Оригами тесселяция схемы
Обновлено: 05.07.2024
"Tessellate" перенаправляется сюда. Чтобы узнать о песне, см. Tessellate (песня) . Для техники компьютерной графики см. Тесселяция (компьютерная графика) .
Тесселяция или черепица плоской поверхности покрытие из плоскости , используя один или несколько геометрических формы , называемых плитками , без каких - либо наложений и без пробелов. В математике мозаику можно обобщить на более высокие измерения и различные геометрические формы.
Настоящая физическая мозаика - это мозаика из таких материалов, как цементированные керамические квадраты или шестиугольники. Такие плитки могут быть декоративными узорами или могут иметь такие функции, как создание прочного и водостойкого покрытия для пола или стен. Исторически сложилось так , мозаик использовались в Древнем Риме и в исламском искусстве , например , как в архитектуре марокканского и декоративной геометрической плитки из Альгамбра дворца. В двадцатом веке работы М.К. Эшера часто использовали мозаику как в обычной евклидовой геометрии, так и в гиперболической геометрии для создания художественного эффекта. Тесселяция иногда используется для декоративного эффекта при выстегивании . В природе мозаики образуют класс закономерностей , например, в массивах гексагональных ячеек в сотах .
СОДЕРЖАНИЕ
История
Храмовая мозаика из древнего шумерского города Урук IV (3400–3100 гг. До н.э.), демонстрирующая мозаичный узор из разноцветных плиток.
Паркеты были использованы шумерами (около 4000 г. до н.э.) в здании настенных украшений , образованных узорами глины плитки.
В классической античности широко использовались декоративные мозаичные плитки из небольших квадратных блоков, называемых тессерами , иногда с геометрическими узорами.
В 1619 году Иоганн Кеплер провел раннее задокументированное исследование мозаики. Он писал о регулярных и полурегулярных мозаиках в своей Harmonices Mundi ; Возможно, он был первым, кто исследовал и объяснил шестиугольную структуру сот и снежинок .
Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое разбиение плоскости имеет одну из семнадцати различных групп изометрий. Работа Федорова положила начало неофициальному началу математических исследований мозаики. Среди других выдающихся авторов - Алексей Шубников и Николай Белов (1964), а также Генрих Хеш и Отто Кинцле (1963). (Отредактировано человеком)
Этимология
Обзор
Rhombitrihexagonal плитка : кафельный пол в археологическом музее Севильи , Испания, используя квадрат, треугольник и шестигранные prototiles
Двухмерная мозаика, также называемая плоской мозаикой, - это тема в геометрии, изучающая, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнять плоскость без каких-либо промежутков в соответствии с заданным набором правил. Эти правила можно варьировать. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть промежутков и что ни один угол одной плитки не может лежать по краю другой. Мозаика, созданная из кирпичной кладки , не подчиняется этому правилу. Среди тех, которые это делают, обычная тесселяция имеет как идентичные регулярные плитки, так и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между смежными краями для каждой плитки. Есть только три формы, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех форм можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без зазоров.
Многие другие типы мозаики возможны при других ограничениях. Например, существует восемь типов полурегулярной тесселяции, состоящей из более чем одного вида правильных многоугольников, но имеющих одинаковое расположение многоугольников на каждом углу. Нерегулярные мозаики также могут быть сделаны из других форм, таких как пятиугольники , полимино и, фактически, практически любой геометрической формы. Художник М.С. Эшер известен тем, что создает мозаику из мозаичных плиток неправильной формы, напоминающих животных и другие природные объекты. Если выбрать подходящие контрастные цвета для плитки разной формы, образуются поразительные узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы.
Сложные и красочные мозаики глазурованной плитки в стиле зеллидж в Альгамбре в Испании, которые привлекли внимание М.С. Эшера.
Более формально тесселяция или мозаика - это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых множеств, называемых плитками , так что плитки пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формы. Многие мозаики формируются из конечного числа прототипов, в которых все плитки в мозаике конгруэнтны данным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что эта форма мозаична или мозаична для плоскости . Критерий Conway является достаточным , но не необходимым набором правил для принятия решения , если данная форма плитки самолета периодически без отражений: некоторые плитки провалить критерий , но все еще замостить плоскость. Не найдено общего правила для определения того, может ли данная форма мозаить плоскость или нет, что означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики.
Математически мозаику можно расширить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. Швейцарский геометр Шлефл впервые это Определяя polyschemes , которые математики в настоящее время вызовов многогранников . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах с большим количеством измерений. Далее он определил обозначение символа Шлефли, чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника - , а для квадрата - . Обозначения Шлефли позволяют описывать мозаики компактно. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестигранных многоугольника в каждой вершине, поэтому его символ Шлефли равен .
Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда тесселяция состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершины , которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4 4 . Замощение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6 3 .
По математике
Введение в тесселяцию
При обсуждении мозаик математики используют некоторые технические термины. Ребро является пересечением между двумя приграничными плиткой; часто это прямая линия. Вершина является точкой пересечения трех или более приграничных плиток. Используя эти термины, изогональный или вершинно-транзитивный тайлинг - это тайлинг, в котором все точки вершины идентичны; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. Фундаментальная область представляет собой форму , такие как прямоугольник , который повторяется для формирования тесселяции. Например, обычная мозаика плоскости квадратами имеет встречу четырех квадратов в каждой вершине .
Нормальное разбиение является тесселяция , для которых каждая плитка топологически эквивалентен диску , пересечение любых двух плиток является связное множество или пустое множество , и все плитки равномерно ограничены . Это означает, что один ограничивающий радиус и один вписывающий радиус могут использоваться для всех плиток во всей плитке; условие не допускает патологически длинных или тонких плиток.
Пример мозаики
от края до края:
15-я выпуклая моноэдральная пятиугольная мозаика , обнаруженная в 2015 году.
Monohedral плиточные является тесселяция , в котором все плитки конгруэнтны ; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; плиточное Voderberg имеет единичную плитку , которая является невыпуклой девятиугольник . Hirschhorn плиточное , опубликованный Michael D. Hirschhorn и DC Хант в 1985 году, является пятиугольник черепицы с использованием нерегулярных пятиугольников: правильные пятиугольники не может плитка евклидовой плоскости в качестве внутреннего угла правильного пятиугольника, 3 π / 5 , не является делителем 2 π .
Изоэдральная мозаика - это особая разновидность моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одного и того же прототипа в группе симметрии мозаики. Если прототип допускает разбиение, но такое разбиение не является изоэдральным, то прототип называется анизоэдральным и образует анизоэдрические мозаики .
Обычная мозаика - это высокосимметричная мозаика от края до края, состоящая из правильных многоугольников одной формы. Есть только три правильных мозаики: состоящие из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три мозаики изогональны и моноэдральны.
А пол-регулярный (или архимедов) тесселяция использует более чем один тип правильного многоугольника в изогональных устройствях. Существует восемь полурегулярных мозаик (или девять, если зеркально отраженная пара мозаик считается за два). Их можно описать конфигурацией вершин ; например, полурегулярная мозаика из квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4.8 2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). Возможны многие мозаики евклидовой плоскости, отличные от края к краю, в том числе семейство пифагоровых мозаик, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, при этом каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. Край тесселяция является тот , в котором каждая плитка может быть отражено над краем , чтобы занять позицию соседней плитки, например, в массиве или равносторонних равнобедренных треугольников.
Группы обоев
В этом мозаичном моноэдральном уличном тротуаре вместо многоугольников используются изогнутые формы. Относится к группе обоев p3.
Покрытия с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно разделить на группы обоев , из которых 17 существует. Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это оспаривается, разнообразие и изысканность облицовки Альгамбры удивили современных исследователей. Из трех обычных облицовок две относятся к группе обоев p6m, а одна - к p4m . Двумерные мозаики с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможные рисунки фризов . Обозначения орбифолда можно использовать для описания групп обоев евклидовой плоскости.
Апериодические мозаики
Плитки Пенроуза , в которых используются два разных четырехугольных прототипа, являются наиболее известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик, в которых используются тайлы, которые не могут периодически мозаироваться. Рекурсивный процесс по заместительной черепице представляет собой метод генерирования апериодических разбиений. Один из классов, который может быть создан таким образом, - это плитки репликации ; эти плитки обладают удивительными самовоспроизводящимися свойствами. Тайлинги с вертушками непериодичны, с использованием конструкции повторяющихся плиток; плитки появляются в бесконечном множестве ориентаций. Можно подумать, что непериодический узор будет полностью лишен симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и не обладают трансляционной симметрией , имеют симметрии других типов, благодаря бесконечному повторению любого ограниченного участка мозаики и в определенных конечных группах поворотов или отражений этих участков. Правило подстановки, например, которое можно использовать для создания некоторых паттернов Пенроуза с использованием сборок плиток, называемых ромбами, иллюстрирует симметрию масштабирования. Слово Фибоначчей может быть использовано для создания апериодической черепицы, а также для изучения квазикристаллов , которые являются структурами с апериодическими порядка.
Плитки Ванга представляют собой квадраты, окрашенные по каждому краю и размещенные таким образом, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга . Подходящий набор домино Ванга может выложить плитку на плоскости, но только апериодически. Это известно, потому что любую машину Тьюринга можно представить как набор домино Ванга, которые покрывают плоскость мозаикой тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема остановки неразрешима, неразрешима и проблема определения того, может ли набор домино Ванга замостить плоскость.
Плитки Truchet - это квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют симметрии вращения ; в 1704 году Себастьен Труше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут покрывать плоскость периодически или случайным образом.
Мозаика и цвет
Если цвета этой мозаики должны образовывать узор, повторяя этот прямоугольник в качестве основного домена , требуется как минимум семь цветов; в более общем случае необходимо как минимум четыре цвета .
Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях позже могут быть применены произвольные цвета. При обсуждении мозаики, отображаемой в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или только частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одинаковой формы, но разных цветов считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах утверждает, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет, так что никакие плитки одинакового цвета не пересекаются на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не соответствует симметрии мозаики. Чтобы получить нужную окраску, необходимо рассматривать цвета как часть мозаики. Здесь может потребоваться целых семь цветов, как на картинке справа.
Тесселяции с многоугольниками
Наряду с различными мозаиками правильными многоугольниками изучались также мозаики другими многоугольниками.
Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в серединах всех сторон. Для несимметричного четырехугольника эта плитка принадлежит группе обоев p2 . В качестве основной области мы имеем четырехугольник. Точно так же мы можем построить параллелограмм, к которому добавлен минимальный набор векторов трансляции, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет такую же площадь, что и четырехугольник, и может быть построен из него путем вырезания и склейки.
Если разрешена только одна форма плитки, существует мозаика с выпуклыми N -угольниками для N, равного 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см. Пятиугольная мозаика , для N = 6 см. Гексагональная мозаика , для N = 7 , см. Гиптагональную мозаику и для N = 8 , см. восьмиугольную мозаику .
Мозаики Вороного
Мостики Вороного или Дирихле - это мозаики, в которых каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) Ячейка Вороного для каждой определяющей точки представляет собой выпуклый многоугольник. Триангуляции Делона является тесселяцией , что является двойственным графом из тесселяции Вороной. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями. Мостики Вороного со случайно расположенными точками могут использоваться для построения случайных мозаик плоскости.
Тесселяции в высших измерениях
Тесселяция трехмерного пространства: ромбический додекаэдр - одно из твердых тел, которые можно сложить, чтобы точно заполнить пространство .
Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Некоторые многогранники могут быть сложены в виде правильного кристаллического узора для заполнения (или мозаики) трехмерного пространства, включая куб (единственный платоновский многогранник, способный это сделать), ромбический додекаэдр , усеченный октаэдр , а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. , среди прочего. Любой многогранник, который соответствует этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. Встречающиеся в природе ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов из андрадит (своего рода гранате ) и флюорита .
Тесселяции в трех или более измерениях называются сотами . В трех измерениях есть только одна правильная сотовая структура, у которой восемь кубов в каждой вершине многогранника. Точно так же в трех измерениях есть только одна квазирегулярная сотовая структура, которая имеет восемь тетраэдров и шесть октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако существует множество возможных полуправильных сот в трех измерениях. Равномерные многогранники можно построить с помощью конструкции Витхоффа .
Бипризма Schmitt-Конвей выпуклый многогранник со свойством черепицы пространства только апериодическим.
Schwarz треугольник представляет собой сферический треугольник , который может быть использован для плитки в сфере .
Читайте также: