Тела вращения своими руками

Добавил пользователь Morpheus
Обновлено: 18.09.2024

В данной статье описаны основные принципы изображения и упражнения для рисования такого объекта, как тело вращения, имеющего три базовых свойства — радиус окружности в основании, точки поверхности, которые образуют сам объект и, собственно, ось вращения. Чтобы изобразить на плоскости шар, конус, или цилиндр, необходимо понять и научиться применять особенности их конструкции. Устройство конуса, шара и цилиндра наглядно продемонстрированы на рисунке 1. с изображением их прозрачных моделей.

Пожалуй, самым сложным элементом процесса изображения того или иного тела вращения является рисование окружности, лежащей в основании данного тела в перспективе. Ряд наиболее часто встречаемых ошибок, обусловленных неграмотным изображением данной окружности, наглядно продемонстрирован на рисунке 2. В примере “а” изображены две отдельные дугообразные линии, составляющие острые углы, на примере “б” и примере “в” — несоответствие перспективы верхней окружности и нижней окружности основания, “г” — указанные окружности расположены не под 90-градусным углом к оси.

Чтобы научиться не допускать стандартные неточности в процессе построения основания, воспользуйтесь следующим методом:

1. Вырежьте из плотного материала (например, картона) круг;
2. Вставьте в края полученного круга две кнопки с головкой из пластмассы, так, чтобы они находились диаметрально противоположно друг от друга;
3. Рассмотрите полученную модель основания с разных ракурсов, держа её одной рукой за обе кнопки, и меняя её положение второй;

Рисунок 3.

Во время данного упражнения можно увидеть, какой вид приобретает окружность в зависимости от перспективы, при этом она всегда представлена как замкнутая кривая без углов. Чем более перпендикулярно расположена точка обзора к окружности, тем большей площадью обладает окружность в основании тел вращения, и наоборот, сокращается вплоть до прямого отрезка, при нахождении точки обзора в той же самой плоскости, в которой находится окружность. В описанном случае, прямым отрезком будет казаться любая плоскость, расположенная горизонтально, независимо от формы.

После изучения изменений внешнего вида окружности при смене перспективы, имеет смысл перейти к изучению методики ее изображения на горизонтальной плоскости. Окружность в перспективе, в рисунке, представляется ничем иным, как эллипсом — “вытянутой” окружностью, построенной на 2-х линиях разной длины — длинной горизонтальной и короткой вертикальной, которые пересекаются в центре фигуры.

Рассмотрим этапы, по которым происходит построение эллипса.
С целью произвести корректное построение эллипса, отвечающее перспективе рисунка, необходимо изучить способы изображения на плоскости квадрата в перспективе, со вспомогательными точками, отмеченными на диагоналях данного квадрата, включающего в себя окружность. В рисунке, эллипс, а также сам момент его построения служит отправной точкой для изображения вертикально расположенных на плоскости цилиндра и конуса.

Для наглядного понимания особенностей и общего примера того, как должна выглядеть окружность в перспективе используйте следующую последовательность действий:

1.Возьмите предмет, своей формой соответствующей окружности, к примеру, спортивный обруч;
2. Положите его в шести-семи метрах от себя;
3. Обозначьте для себя линию горизонта;
4.Обозначьте точку схода на данной линии — в нашем примере она находится вровень с Вашей точкой обзора. Пометьте ее на ранее определенной линии горизонта;
5. Проведите через нее ось (линию, расположенную под углом в 90 градусов к линии горизонта) и обозначьте на проведенной оси фактический центр окружности;
6. Проведите через фактический центр взятой для примера окружности линию, стоящую параллельно определенной линии горизонта;
7. Соедините отрезками точки, которые получены отложением данной линией радиусов в разные стороны с самой точкой схода;
8. Попробуйте вычислить для себя примерную длину малой оси эллипса;

Далее займитесь построением вспомогательного квадрата. В перспективе стороны данного квадрата должны проходить сквозь образовавшиеся пересечения, как продемонстрировано на рисунке 4. Для того чтобы правильно их провести необходимо повторить контуры вспомогательных линий, направленных в сторону точки схода.

Чтобы грамотно прорисовать, необходимо определить центр окружности. Это можно осуществить, соединив прямыми отрезками диаметрально противоположные углы в изображенном квадрате. В точке пересечения данных отрезков будет находиться горизонтальная (т.е. длинная) ось эллипса, длина которой соответствует длине диаметра основания тел вращения. Согласно рисунку 5., с изображением построения эллипса, находящегося под углом к наблюдателю, вертикальная (короткая) линяя образует с горизонтальной (длинной) угол в 90 градусов.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Необходимо отметить, что точка, в которой происходит пересечение диагоналей вышеописанного квадрата, находится на вертикальной (короткой) оси эллипса. Обозначая горизонтальную ось, дополнительно помечайте точки, в которых данная ось пересекается с линиями, направленными в сторону точки схода. В дополнение к данным точкам, отметьте точки, расположенные по среднему прямому отрезку — образованные пересечением с двумя сторонами квадрата, которые находятся параллельно горизонту. Они станут фундаментом, способствующим грамотному построению и соблюдению всех требуемых для правильного восприятия особенностей окружности основания тела вращения во вспомогательном квадрате. В дополнение к этому, данные точки служат также для определения точек, в которых стороны квадрата проходят по касательной к окружности.

Финальным этапом построения, идущим за обозначением всех точек на рисунке, является непосредственно изображение эллипса (в свою очередь являющегося окружностью в перспективе), лежащего в основании тела. Следует сделать ту часть, которая лежит ближе к наблюдающему, более ярко выраженной, а ту, которая лежит дальше — более тусклой и тонкой. Тогда рисунок будет выглядеть более “пространственным” и объемным.

Задавшись целью научиться правильному изображению такого тела, как конус, цилиндр или шар, художнику-новичку следует освоить умение строить окружность в перспективе, так как именно она является базовым моментом и отправной точкой при их изображении. Умение изображать данные тела помогут при создании более сложных рисунков, составные части которых содержат в себе основания оси, которая является ключевым элементом.

Тела вращения – геометрические тела, полученные путем вращения геометрической фигуры или ее части вокруг оси. Создание тел вращения: цилиндр, конус, усеченный конус – в системе КОМ-ПАС-3D возможно двумя способами: вращением и выдавливанием.

Создание тел вращения: шар, тор, глобоид – в системе КОМПАС-3D возможно только вращением. Способ выдавливания аналогичен построению многогранников. Рассмотрим создание данных тел способом вращения.

Цилиндр– это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон:

Ø включите компьютер;

Ø запустите программу КОМПАС-3D;

Ø выберите тип документа Деталь;

Ø в Дереве построения щелчком ЛКМ укажите Плоскость XY;

Ø – Эскизпанель Инструментов Текущее состояние.

Ø – инструментальная панель Геометрия;

Ø постройте вертикальный отрезок стилем Осеваяиз начала координат длиной 50 мм;

Ø измените стиль на Основную;

Ø прервать команду;

Ø с помощью непрерывного ввода отрезка и ортогонального черчения постройте эскиз прямоугольника длина 20 мм, высота 50 мм (рис. 1);

Рисунок 1.Эскиз прямоугольника

Ø прервать команду;

Ø – Эскизпанель Инструментов Текущее состояние.

Щелчком ЛКМ перейдите в режим трехмерного моделирования;

Ø – операция Выдавливанияинструментальная панель – Редактирование деталии выберите – Операция вращения;

Рисунок 2. Выбор операции Вращение

Ø Сфероид(построение сплошного элемента), направление вращения 360°

Ø на панели Свойствна вкладке Тонкая стенкаукажите тип построения тонкой стенки – Нет;

Рисунок 3. Тип построения тонкой стенки

Ø – создайте объект;

Рисунок 4. Построение объекта

Ø На Инструментальной панели Вид выберите команду Полутоновое, Полутоновое с каркасом

Рисунок 5. Выбор команды

Рисунок 7. Точность отрисовки и МЦХ

Ø
система автоматически уточнила форму цилиндра (рис. 8);

Рисунок 8. Цилиндр

Деформация объектов

Команды деформации используются в случаях, когда необходимо сдвинуть, повернуть или масштабировать часть изображения таким образом, чтобы объекты, положение характерных точек которых изменилось, не потеряли связь с неподвижными объектами.

Кнопки вызова команд деформации (рис. 9) находятся на панели расширенных команд панели Редактирование.

Рисунок 9. Кнопки команд деформации объектов

Команды деформации не требуют предварительного выделения объектов. После вызова команды необходимо задать прямоугольную рамку деформации объектов для выделения объектов для деформации. Система формирует Секущую рамкувыделения. Если полученный набор объектов не удовлетворяет, можно повторить выделение, использовав кнопку - Выделить новой рамкойна панели Специального управления. Кнопка - Исключить/добавить объектуправляет выделенными объектами, позволяя исключить лишние. Ниже приведены расширенные команды Деформации объектов.

- Деформация сдвигом. Параметры команды соответствуют команде

Сдвиг.

Точное перемещение объектов осуществляется командами - Сдвиги

- Сдвиг по углу и расстоянию. Команда Сдвиг осуществляет перемещение выделенных объектов по вектору, задан ному координатами двух точек или проекциями этого вектора в полях Сдвиг X, Сдвиг Yпанели свойств (рис. 10 а).

Рисунок 10. Ввод параметров при сдвиге объектов

Команда Сдвиг по углу и расстояниюосуществляет перемещение выделенных объектов по вектору, заданному углом наклона к оси X(поле Угол) и его длиной (поле Расстояние) (рис.10 б). Для переноса фрагментов, состоящих из нескольких примитивов, необходимо:

1. указать первую и вторую точки диагонали рамки, не отпуская левую кнопку мыши, в которой должен находится переносимый фрагмент;

2. щелкнуть на кнопке - Сдвиг;

3. указать положение базовой точки ;

4. указать новое положение базовой точки;

5. щелкнуть на кнопке - Прервать команду.

- Деформация поворотом. Параметры команды соответствуют команде

Поворот.

Поворот объектов может быть выполнен двумя способами:

• заданием угла поворота;

• по базовой точке.

Параметры угла поворота (поле Угол), положение базовой точки задаются в окнах Панели свойств(рис.11). Для поворота фрагментов, состоящих из нескольких примитивов, необходимо:

1. указать первую и вторую точки диагонали рамки, не отпуская левую кнопку мыши, в которой должен находиться переносимый фрагмент;

2. щелкнуть на кнопке - Поворот;

3. указать положение базовой точки относительно которой осуществляется поворот фрагмента;

4. задать угол поворота и нажать на клавишу ENTER;

5. щелкнуть на кнопке - Прервать команду.

Рисунок 11. Панель свойств для задания базовой точки и угла поворота примитивов.

- Деформация масштабированием. Параметры команды соответствуют команде Масштабирование.

Для масштабирования фрагментов необходимо:

1. выделить фрагмент;

2. щелкнуть на панели Редактирование кнопку - Масштабирование;

Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.

Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.

Читай эту статью, здесь все это есть.

Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

Площадь поверхности сферы

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объем шара

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь боковой поверхности цилиндра

\( H\) – высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2\pi R\cdot H\).

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:

Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2\pi R\):

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( _>\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объем цилиндра

\( R\) – радиус основания \( H\) – высота

\( V=_>\cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( _>\) — это площадь многоугольника, а у цилиндра \( _>\) — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).

Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)

Площадь поверхности конуса

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора \( _>=^>\cdot \frac\) Где \( \alpha \) – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.

Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2\pi R\).

С другой стороны, длина этой же дуги равна \( \alpha \cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому

\( \alpha \cdot l=2\pi R\)

\( R\) — радиус окружности основания,

\( l\) — длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:

Можно вынести \( \pi R\):

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

\( R\) – радиус основания \(

Это так же, как у пирамиды

\( _>\) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась \( \frac\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( \frac\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.

Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Твой ход!

Ну как тебе? Понравилось?

Держу пари, даже если ты первый раз слышишь о телах вращения, ты сейчас чувствуешь себя намного увереннее в этой теме!

А теперь мы хотим услышать тебя. Нам очень интересно твое мнение об этой статье!

Напиши его в комментариях ниже!

Помогла ли тебе эта статья? Достаточна ли она подробна?

Остались вопросы? Задай их!

Мы ответим. Мы читаем все.

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Мария
07 февраля 2018
Очень понятно, доступно

Александр (админ)
07 февраля 2018
Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

Евгений
05 марта 2018
Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

Александр (админ)
05 марта 2018
Спасибо, Евгений! Заходи… )

Левон
09 мая 2018
Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

Александр (админ)
09 мая 2018
Спасибо большое, Левон!

Дилдора
18 мая 2018
Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

Александр (админ)
18 мая 2018
Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

Таня
18 июня 2018
Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

Максим
23 мая 2019
Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

Александр (админ)
23 мая 2019
Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

Геннадий
31 июля 2019
А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

Алексей Шевчук
01 августа 2019
Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

Геннадий
09 августа 2019
Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

Алексей Шевчук
13 августа 2019
Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

Алексей Шевчук
25 августа 2019
Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Читайте также: