. Кроме того, Mathcad различает и шрифт, например имена х и х воспринимаются как разные;
числа от 0 до 9;
символ бесконечности (клавиши + + );
штрих (клавиши + );
греческие буквы — они вставляются с помощью панели Greek (Греческие символы);
символ подчеркивания;
символ процента;
нижний индекс.

С осторожностью используйте нижний индекс в определении имен переменных и функций, не путая его с индексом векторной переменной. Чтобы ввести имя с нижним индексом, например, K_max: введите букву "K", затем точку ".", после чего линии ввода опустятся чуть ниже, и только затем сам нижний индекс max.

Теперь рассмотрим ограничения на имена переменных и функций:

имя не может начинаться с цифры, символа подчеркивания, штриха или процента;
символ бесконечности должен быть только первым в имени;
все буквы в имени должны иметь один стиль и шрифт;
имена не могут совпадать с именами встроенных функций, констант и размерностей, например sin или TOL. Тем не менее, допускается их переопределение, но тогда одноименная встроенная функция больше не будет использоваться по первоначальному назначению;
Mathcad не различает имен переменных и функций: если сначала определить функцию f (х), а потом переменную f, то в оставшейся части документа будет утеря* доступ к функции f (x).

Имена, содержащие операторы и специальные символы

В некоторых случаях желательно использовать имена переменных и функций, содержащие символы операторов Mathcad или другие символы, которые нельзя вставлять в имена непосредственно. Для этого существуют две возможности.

Во-первых, имя, составленное из любых символов и заключенное в квадратные скобки, Mathcad будет воспринимать корректно (рис. 3.5, сверху). Например, чтобы ввести имя [a+b]:

Нажмите клавиши + + — появится пара квадратных скобок с местозаполнигелем внутри.
Введите в местозаполяитель последовательность любых символов, например a+b.

Рис. 3.5. Специальные символы в именах переменных

Во-вторых, если Вас не устраивает наличие квадратных скобок в имени, то вставить в него специальные символы можно чуть более сложным способом. Например, для ввода имени a+b:

Введите первый символ (а), который должен быть допустимым для имен Mathcad.
Нажмите клавиши + + для перехода в специальный "текстовый" режим редактирования.
Введите последовательность любых символов (+).
Еще раз нажмите клавиши + + , чтобы вернуться в обычный режим редактирования. Теперь можно продолжать ввод допустимых символов в имя (b).

Результат этих действий показан в нижней строке рис. 3.5. Если требуется, чтобы имя начиналось со специального символа (средняя строка рис. 3.5), то необходимо выполнить все пункты 1—4, вводя в начале имени произвольный допустимый символ, а по завершении ввода просто стирая его.

В Mathcad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:

- simplify (упростить) выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

- expand (развернуть) раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;

- factor (разложить на множители) представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

- substitute (подставить) заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

- convert to partial fraction разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

Если Mathcad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение. Все приведенные вычисления выполнены в предположении, что в меню Math установлен автоматический режим вычислений и отключен режим оптимизации. Следует помнить, что Mathcad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

Пример проведения символьных расчетов

I. Упростить выражение

Рисунок 1 – Окно Формат вычисления

Упрощаем выражение: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавишу . Затем щелкните в меню Symbolic (Символьные операции) по строке Simplify (Упростить) (рис. 2). Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе ниже после исходного выражения.

Рисунок 2 – Процесс упрощения выражения через меню Symbolics

II. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении

Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand (Развернуть) в меню Symbolic (рис. 2). Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рисунок 3 – Упрощение выражений с использованием операции Expand (Развернуть)

III. Разложить на множители выражение

Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor (Факторизовать) в меню Symbolic.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

IV. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Введите выражение для преобразований, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction (Преобразовать к дробно-рациональному виду) в пункте Variable (Переменная) меню Symbolic (Символьные операции), как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 – Разложение на простейшие рациональные дроби

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Конструирование выражений в MathCAD осуществляется с помощью математических панелей. Ввод заканчивается клавишей Enter или щелчком мыши вне определения. Синий уголок показывает текущий операнд выражения, он может быть расширен клавишей " Пробел ". В качестве разделителя целой и дробной части числа используется точка.

Арифметические операции , простейшие функции, знаки присваивания переменным (символ :=) можно вводить, используя панель Calculator (Калькулятор). Численные ответы выражений определяются нажатием клавиши [=] на клавиатуре. В качестве элементов выражения могут использоваться функции определенных интегралов, сумм и произведений с панели Calculus.

Для ввода математической функции различной категории используется команда Insert /Function (Вставить функцию).

Для ввода текстового комментария необходимо ввести знак двойной кавычки ", затем вводить текст. Текстовая область, как и любая другая, может быть перемещена на рабочем листе или скопирована в буфер . Маркеры текстовой области позволяют менять её размеры

1.4.1. Переменные и функции.

Переменная в MathCAD – это идентификатор, который используется в выражениях и которому можно присвоить числовое значение. Идентификатор – набор букв и цифр, первым из которых должна быть буква; буквы могут быть латинскими или греческими с соответствующей панели; малые и большие буквы различаются; в качестве цифры может использоваться символ подчеркивания. При выполнении цепочки выражений последовательность вычислений в документе определяется слева - направо и сверху - вниз. Чтобы цепочка выражений была вычислена, надо всем переменным присвоить числовые значения. Присваивания бывают двух видов: локальные и глобальные. Локальное присваивание осуществляется нажатием символа := на панели Калькулятор. Присвоенное значение в документе начинает действовать с момента его записи (слева-напрво и сверху-вниз).

Глобальное присваивание действует в пределах всего документа независимо от места его определения. Глобальное присваивание определяется символом === с панели Evaluation. Ниже (Рис.1.10) приведен пример цепочки выражений с использованием локального (для х) и глобального (для а) присваивания:

$a\equiv3$

, " />
,

, +e^x" />

, ,

Встроенные константы

Символьный процессор распознает и способен выдавать математические константы в качестве результата.

Вычислительный процессор воспринимает как числа

$\infty$

-бесконечность ( клавиши + + );

- основание натурального логарифма (клавиша );

$\pi$

; - число "пи" (вводится клавишами + +

- мнимая единица (вводится клавишами , или , );

$\%$

- символ процента, , эквивалентный 0,01.

Основные типы переменных

Действительные числа

Любое выражение, начинающееся с цифры, MathCAD интерпретирует как число. Числа набираются на клавиатуры в нужном формате (Рис.1.11). Форматы представлены в окне Format/Result (Рис.1.7.).

$a\equiv1000$

$d:=45.21\cdot10^<-5> $

Комплексные числа

Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу (imaginary unit) i. По определению полагается, i2=-1. Для ввода мнимой единицы надо нажать клавиши , (Рис.1.12). Если просто ввести символ "i", то MathCAD интерпретирует его как переменную i.

$t^2\equiv2i$

Размерные значения

В MathCAD числовые переменные и функции могут обладать размерностью. Используется команда Insert / Unit (Вставка / Единицы). "Горячая" клавиша + . В программе встроено большое количество единиц измерения, с помощью которых и создаются размерные переменные. Для ввода размерного значения - сразу после ввода переменной ввести символ умножения, в окне Insert / Unit списке Unit (Единицы) выбрать нужную единицу измерения

Pедактирование формул

В программе MathCAD при вводе формул курсор имеет вид: синего уголка ("клюшка") . Действие производится только с объектом, выделенным этим уголком. Для того чтобы охватить синим уголком блок, надо нажать на пробел один или несколько раз.

Набираемая формула всегда заключена в рамку. Не выходите из рамки, пока не закончили набор формулы!
Для набора формул пользуйтесь "Калькулятором" из "Математической палитры"

При наборе формул возможно появление ошибок набора. Кнопка на стандартной панели инструментов позволяет отменить последнее действие, выполненное при редактировании, т.е. вернуться к тексту, набранному ранее.

Встроенные функции MathCAD

Стандартные математические функции и численные методы, запрограммированные в MathCAD, реализованы в виде встроенных функций. Для вставки функции команда меню Insert /Function (Вставить функцию)(Рис.1.17).

Собственные функции пользователя

Помимо широкого набора стандартных функций в MathCAD возможно определение собственных функций пользователя (Рис.1.14). В простейшем случае функция может быть определена выражением пользователя. Функция определяется следующим образом:

где имя_функции – любой идентификатор; аргументы – список аргументов функции через запятую; выражение – любое выражение с использованием стандартных функций и функций пользователя, определенных в документе перед этим. Выражение должно содержать идентификаторы аргументов. Пример цепочки выражений с использованием функций пользователя приведен ниже:

$y:=x+\cos<x> $

1.4.2. Массивы

Массивами (arrays) называют упорядоченные последовательности чисел или элементов. Доступ к любому элементу массива возможен по его индексу, т. е. номеру в последовательности чисел В MathCAD условно выделяются два типа массивов: векторы (одноиндексные массивы), матрицы (двухиндексные массивы), и тензоры (многоиндексные массивы); ранжированные переменные (range variables) - векторы, элементы которых определенным образом зависят от их индекса.

Векторы и матрицы

Матрицей размером mxn называется совокупность m•n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m x n записывают так

$\mathbf= \left( \begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_\\ \end \right)$

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы имеют два индекса a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. Матрицу с одним столбцом называют вектор-столбец, с одной строкой - вектор-строка.

Сложение матриц производится поэлементно, но размеры матриц должны совпадать Умножение матриц. осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

$\left( \begin a_ & a_ \\ a_ & a_ \\ \end \right) \left( \begin b_ & b_ & b_ \\ b_ & b_ & b_ \\ \end \right) = \left( \begin a_b_+a_b_ & a_b_+a_b_ & a_b_+a_b_ \\ a_b_+a_b_ & a_b_+a_b_ & a_b_+a_b_ \\ \end \right)$

Например, в произведении - матрице C, элемент стоящий в 1-ой строке и 1-м столбце c11, равен сумме произведений элементов 1-ой строки матрицы A и 1 столбца матрицы B,

Создаются матрицы при помощи кнопки палитры инструментов Matrix или команды Insert/Matrix (Рис.1.18, Рис.1.19, Рис.1.20). Появляется окно Insert matrix, где указывается количество строк, столбцов Rows и Columns.