Триангуляция как сделать

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 05.10.2024

В геометрии и тригонометрии , триангуляция представляет собой метод для определения положения точки путем измерения углов между этой точкой и другими опорными точками, положение которых известно, а не непосредственно измерениями расстояния между ними. Пункты. Эту точку можно рассматривать как третью вершину треугольника, у которого нам известны два угла и длина одной стороны.

По аналогии , триангуляция также относится к перекрестному использованию методов сбора данных в качественных исследованиях , особенно в социальных науках .

Резюме

Математика

В топологии триангуляция топологического пространства X - это симплициальный комплекс K, гомеоморфный X, и гомеоморфизм h : K → X. Триангуляция полезна для определения свойств топологического пространства.

В геометрии , A триангуляции представляет собой способ разрезания геометрической формы (плоскость, А полигон ) в набор треугольников . Классический пример - триангуляция Делоне . Одно из применений этого подхода - сетка детали, позволяющая проводить анализ методом конечных элементов .

Триангуляция - это также процесс определения расстояния путем вычисления длины одной стороны треугольника и измерения двух углов этого треугольника. Этот метод использует тригонометрические тождества .

За шестьсот лет до христианской эры Фалес разработал метод оценки расстояния корабля в море от берега. Чтобы приблизительно измерить это расстояние, он разместил двух наблюдателей A и C на берегу на известном расстоянии b . Он попросил каждого из них измерить угол между линией, соединяющей его с лодкой B, и линией, соединяющей его с другим наблюдателем. Этот принцип оптической телеметрии используется в оптической инженерии, а также в военной области, когда нет радара.

Метод представляет интерес, если мы хотим определять большие расстояния; но в этом случае мы должны разместить двух наблюдателей достаточно далеко друг от друга, чтобы измерения углов были более точными.

Используемые математические свойства

Для триангуляции часто используются следующие свойства:

Сумма углов треугольника равна πрадиан (180 градусов ),
Закон синусов и косинусов ,
Теорема Пифагора ,
Тригонометрия.

Триангуляция страны

До 1980-х годов триангуляция в основном использовалась для измерения расстояний (расстояния по прямой, которые не должны быть покрыты, поверхность имела рельеф и кривизну). Триангуляция заключается в получении путем визирования углов треугольника, вершины которого выбираются исходя из их видимости (башня, вершина, колокольня и т. Д.). Этот первый треугольник затем соединяется цепью с другим, имеющим с ним одну общую сторону, продолжая цепочку вдоль измеряемого меридиана. Достаточно определить основание в начале, то есть измерить на земле одну сторону первого треугольника, чтобы получить длину сторон всех треугольников.

Этот процесс, повторяемый шаг за шагом, использовался Деламбром и Мешеном с 1792 по 1798 год для измерения расстояния между Дюнкерком и Барселоной (примерно 1147 км) по парижскому меридиану , что позволит впервые практическое и официальное определение метра в 1799 году (хотя понятие метра как универсальной и десятичной единицы возникло гораздо раньше, см. работы Джона Уилкинса и Тито Ливио Бураттини ).

Таким образом, с точки отсчета можно определить положение различных точек территории и создать сетку. Эта сетка затем позволяет получить точную картографию , деформации которой известны, по сравнению с картами, нарисованными от руки с высокой точки [не ясно] . Первая карта Франции, составленная таким образом, была опубликована в 1745 году на основе исследований Жака и Сезара Кассини .

Приложения

Триангуляция по направлениям чтения

Пеленгатор на частотах: 410 кГц , 500 кГц и 2182 кГц для точного определения путем триангуляции места радиоизлучения.

Триангуляция используется в различных областях, таких как выживание , навигация , астрономия , вооружение (ракеты).

Таким образом, корабль может узнать свое местоположение, записав направление наблюдения (угол по отношению к северу) с двух удаленных точек (например, шпиля церкви, маяка); затем ему достаточно на карте нарисовать прямые линии, проходящие через наблюдаемые точки и отмеченные направлением, пересечение этих прямых линий является положением корабля. Для устранения неточностей измерения обычно используются три контрольные точки, называемые ориентирами . Это пеленг навигации .

В случае электромагнитных волн (например, радиоволн ) положение может быть определено с помощью направленной антенны (то есть антенны, улавливающей только волны, приходящие с заданного направления); ориентация, при которой сигнал является наиболее сильным, дает направление передатчика, тогда достаточно снять несколько показаний, чтобы определить положение передатчика ( пеленгирование ). Этот метод, например, использовался во время немецкой оккупации Франции для обнаружения подпольных радиопередатчиков.
Обычная пеленгаторная частота 410 кГц по-прежнему зарезервирована во всем мире для пеленгации по запросу и сообщает свое местоположение судам и самолетам, которые их запрашивали.

Статическая позиция

Мы целимся в две точки и отмечаем направления прицеливания. Затем достаточно провести на карте прямую линию, проходящую через целевую точку с указанием направления. Пересечение линий дает позицию.

У нас есть две вершины треугольника (ориентиры) и направление двух сторон, не соединяющих эти вершины (опоры), что позволяет полностью определить треугольник.

Если мы сделаем три чтения, мы должны получить единую точку соревнования трех линий. На практике неточности - в прицеливании, в измерении угла, на линии линии - приводят к получению треугольника, размер которого дает оценку точности измерения. Мы можем разумно (если углы составляют 120 ° друг от друга) принять за положение центра масс этого треугольника, а за ошибку - расстояние между этим центром и самой удаленной точкой.

Движущийся автомобиль

В случае движущегося транспортного средства необходимо учитывать движение транспортного средства. Для этого необходимо знать направление и скорость транспортного средства. Направление движения задается компасом ; в случае парусника скорость можно оценить по скорости ветра и течения.

Если скорость низкая и показания снимаются внимательно (в случае морского судоходства), этим явлением можно пренебречь, с другой стороны, следует отметить время считывания.

Знание этого движения дает возможность считывать показания только с одним ориентиром, например, в случае навигации в туманную погоду, когда периодически будет видно только характерное место. Затем записываются направления и время обследования.

Таким образом, у нас есть вершина треугольника (горькая), направления двух сторон (два показания), а также направление и длина третьей стороны (траектория лодки), что позволяет полностью определить треугольник. .

Триангуляция путем измерения расстояний

Этот раздел необходимо переработать (февраль 2015 г.) .
Необходима реорганизация и уточнение содержания. Улучшите его или обсудите области, требующие улучшения .

Положение можно отметить, оценив расстояние по трем точкам. Если мы возьмем две опорные точки, у нас будет две вершины и длины сторон, не соединяющих эти вершины, что определяет два треугольника; точка обзора находится в третьей вершине одного из этих треугольников. Добавление третьей опорной точки позволяет определить, какая из двух вершин является правильной.

Использование силы сигнала

Если мы не знаем интенсивности передатчика или характеристик приемников, мы должны найти позиции, для которых сигнал принимается с такой же интенсивностью; тогда передатчик располагается на серединном перпендикуляре сегмента, образованного двумя приемниками. Источник может быть расположен со вторым отсчетом на пересечении двух перпендикулярных биссектрис. Слегка модифицированный метод медиаторов используется при проведении аварийно-спасательных работ для обнаружения похороненных жертв с помощью геостереофона .

Использование скорости распространения сигнала

Если у нас есть события, излучающие сигнал, то, отмечая задержку прибытия сигналов, мы можем определить разницу в расстоянии между событиями и приемниками, при условии, что скорость распространения сигнала известна.

Если сам приемник синхронизирован с передатчиками, то можно напрямую определить время прохождения и, следовательно, расстояние между передатчиком и приемником.

Площадь возможного расположения гипоцентра, определенная двумя удаленными сейсмографическими станциями.

Например, чтобы определить местонахождение землетрясения , у нас есть одно событие, генерирующее сигнал, землетрясение и несколько синхронизированных приемных станций, сейсмографов . Сейсмическая волна прибывает в разное время к сейсмографам. Очаг землетрясения ( гипоцентр ) находится на расстоянии d _i от сейсмографа i .

Фокус и два сейсмографа образуют треугольник; нам известны две вершины S ₁ и S ₂ треугольника (сейсмографы), координаты ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), а также разница в длине D между двумя стороны, не соединяющие эти вершины. Следовательно, третья вершина треугольника находится на поверхности, удовлетворяющей условию d ( M , S 1 ) - d ( M , S 2 ) знак равно D , \ mathrm _ ) - d (\ mathrm , \ mathrm _ ) = \ mathrm > является ( Икс - Икс 1 ) 2 + ( y - y 1 ) 2 + ( z - z 1 ) 2 - ( Икс - Икс 2 ) 2 + ( y - y 2 ) 2 + ( z - z 2 ) 2 знак равно D <\ displaystyle <\ sqrt <(x-x_ ) ^ + (y-y_ ) ^ + (z-z_ ) ^ >> - <\ sqrt <(x-x_ ) ^ + (y-y_ ) ^ + (z-z_ ) ^ >> = \ mathrm > .

Возможные позиции эпицентра в качестве землетрясения в зависимости от времени прихода волн на два удаленных станциях сейсмографических

которое является уравнением гиперболоида . Требуется достаточно сейсмографов, чтобы определить три поверхности, причем точка конкуренции этих поверхностей дает фокус землетрясения.

Существует несколько типов сейсмических волн, распространяющихся с разной скоростью, что позволяет сделать несколько определений. Однако проблема усложняется, потому что:

волны не распространяются по прямой линии: скорость распространения зависит от давления и, следовательно, от глубины под землей возникает явление преломления с непрерывным изменением показателя преломления ;
есть разрывы, поэтому волны отражаются ;
поперечные волны (тип S) не распространяются в жидкости, поэтому не могут проходить через ядро Земли .

Мы также можем определить местонахождение других событий, таких как сильный взрыв: ядерное испытание , крупномасштабная промышленная катастрофа, такая как авария на заводе AZF и т. Д.

Для спутниковой навигации (система типа GPS ) есть несколько синхронизированных передатчиков и один приемник в месте расположения.

Это также расчет по измерению времени восприятия атмосферных явлений, которые могут определять местонахождение ударов молнии .

Чтобы ваша модель не рябила артефактами и ошибками, выглядела одинаково хорошо на всех платформах и не пожирала ресурсы, необходимо ее оптимизировать. Что такое texel density, mip mapping и padding, зачем нужна триангуляция и как сделать правильный шейдинг. Обо всем этом расскажет Евгений Петров Lead Weapon Artist компании Ulysses Graphics .

Shading

Шейдинг — это подложка под запекание нормалки. Чем лучше он выглядит, тем красивее будет финальная модель и normal map. Слева на скриншоте пример хорошего шейдинга, справа — плохого.

То есть слева low poly модель, максимально похожая на high poly: выглядит красиво, нет никаких артефактов и искажений. Справа видны ошибки в шейдинге, искажения.

Основные инструменты воздействия на шейдинг — это добавление большего количества геометрии. Если этот вариант не подходит, — проставление хардов. Изначально шейдинг модели на гифке ниже недостаточно корректно отображает ее форму. С добавлением edge loops модель шейдится лучше. Ее форма становится понятней.

Это самый лучший, но и самый затратный способ, потому что используется большое количество полигонов. Если у вас ограничения по полигонам, можно использовать харды. Однако в этом случае придется делать разрез на UV.

Поэтому хороший шейдинг — это баланс между софтами и хардами.

Совет всем начинающим: настраивайте шейдинг во время low poly стадии. Таким образом вы прямо по ходу ретопологии сможете понять, где добавить дополнительную геометрию, а где поставить hard edge.

Многие сначала делают ретопологию, разворачивают, запаковывают и только потом настраивают шейдинг по хардам. Это не самый корректный способ. Результат будет более оптимальным, если изначально опираться на шейдинг.

Texel Density

Это количество пикселей на текстуре, которое соответствует физическому размеру объекта. Слева на скриншоте — UV развертка ствола пистолета. Допустим, на текстуре 2К он длинной в 10 пикселей. Справа мы видим сам ствол. Предположим, что его длина 10 сантиметров. Таким образом Texel Density будет 1 пиксель на сантиметр.

Это нужно для того, чтобы абсолютно все объекты на уровне имели одинаковое разрешение текстур. Предположим, на уровне есть две бочки — одна маленькая, другая большая. Если мы применим к ним одинаковую текстуру в 2К, плотность их текстур будет отличаться. Маленькая бочка будет крайне плотная и детализированная, большая будет замыленная. Чтобы избежать этих проблем появился термин Texel Density.

Очень часто бывает, что клиент задает необходимое значение Texel Density, но не задает разрешение текстур. Раньше это создавало трудности. Приходилось колхозить. Сейчас в UV Editor Maya 2018 есть специальный инструмент. Выбираете необходимый UV Shell, нажимаете Get и вам выдает числовое значение, в зависимости от разрешения текстур. Точно так же можно выбрать любой Shell, задать цифру, нажать Set и Texel Density будет такой, как вы задали.

Распределение Texel Density.

Предположим, что желтый цвет — это Texel Density, которого мы должны придерживаться. Чем краснее цвет, тем его значение больше, текстура плотнее, детализация выше. И наоборот, — чем синее, тем значение меньше.

Прием с увеличением значения используется, в основном, в оружии от первого лица. Потому что, заднюю часть пистолета мы видим больше всего, и было бы неплохо сделать ее более детализировано.

Для одного из тестовых я делала квадратный генератор. Его днище, которое в принципе никогда никто не увидит, я разювишил точно так же, как и все остальное. То есть оно занимало ¼ моего UV пространства. Это было абсолютно не оптимальное использование текстуры. Для экономии пространства, в невидимых местах, заполненных геометрией, необходимо использовать крайне маленькие шеллы текстур.

Reuse

Повторное использование текстур — еще один не менее важный инструмент. Я использую его даже в работах для портфолио, потому что он тоже экономит много пространства.

Возьмем, например, пистолет. Его рукоять симметричная. Почему бы не использовать одну и ту же текстуру для обеих сторон? Все, что на гифке отмечено красным, используется повторно. То есть на UV пространстве оно занимает одно место, а на модели используется дважды.

Данный прием экономит не только пространство на UV, но и время на текстуринге, потому что текстурить вам нужно только одну сторону. Но есть и небольшой минус. Надписи, логотипы, цифры, текст, будут отображены зеркально. В таких случаях тоже есть уловка: можно использовать символы, которые читаются с двух сторон. Это жертвы, на которые стоит идти, чтобы, убрав лишнюю работу, повысить качество модели.

Ровные UV Shells

Для примера, я запек два кубика с одинаковым Texel Density и текстурой. Но в кубе слева все UV Shells выровнены по горизонтали и вертикали, а справа повернуты под углом.

Ровные шеллы создают хорошую, красивую фаску. Если же шеллы повернуты, мы видим эффект лесенки. Это крайне некрасиво. Особенно на игровых разрешениях текстур. Потому что в играх используется маленькое разрешение, на котором это очень заметно. Поэтому любой прямоугольный шелл нужно выравнивать. Даже если это не идеальная прямоугольная форма на самом объекте, я его специально выравниваю, чтобы на UV он был ровный.

Mip Mapping и Padding

Если игрок отдаляется от какого-то игрового объекта, то модель этого объекта меняется на менее полигональную. Точно так же с текстурами — чем дальше мы отходим, тем меньшая текстура к нему применяется. 4К подменяется на 2К, когда мы отходим еще дальше — на 1К. Этот прием экономит ресурсы вашего компьютера.

Padding — это расстояние между UV Shells. Чем меньше это расстояние, тем сложнее отображать текстуры при Mip Mapping. Потому что при уменьшении текстур, уменьшается и расстояние между шеллами. Padding нужно всегда делать побольше, или хотя бы следить за тем, чтобы он везде был равномерным. Для персональных работ, в принципе, все равно, но если вы делаете проекты для клиентов, на это следует обращать внимание.

Триангуляция

Это очень важный момент. Изначально полигоны прямоугольные — квады. Соединив два вертекса, получается два треугольника.

Любой движок, работающий с геометрией, триангулирует модель, чтобы корректно ее отобразить.

Если оставить квады на ровной поверхности, никаких проблем не будет. Но бывают не идеально ровные полигоны. И вот тут уже, в зависимости от того, как мы соединяем вертексы, меняется форма. В одном случае он вогнутый, в другом выпуклый.

Если запекать в квадах, то бейкер триангулирует модель каким-то своим образом, и на базе этой триангуляции выдает нормалку. Если затем эту модель закинуть в движок, то не факт, что он триангулирует ее также. Из-за несоответствия нормалки с триангуляцией, появятся ошибки и артефакты.

Чтобы быть уверенным, что ваша нормалка будет везде красиво смотреться, триангулируйте меш до запекания.

Градиенты на нормалях

Если вы все правильно сделали, нормалка будет выглядеть как на картинке слева. Она стремиться к однородному цвету, а градиентная информация находится по фаскам. Справа пример плохой нормалки с большим количеством градиентов.

Почему градиенты — это плохо? Текстуры — самая затратная часть любой игры. Когда вы качаете игру на 150 гигов, 100 из них — текстуры. Но все они компрессируются, что ухудшает их качество. Лучше всего компрессия видна в тех местах, где есть градиенты. Поэтому при максимально ровной нормалке ошибок быть не должно. Они, конечно, будут, но значительно меньше, чем с градиентом.

Следуя этим правилам, вы легко повысите качество своих работ, сократив усилия, необходимые для их создания.

Во второй части статьи рассмотрим основные правила хорошего текстурирования, которые помогут оживить вашу модель и сделать ее более интересной.

Подписывайтесь на нас в Facebook , Telegram , Vkontakte , Pinterest , чтобы ничего не пропустить.

Что собой представляет триангуляция? Следует отметить, что это слово имеет несколько значений. Так, оно используется в геометрии, геодезии и информационных технологиях. В рамках статьи внимание будет уделено всем темам, но наибольшее получит самое популярное направление - использование в технической аппаратуре.

В геометрии

Итак, начинаем разбирать, что собой представляет триангуляция. Что это такое в геометрии? Допустим, у нас есть неразвертываемая поверхность. Но при этом необходимо иметь представление о её строении. А для этого нужно развернуть её. Звучит невозможно? А вот и нет! И в этом нам поможет метод триангуляции. Следует отметить, что его использование предоставляет возможность построить только приближенную развертку. Метод триангуляции предусматривает использование примыкающих один ко второму треугольников, где можно вымерять все три угла. При этом должны быть известны координаты как минимум двух пунктов. Остальные подлежат определению. При этом создаётся или сплошная сеть, или цепочка треугольников.

Для получения более точных данных используют электронно-вычислительные машины. Отдельно следует упомянуть про такой момент, как триангуляция Делоне. Её суть в том, что при имеющемся множестве точек, за исключением вершин, все они лежат вне окружности, что описывается вокруг треугольника. Впервые это описал советский математик Борис Делоне в 1934 году. Его разработки используются в евклидовой задаче о коммивояжере, билинейной интерполяции и методе конечных элементов. Вот что собой представляет триангуляция Делоне.

В геодезии

В данном случае предусматривается, что создаётся пункт триангуляции, который в последующем включается в сеть. Причем последняя строится таким образом, что напоминает группу треугольников на местности. У полученных фигур измеряют все углы, а также некоторые базисные стороны. То, как будет проведена триангуляция поверхности, зависит от геометрии объекта, квалификации исполнителя, доступного парка приборов и технико-экономических условий. Всё это и решает уровень сложности работ, что могут быть осуществлены, а также качество их проведения.

В информационных сетях

Глобальная система позиционирования

Уже прошло не одно десятилетие с тех пор, как GPS был запущен и успешно функционирует. Глобальная система позиционирования состоит из центральной станции управления, размещённой в Колорадо, и наблюдательных пунктов по всему миру. За время её работы успело смениться уже несколько поколений спутников.

Сейчас GPS представляет собой мировую радионавигационную систему, которая базируется на ряде спутников и земных станций. Её преимуществом является возможность расчета координаты объекта с точностью до считанных метров. Как может быть представлена триангуляция? Что это и как работает? Представьте, что каждый метр на планете имеет свой уникальный адрес. И если есть пользовательский приёмник, то можно запросить координаты своего местонахождения.

Как это работает на практике?

Условно здесь можно выделить четыре основных этапа. Первоначально осуществляется триангуляция спутников. Затем измеряется расстояние от них. Проводится абсолютное измерение времени и определение спутников в космосе. И напоследок проводится дифференциальная коррекция. Это если кратко. Но не совсем понятно, как в данном случае работает триангуляция. Что это не хорошо, понятно. Давайте детализируем.

Итак, первоначально измеряем расстояние до спутника. Установили, что оно составляет 17 тысяч километров. И поиски нашего местоположения существенно сужаются. Точно известно, что мы находимся на конкретном расстоянии, и нас необходимо искать в той части земной сферы, которая находится в 17 тысячах километрах от засеченного спутника. Но это ещё не всё. Мы измеряем расстояние до второго спутника. И выявляется, что мы от него удалены на 18 тысяч километров. Итак, нас следует искать в месте, где пересекаются сферы этих спутников на установленном расстоянии.

Обращение к третьему спутнику позволит ещё дополнительно уменьшить территорию поиска. И так далее. Местонахождения определяется как минимум по трем спутникам. Определение точных параметров идёт согласно заложенным данным. Допустим, что радиосигнал двигается со скоростью близкой к световой (то есть, немногим меньше 300 тысяч километров в секунду). Определяется время, за которое он проходит от спутника к приёмнику. Если объект находится на высоте в 17 тысяч километров, то это будет около 0,06 секунды. Затем устанавливается позиция в пространственно-временной системе координат. Так, каждый спутник имеет четко заданную орбиту вращения. И зная все эти данные, техника и осуществляет расчет местонахождения человека.

Специфика глобальной системы позиционирования

По документации её точность колеблется в диапазоне от 30 до 100 метров. На практике, использование дифференциальной коррекции позволяет получать детализацию данных до сантиметров. Поэтому сфера применения глобальной системы позиционирования просто огромна. Она используется для отслеживания транспортировки дорогостоящих грузов, помогает точно посадить самолёты, вести судна в туманную погоду. Ну и самое известное – это применение в автомобильных навигационных системах.

Алгоритмы триангуляции благодаря своей универсальности и охвате всей планеты позволяет свободно путешествовать даже по незнакомым местам. При этом система сама прокладывает путь, указывает, где необходимо свернуть, чтобы добраться до установленной конечной цели. Благодаря постепенному удешевлению GPS, даже есть автомобильные сигнализации на основе этой технологии, и сейчас если машину угонят, найти и вернуть её не составит труда.

А что там с мобильной связью?

Здесь, увы, не всё так гладко. Если GPS может определить координаты с точностью до метра, то триангуляция в сотовой связи такого качества обеспечить не может. Почему? Дело в том, что в данном случае в качестве опорного пункта выступает базовая станция. Считается, что если есть две БС, то можно получить одну из координат телефона. А если их три, то точное местоположение – это не проблема. Частично это верно. Но триангуляция мобильного телефона имеет свои особенности. Но тут встаёт вопрос о точности. Перед этим нами была рассмотрена система глобального позиционирования, которая может достигать феноменальной точности. А вот, несмотря на то, что мобильная связь имеет значительно больше аппаратуры, говорить о каком-то качественном соответствии не приходится. Но обо всём по порядку.

Ищем ответы

Но первоначально давайте сформируем вопросы. Поддаётся ли определению расстояние от базовой станции к телефону при использовании стандартных средств. Да. Но будет ли это кратчайшее расстояние? Кто занимается измерениями – телефон или базовая станция? Какова точность полученных данных? Во время обслуживания разговора базовая станция замеряет время прохождения сигнала от неё к телефону. Вот только при этом он может отражаться, скажем, от зданий. Следует понимать, что расстояние считается по прямой. И помните – только во время процесса обслуживания звонка.

Ещё один существенный минус – это довольно значительный уровень погрешности. Так, она может достигать значения в пятьсот метров. Триангуляция мобильного телефона осложняется ещё и тем, что базовые станции не знают, какие устройства есть на подконтрольной у них территории. Аппарат ловит их сигналы, но не информирует про себя. К тому же телефону под силу измерить сигнал базовой станции (что он, впрочем, постоянно делает), но вот величина затухания ему неизвестна. И здесь возникает идея!

Базовые станции знают свои координаты и мощность передатчиков. Телефон может определить, насколько хорошо он слышит их. В таком случае необходимо засекать все станции, которые работают, обмениваться данными (для этого понадобится специальная программа, рассылающая проверочные пакеты), собирать координаты и при надобности передавать их другим системам. Казалось бы всё, дело в шляпе. Но, увы, для этого необходимо осуществить ряд модификаций, в том числе и сим-карты, доступ к которой вовсе не гарантирован. И для того чтобы теоретическую возможность превратить в практическую, необходимо существенно поработать.

Заключение

Несмотря на то что телефоны есть практически у всех людей, утверждать, что человека можно запросто отследить, всё же не следует. Ведь это не такое легкое дело, как может показаться на первый взгляд. Более-менее уверенно можно говорить об удаче только при использовании глобальной системы позиционирования, но для неё необходим специальный передатчик. В целом, после прочтения этой статьи, надеемся, что у читателя больше не осталось вопросов относительного того, что же собой представляет триангуляция.

Триангуляции Делоне широко используются в научных вычислениях во многих разнообразных приложениях. В то время как существуют многочисленные алгоритмы для вычислительных триангуляций, это - благоприятные геометрические свойства Триангуляции Делоне, которые делают его настолько полезным.

Основное свойство является критерием Delaunay. В случае 2D триангуляций это часто называется пустым критерием описанного круга. Для набора точек в 2D Триангуляция Делоне этих точек гарантирует, что описанный круг, сопоставленный с каждым треугольником, не содержит никакую другую точку в своей внутренней части. Это свойство важно. На рисунке ниже, описанный круг сопоставлен с T1 isempty. Это не содержит точку в своей внутренней части. Описанный круг сопоставлен с T2 isempty. Это не содержит точку в своей внутренней части. Этой триангуляцией является Триангуляция Делоне.

Треугольники ниже отличаются. Описанный круг сопоставлен с T1 не пусто. Это содержит V3 в его внутренней части. Описанный круг сопоставлен с T2 не пусто. Это содержит V1 в его внутренней части. Этой триангуляцией не является Триангуляция Делоне.

Треугольники Delaunay, как говорят, “хорошо формируются”, потому что в выполнении пустого свойства описанного круга, треугольники с большими внутренними углами выбраны по единицам с маленькими внутренними углами. Треугольники в нетриангуляции Делоне имеют резкие углы в вершинах V2 и V4 . Если ребро были заменены ребром, соединяющим V1 и V3 , минимальный угол был бы максимизирован, и триангуляция станет Триангуляцией Делоне. Кроме того, Триангуляция Делоне соединяет точки способом ближайшего соседа. Эти две характеристики, хорошо сложенные треугольники и отношение ближайшего соседа, имеют важные последствия на практике и мотивируют использование Триангуляций Делоне в интерполяции данных, имеющий разброс.

В то время как свойство Delaunay четко определено, топология триангуляции не уникальна в присутствии вырожденных наборов точки. В двух измерениях степени вырождения возникают, когда четыре или больше уникальных точки лежат на том же круге. Вершины квадрата, например, имеют групповую Триангуляцию Делоне.

Свойства Триангуляций Делоне расширяют к более высоким размерностям. Триангуляция 3-D набора точек состоит из тетраэдров. Следующий рисунок показывает простую 3-D Триангуляцию Делоне, составленную из двух тетраэдров. Описанная сфера одного четырехгранника, как показывают, подсвечивает пустой критерий описанной сферы.

3-D Триангуляция Делоне производит тетраэдры, которые удовлетворяют пустому критерию описанной сферы.

Создание триангуляций Делоне

MATLAB ® обеспечивает два способа создать Триангуляции Делоне:

Функции delaunay и delaunayn

delaunay функционируйте поддерживает создание 2D и 3-D Триангуляций Делоне. delaunayn функционируйте поддержки, создающие Триангуляции Делоне в 4-D и выше.

Совет

Создание Триангуляций Делоне в размерностях выше, чем 6-D обычно не практично для обработки больших наборов данных из-за экспоненциального роста в необходимой памяти.

delaunayTriangulation поддержки класса, создающие Триангуляции Делоне в 2D и 3-D. Это предоставляет много методов, которые полезны для разработки основанных на триангуляции алгоритмов. Эти методы класса похожи на функции, но они ограничиваются, чтобы работать с триангуляциями, созданными с помощью delaunayTriangulation . delaunayTriangulation класс также поддерживает создание связанных построений, таких как выпуклая оболочка и Диаграмма Вороного. Это также поддерживает создание ограниченных Триангуляций Делоне.

delaunay функция полезна, когда вы только требуете основных данных о триангуляции, и те данные достаточно завершены для вашего приложения.

delaunayTriangulation класс предлагает больше функциональности для разработки основанных на триангуляции приложений. Полезно, когда вы требуете триангуляции, и вы хотите выполнить любую из этих операций:

Ищите триангуляцию треугольники или тетраэдры, заключающие точку запроса.

Используйте триангуляцию, чтобы выполнить поиск точки ближайшего соседа.

Запросите топологическую смежность триангуляции или геометрические свойства.

Измените триангуляцию, чтобы вставить или удалить точки.

Ограничьте ребра в триангуляции — это называется ограниченной Триангуляцией Делоне.

Триангулируйте многоугольник и опционально удалите треугольники, которые находятся вне области.

Используйте Триангуляцию Делоне, чтобы вычислить выпуклую оболочку или Диаграмму Вороного.

Используя delaunay и функции delaunayn

delaunay и delaunayn функции берут набор точек и производят триангуляцию в матричном формате. Обратитесь к Матричному Формату Триангуляции для получения дополнительной информации об этой структуре данных. В 2D, delaunay функция часто используется, чтобы произвести триангуляцию, которая может использоваться, чтобы построить поверхность, заданную в терминах набора точек данных, имеющий разброс. В этом приложении важно отметить, что этот подход может только использоваться, если поверхность однозначна. Например, это не могло использоваться, чтобы построить сферическую поверхность, потому что существует два z значения, соответствующие синглу ( x Y ) координата. Простой пример демонстрирует как delaunay функция может использоваться, чтобы построить поверхность, представляющую набор выборочных данных.

В этом примере показано, как использовать delaunay функция, чтобы создать 2D Триангуляцию Делоне из набора данных подводной горы. Подводная гора является подводной горой. Набор данных состоит из набора долготы ( x ) и широта ( y ) местоположения и соответствующие вертикальные изменения подводной горы ( z ) измеренный в тех координатах.

Загрузите набор данных подводной горы и просмотрите ( x Y ) данные как график рассеивания.

Создайте Триангуляцию Делоне из этого набора точки и используйте triplot построить триангуляцию на существующем рисунке.

Добавьте данные о глубине ( z ) с подводной горы на лифт вершины и создают поверхность. Создайте новую фигуру и используйте trimesh построить поверхность в каркасном режиме.

Если вы хотите построить поверхность в теневом режиме, используйте trisurf вместо trimesh .

3-D Триангуляция Делоне также может быть создана с помощью delaunay функция. Эта триангуляция состоит из тетраэдров.

В этом примере показано, как создать 3-D Триангуляцию Делоне случайного набора данных. Триангуляция построена с помощью tetramesh , и FaceAlpha опция добавляет прозрачность в график.

MATLAB обеспечивает delaunayn функционируйте, чтобы поддержать создание Триангуляций Делоне в размерности 4-D и выше. Две дополнительных функции tsearchn и dsearchn также обеспечиваются, чтобы поддержать пространственный поиск триангуляций N-D. Смотрите Пространственный Поиск для получения дополнительной информации об основанном на триангуляции поиске.

Используя Класс delaunayTriangulation

delaunayTriangulation класс обеспечивает другой способ создать Триангуляции Делоне в MATLAB. В то время как delaunay и delaunayTriangulation используйте тот же базовый алгоритм и произведите ту же триангуляцию, delaunayTriangulation предоставляет дополнительные методы, которые полезны для разработки находящихся в Delaunay алгоритмов. Эти методы похожи на функции, которые упакованы вместе с данными о триангуляции в контейнер, названный классом. Держание вместе всего в классе обеспечивает более организованную настройку, которая улучшает простоту использования. Это также улучшает производительность основанных на триангуляции поисковых запросов, таких как местоположение точки и ближайшего соседа. delaunayTriangulation поддерживает инкрементное редактирование Триангуляции Делоне. Также можно наложить ограничения ребра в 2D.

Представления триангуляции вводят triangulation класс, который поддерживает топологические и геометрические запросы для 2D и 3-D триангуляций. delaunayTriangulation специальный вид triangulation . Это означает, что можно выполнить любой triangulation запросите на delaunayTriangulation в дополнение к Delaunay-специфичным запросам. В более формальных терминах языка MATLAB, delaunayTriangulation подкласс triangulation .

В этом примере показано, как создать, запросите и отредактируйте Триангуляцию Делоне от seamount данные с помощью delaunayTriangulation . Набор данных подводной горы содержит ( x Y ) местоположения и соответствующие вертикальные изменения ( z ) это задает поверхность подводной горы.

Загрузите и триангулируйте ( x Y данные.

Constraints свойство пусто, потому что нет никаких наложенных ограничений ребра. Points свойство представляет координаты вершин и ConnectivityList свойство представляет треугольники. Вместе, эти два свойства задают матричные данные для триангуляции.

delaunayTriangulation класс является оберткой вокруг матричных данных, и это предлагает набор дополнительных методов. Вы получаете доступ к свойствам в delaunayTriangulation таким же образом вы получаете доступ к полям struct.

Читайте также: