Третья звездчатая форма икосаэдра как сделать
Обновлено: 12.07.2024
В геометрия, то полный или же окончательная звездчатость икосаэдра [1] [2] самый внешний звездчатость из икосаэдр, и является "полным" и "окончательным", потому что включает все ячейки в икосаэдре звездчатая диаграмма. То есть каждые три пересекающиеся плоскости граней ядра икосаэдра пересекаются либо в вершине этого многогранника, либо внутри него.
Как геометрическая фигура, она имеет две интерпретации, описанные ниже:
- Как нерегулярныйзвездный (самопересекающийся) многогранник с 20 идентичными самопересекающимися эннеаграмматический граней, 90 ребер, 60 вершин.
- Как простой многогранник с 180 треугольными гранями (60 равнобедренных, 120 разносторонних), 270 ребер и 92 вершины. Эта интерпретация полезна для модель многогранника строительство.
Иоганн Кеплер исследовали звездчатые образования, образующие правильные звездные многогранники ( Многогранники Кеплера-Пуансо) в 1619 г., но полный икосаэдр с неправильными гранями был впервые изучен в 1900 г. Макс Брюкнер.
Содержание
История
- 1619: В Harmonices Mundi, Иоганн Кеплер впервые применил звездчатый процесс, признав малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр как правильные многогранники. [4]
- 1809: Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера и еще два, большой икосаэдр и большой додекаэдр как правильные звездные многогранники, теперь называемые Многогранники Кеплера – Пуансо. [5]
- 1812: Огюстен-Луи Коши сделал дальнейшее перечисление звездных многогранников, доказав, что существует только 4 правильных звездных многогранника. [6]
- 1900: Макс Брюкнер расширил теорию звездчатости за пределы регулярных форм и идентифицировал десять звездчатых образов икосаэдра, включая полная звездчатость. [3]
- 1924: А.Х. Уиллер в 1924 году опубликовал список из 20 звездчатых форм (22 включая светоотражающие копии), в том числе полная звездчатость. [7]
- 1938: В их книге 1938 года Пятьдесят девять икосаэдров, Х. С. М. Коксетер, П. Дю Валь, Г. Т. Флатер и Дж. Ф. Петри сформулировали набор правил звездчатости для правильного икосаэдра и дали систематический перечень пятидесяти девяти звездчатых форм, которые соответствуют этим правилам. Полная звездчатая форма упоминается как восьмая в книге.
- 1974: В Веннингеркнига 1974 года Модели многогранников, последняя звездчатая форма икосаэдра включена как 17-я модель звездчатых икосаэдров с порядковым номером W42.
- 1995: Эндрю Хьюм назвал это в своей Netlib многогранная база данных как ехиднаэдр[8] (в ехидна, или колючий муравьед - маленький млекопитающее что покрыто грубым волосы и шипы и которая сворачивается в клубок, чтобы защитить себя).
Интерпретации
Как звездочка
Как простой многогранник
 А многогранная модель может быть построен из 12 наборов граней, каждая из которых сложена в группу из пяти пирамид. |
В виде простого многогранника с видимой поверхностью внешняя форма конечной звездообразной формы состоит из 180 треугольных граней, которые являются крайними треугольными областями на звездчатой диаграмме. Они соединяются по 270 ребрам, которые, в свою очередь, пересекаются в 92 вершинах с Эйлерова характеристика из 2. [9]
92 вершины лежат на поверхностях трех концентрических сфер. Самая внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 образуют вершины правильного икосаэдра; а внешний слой из 60 образуют вершины неоднородного усеченного икосаэдра. Радиусы этих сфер находятся в соотношении [10]
3 2 ( 3 + 5 ) : 1 2 ( 25 + 11 5 ) : 1 2 ( 97 + 43 5 ) . < displaystyle < sqrt > left (3 + < sqrt > right)>> ,: , < sqrt < 2>> left (25 + 11 < sqrt > right)>> ,: , < sqrt > left (97 + 43 < sqrt < 5>> right)>> ,.>
| Внутренний | Середина | Внешний | Все три |
|---|---|---|---|
| 20 вершин | 12 вершин | 60 вершин | 92 вершины |
| Додекаэдр | Икосаэдр | Неоднородный усеченный икосаэдр | Полный икосаэдр |
При рассмотрении как трехмерного твердого объекта с длиной ребер а, φа, φ 2 а и φ 2 а √ 2 (где φ - Золотое сечение) полный икосаэдр имеет площадь поверхности [10]
Как звездный многогранник
| Двадцать 9 граней многоугольника (одна грань нарисована желтым с 9 отмеченными вершинами). | 2-изогональный 9 лиц |
Если рассматривать звездный икосаэдр, вся звездчатость благородный многогранник, потому что это оба равногранный (лицо-переходное) и изогональный (вершинно-транзитивный).
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники. Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.
Звёздчатые формы додекаэдра.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
формы звёздчатого додекаэдра
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра.
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Некоторые из них представлены на рисунке.
Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
16 форма икосаэдра
1 форма икосаэдра
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков -- частей пространства, ограниченных плоскостями граней.
Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Звёздчатые формы кубооктаэдра.
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первый из них ( а) получается достраиванием на гранях кубооктаэдра пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра. Следующая звездчатая форма кубооктаэдра представлена на рисунке ( б). Она образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид.
Третья звездчатая форма кубооктаэдра (в) представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.
Последняя звездчатая форма кубооктаэдра (, г) является соединением звезды Кеплера и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.
Звёздчатые формы икосододекаэдра.
Икосододекаэдр имеет 19 звёздчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 -- правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера -- Пуансо.
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ И ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Если в определении правильного многогранника допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (равноугольно полуправильными).
Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.
Как и в случае правильных многогранников, вместо второго условия (равенства многогранных углов) в определении полуправильного многогранника можно было бы сформулировать более слабое условие, а именно: в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер.
К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 1 имеет своими гранями два правильных шестиугольника - основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. На рисунке 2 мы видим пятиугольную антипризму, полученную из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.
Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда.
Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 3). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра.
Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 4) и усеченный икосаэдр (рис. 5). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 6) и усеченный додекаэдр (рис. 7).
Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 8). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр.
Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 9). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.
Заметим, что повторное применение операции усечения к полученным полуправильным многогранникам уже не дает полуправильных многогранников. Дело в том, что многогранные углы данных многогранников не являются правильными. Поэтому многоугольники, получающиеся в сечении этих углов, также не будут правильными.
Например, если операцию усечения применить к кубооктаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 10), похожий на усеченный кубооктаэдр, гранями которого являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным кубооктаэдром, хотя он не получается из кубооктаэдра операцией усечения.
Аналогично, если операцию усечения применить к икосододекаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 11), похожий на усеченный икосододекаэдр, гранями которого являются правильные десятиегольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным икосододекаэдром, хотя он не получается из икосододекаэдра операцией усечения.
Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа.
На рисунке 12 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.
На рисунке 13 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 14, а, б представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.
Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треугольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.
Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Рассмотрим многогранники, двойственные к полуправильным многогранникам. Их центры граней являются вершинами полуправильных многогранников. Они образуют класс, так называемых равногранно полуправильных многогранников. У этих многогранников равны все грани, которые, однако, не являются правильными многоугольниками, и равны все двугранные углы.
На рисунках 15, а-в показаны многогранники, двойственные к усеченному тетраэдру, усеченному кубу и усеченному октаэдру.
На рисунках 15, г-н показаны многогранники, двойственные к остальным полуправильным многогранникам.
Многогранник на рисунке 15, е называется ромбододекаэдром. Его гранями являются 12 ромбов. Форму этого многогранника имеет кристалл граната.
Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.
Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.
В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе "Исследование о многогранниках он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.
Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 16,а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 16,б).
При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 17). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 18).
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 19).
Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников.
Кроме правильных звездчатых многогранников существуют и другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней правильных и полуправильных многогранников.
На рисунке 20 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella octangula" - звезда восьмиу-гольная. Этот многогранник можно получить продолжением граней октаэдра или как объединение двух тетраэдров.
Продолжения граней кубооктаэдра приводят к четырем звездчатым многогранникам. Первый из них (рис. 21, а) получается достраиванием на гранях кубооктаэдра пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра.
Следующая звездчатая форма кубооктаэдра представлена на рисунке 21, б. Она образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид.
Третья звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 21, в) представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.
Последняя звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 21, г) является соединением звезды Кеплера и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.
Икосододекаэдр имеет 19 звездчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке 22.
Наконец, икосаэдр имеет 59 звездчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке 23.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.
Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа в виде кристаллов. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники (рис 24). С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Литература
1. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. – М., Л.: Гос. изд. техн.-теорет. литературы, 1950.
2. Гамаюнов В. Модели звездчатых многогранников // Квант. – 1981. - № 2.
3. Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. – 1976. - № 1.
4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
5. Энциклопедия элементарной математики. – Кн. V. Геометрия. – М.: Наука, 1966.
В геометрии есть несколько замечательных теорем классификации — теорем, сводящих разнообразие некоторых объектов к конечному набору базовых. Мы начинаем серию материалов, посвященных этим теоремам. Первой в нашем списке идет не самая популярная теорема, известная как теорема Кеплера-Пуансо. Она посвящена так называемым звездчатым многогранникам.
Прежде чем говорить о телах Кеплера-Пуансо, следует обсудить понятие правильного звездчатого многоугольника. Обычным правильным многоугольником называют многоугольник, то есть замкнутую ломаную без самопересечений, у которой равны все звенья и все углы. Легко показать, что правильные многоугольники могут быть только выпуклыми.
Возьмем теперь для примера правильный пятиугольник и продолжим его стороны до следующего пересечения между собой. Получится пятиконечная звезда. Такая звезда — это ломаная с самопересечениями, звенья которой равны между собой, равно как и углы (в данном случае углами ломаной будут только углы при вершинах лучей — углы внутри не учитываются).
Иллюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Wenzel Jamnitzer 1568
Теперь возьмем правильный шестиугольник и продолжим его стороны. В результате получится гексаграмма, она же звезда Давида. В отличие от пятиконечной звезды она состоит не из одной ломаной, а из двух, правильных треугольников.
На основании этих двух примеров можно дать такое определение правильного звездчатого многоугольника: одна или более ломаных, возможно с самопересечениями, у которых равны все звенья и углы, а вершины расположены в вершинах правильного многоугольника. Если ломаная одна, то звездчатый многоугольник называется простым, если несколько — составным.
Пять правильных платоновых тел
Иллюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Wenzel Jamnitzer 1568
Один и тот же многоугольник может давать несколько звездчатых многоугольников. Например, стороны семиугольника можно продолжать до следующего после первоначального их пересечения друг с другом, а можно до через одного. Это соответствует двум разным звездам: одну можно получить, соединяя вершины правильного семиугольника через одну вершину, а вторую — через две. Оба звездчатых многоугольника в этом случае, кстати, простые.
Читайте также: