Треугольник пенроуза своими руками
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 18.09.2024
Расхожее выражение "обман зрения" по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: "посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум".
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art), основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
| Невозможный треугольник Пенроуза | Треугольник, воспринимаемый как "возможный" |
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает "глубину", на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
- прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
- двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
- острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
- внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
 | |
| Водопад Эшера | "Москва", графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована "ложная перспектива". Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка "двусмысленна", часто встречался в работах китайских художников.
| Невозможный куб |
В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию "Водопад". Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Помимо уже упомянутых можно назвать бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Как из отдельных пикселов на экране формируются изображения, так и из основных геометрических фигур можно создавать объекты невозможной реальности. Например, рисунок "Москва", на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.
 "Три улитки (RDL-куб)", графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
На рисунке "Три улитки" маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок "Три улитки" продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
 |  |
| "IQ", графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | "Вверх и вниз", М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке "IQ" (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к "интеллектуальным математическим играм". Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
 Компьютерная графика на основе картины "Невозможный алфавит", 70х50 см, 1999 г. |
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине "Невозможный алфавит".
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера "Вверх и вниз" ("Ascending and Descending").
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или "чертова вилка".
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
| Невероятная лестница Пенроуза | "Чертова вилка" |
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких "хронофагов", т.е. пожирателей времени.
1 ноября, 2018 Анна Веселова
Здравствуйте! Продолжаем строить оптические иллюзии в Компас 3D. На предыдущем уроке мы строили такую невозможную фигуру-оптическую иллюзию (смотреть по ссылке).
Сегодня будем строить треугольник Пенроуза, известного также как трибар.
Способность создавать и оперировать пространственными образами характеризует уровень общего интеллектуального развития человека. В психологических исследованиях экспериментально подтверждено, что между склонностью человека к соответствующим профессиям и уровнем развития пространственных представлений имеет место статистически достоверная связь. Широкое применение невозможных фигур в архитектуре, живописи, психологии, геометрии и во многих других областях практической жизни дают возможность больше узнать о различных профессиях и определиться с выбором будущей профессии.
Ключевые слова: трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда.
Цель исследования: изучение свойств невозможных фигур с помощью с помощью 3-D моделей.
Задачи исследования:
- Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.
- Рассмотреть способы построения невозможных фигур.
- Создать невозможные фигуры с помощью компьютерной программы и 3D моделирования.
Понятие невозможных фигур
Анализируя разные определения, приходим к выводу:
невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного объекта таким образом, что объект, предложенный нашим пространственным восприятием, не может существовать, так что попытка создать его ведет к (геометрическим) противоречиям, ясно видимыми наблюдателем.
Когда мы смотрим на изображение, которое создает впечатление пространственного объекта, наша система пространственного восприятия пытается найти пространственную форму, определить ориентацию и структуру, начиная с анализа отдельных фрагментов и намеков на глубину. Далее, эти отдельные части комбинируются и координируются в некотором порядке для создания общей гипотезы о пространственной структуре объекта целиком. Обычно, несмотря на то, что плоское изображение может иметь бесконечное множество пространственных интерпретаций, наш механизм интерпретации выбирает только одну — наиболее естественную для нас. Именно эта интерпретация изображения далее проверяется на возможность или невозможность, а не сам рисунок. Невозможная интерпретация получается противоречивой по своей структуре — различные частичные интерпретации не подходят к общему непротиворечивому целому.
Фигуры являются невозможными, если их естественные интерпретации оказываются невозможными. Однако, это не подразумевает, что не существует какой-либо другой интерпретации этой же фигуры, которая может существовать. Таким образом, нахождение метода точного описания пространственных интерпретаций фигур является одним из основных путей для дальнейшей работы с невозможными фигурами и механизмами их интерпретации. Если суметь описать различные интерпретации, то можно будет сравнивать их, соотносить фигуру и ее различные интерпретации (понять механизмы создания интерпретаций), проверять их соответствие или определять типы несоответствия и т. п.
Виды невозможных фигур
Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.
В ходе работы над темой изучены 4 вида невозможных фигур: трибар, бесконечная лестница, невозможные ящики и космическая вилка. Все они уникальны по-своему.
Трибар (треугольник Пенроуза)
Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Рейтесвэрд в 1934 г. впервые представил миру невозможный треугольник из кубиков. В честь этого события в Швеции издана почтовая марка. Трибар можно сделать из бумаги. Любители оригами нашли способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого. Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.
Бесконечная лестница.
Невозможные ящики.
Космическая вилка.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.
Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам
Трибар
Бумажная модель:
Невозможный брусок
Построение невозможных фигур в программе Impossible Constructor
Программа Impossible Constructor предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков. Основными недостатками этой программы были сложность выбора нужного кубика (отыскать один нужный кубик из 32-х доступных в программе достаточно тяжело), а также то, что не были предусмотрены все варианты кубиков. Предлагаемая программа предоставляет к выбору полный набор кубиков (64 кубика), а также дает более удобный способ нахождения требуемого кубика при помощи конструктора кубиков.
Моделирование невозможных фигур.
Печать 3D моделей невозможных фигур на принтере
В ходе работы модели четырех невозможных фигур распечатаны на 3D принтере.
Треугольник Пенроуза
Процесс создания трибара:
Вот что у меня получилось в итоге:
Куб Эшера
Процесс создания куба: В конечном итоге получена модель:
Лестница Пенроуза (всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение):
Треугольник Рейтерсвэрда (первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков):
Процесс подготовки к печати дал возможность на практике научиться строить стереометрические фигуры на плоскости, выполнять проекции элементов фигур на заданную плоскость и продумывать алгоритмы построения фигур. Созданные модели помогли наглядно увидеть и проанализировать свойства невозможных фигур, сравнить их с известными стереометрическими фигурами.
Эта цитата непосредственно относится к данной работе. Действительно, невозможные фигуры существуют, если взглянуть на них под определенным углом. Мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Они существуют с древних времен по наше время. Их можно встретить практически везде: в искусстве, архитектуре, в массовой культуре, в живописи, в иконописи, в филателистике. Невозможные фигуры представляют большой интерес для психологов, когнитивистов и эволюционных биологов, помогая больше узнать о нашем зрении и пространственном мышлении. Сегодня компьютерные технологии, виртуальная реальность и проекции расширяют возможности, так что на противоречивые объекты можно взглянуть с новым интересом. Существует множество профессий, которые так или иначе связаны с невозможными фигурами. Все они востребованы в современном мире, а потому изучение невозможных фигур является актуальным и нужным.
Основные термины (генерируются автоматически): фигура, невозможная фигура, космическая вилка, бесконечная лестница, задний план, невозможный треугольник, модель, бумажная модель, нужный кубик, пространственное восприятие.
Ключевые слова
трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда
трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда
Похожие статьи
Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд
Невозможные фигуры были известны ещё в Средневековье, но систематическое их
Предположим, что треугольник Пенроуза можно создать из обычных трёх брусков бумаги.
Развитие критического мышления через пространственное.
Многие художники умело пользуются свойствами, присущими изображениям невозможных
Для того, чтобы четырехмаршовая лестница в изометрии выглядела как бесконечная.
Характеристика метода моделирования в формировании.
Поэтому модель определяется обычно как некий объект (система), исследование
Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций
Этот игровой материал – один из лучших для пространственного математического моделирования с детьми.
Развитие пространственного мышления у студентов в начале.
Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой
Чтобы получить эпюр точки, нужно преобразовать пространственный макет.
Процесс пространственного мышления должен включать в себя несколько операций.
Математическое моделирование в детском саду
Невозможно представить современную жизнь без наук. Испокон веков люди, познавая окружающий мир, совершали
Пространственное моделирование на базе оригами.
Развитие пространственных представлений учащихся при.
В статье изучаются вопросы формирования и развития пространственных представлений учащихся при решении геометрических олимпиадных задач. Исследуются основные причины снижения геометрической подготовленности учащихся школ.
GeoGebra как средство решения стереометрических задач
Важно, чтобы ученик, глядя на плоский рисунок, мог вообразить это пространственное тело и выявить данные по условию задачи элементы.
Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т.
Похожие статьи
Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд
Невозможные фигуры были известны ещё в Средневековье, но систематическое их
Предположим, что треугольник Пенроуза можно создать из обычных трёх брусков бумаги.
Развитие критического мышления через пространственное.
Многие художники умело пользуются свойствами, присущими изображениям невозможных
Для того, чтобы четырехмаршовая лестница в изометрии выглядела как бесконечная.
Характеристика метода моделирования в формировании.
Поэтому модель определяется обычно как некий объект (система), исследование
Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций
Этот игровой материал – один из лучших для пространственного математического моделирования с детьми.
Развитие пространственного мышления у студентов в начале.
Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой
Чтобы получить эпюр точки, нужно преобразовать пространственный макет.
Процесс пространственного мышления должен включать в себя несколько операций.
Математическое моделирование в детском саду
Невозможно представить современную жизнь без наук. Испокон веков люди, познавая окружающий мир, совершали
Пространственное моделирование на базе оригами.
Развитие пространственных представлений учащихся при.
В статье изучаются вопросы формирования и развития пространственных представлений учащихся при решении геометрических олимпиадных задач. Исследуются основные причины снижения геометрической подготовленности учащихся школ.
GeoGebra как средство решения стереометрических задач
Важно, чтобы ученик, глядя на плоский рисунок, мог вообразить это пространственное тело и выявить данные по условию задачи элементы.
Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т.
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 68 человек(а).
Параллельно одной из сторон треугольника начертите две линии. Расстояние между линиями должно быть одинаковым. Также следите, чтобы они получились прямыми.
Параллельно каждой из двух оставшихся сторон также нарисуйте по 2 линии. В итоге у вас получатся три треугольника, вписанные один в другой.
Выберите одну из сторон внутреннего треугольника. Продлите эту сторону до тех пор, пока она не достигнет среднего треугольника.
Теперь найдите эту же сторону у среднего треугольника и продлите эту линию в том же направлении, пока она не достигнет внешнего треугольника.
Теперь сотрите короткие сегменты, чтобы треугольник получился как будто трехмерным, а не плоским. То есть каждое ребро должно быть L-образным.
Читайте также: