Пятиугольная звездчатая антипризма как сделать
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 05.10.2024
Проект "Звёздчатые формы додекаэдров" подготовила ученица 9 класса под моим руководством. Работа содержит: определение додекаэдра и его свойства, три формы звёздчатых додекаэдров, их модели и практические рекомендации по их изготовлению. Проект занял призовое место на окружной НПК учащихся.
Департамент образования мэрии города Новосибирска
XXXIX городская открытая научно-практическая
Секция: математические модели
Тема: Звёздчатые формы додекаэдров
Автор: Гольцова Мария
МБОУ ЭКЛ, 9 класс
Центральный округ г. Новосибирска
Научный руководитель: Кривченкова
учитель математики в.к.к.
Контактный телефон: 89139568347
Основная часть
Определение додекаэдра и его свойства………………………………. 4
История появления додекаэдра…………………………………………..5
Звёздчатые формы додекаэдров………………………………………….6
Звездчатые многогранники ………………………………………………7
Вдохновение нужно в геометрии не
меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)
Введение
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Человек проявляет интерес к правильным многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Платон, Евклид, Архимед, Кеплер. Все они использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Прошли века, но роль геометрии не изменилась.
Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках и самой научиться изготавливать модели различных многогранников. Данная тема актуальна, так как немногие люди знают правильные многогранники, но знание этих геометрических тел поможет в создании различных шедевров (как в архитектуре, так и в живописи и во многом другом, потому что многогранники имеют обширную область применения).
Из информации в интернете я узнала, что существует много разных додекаэдров с множеством интересных свойств. Особенно мне понравился додекаэдр, который имел звёздчатые формы, мне захотелось изготовить модели этих фигур.
Цель проекта:
изучение звёздчатых форм додекаэдров.
Задачи проекта:
Собрать информацию по данной теме.
Познакомиться с понятием “додекаэдр”.
Узнать о его звёздчатых формах.
Изготовить модели додекаэдра и звёздчатых додекаэдров.
Методы исследования: сбор информации, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.
Определение додекаэдра и его свойства
Додекаэдр (от греческого dodeka –двенадцать и hedra – грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Если принять длину ребра за а, то получим следующие формулы:
Сумма ребер
Площадь поверхности
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Свойства додекаэдра:
Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен ≈116°,565.
Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.
Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности.
Область применения:
В культуре:
Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней.
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.
История появления додекаэдра
Считается что, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.
На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.
Римский додекаэдр — это небольшой объект, сделанный из бронзы или реже из камня или железа, чаще имеющий форму додекаэдра с двенадцатью плоскими пятиугольными гранями. Римский додекаэдр датируется II—III веком н. э.
Звёздчатые формы додекаэдра:
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Они называются также телами Кеплера- Пуансо.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы:
малый звёздчатый додекаэдр - он считается первой звёздчатой формой додекаэдра. Это тело Кеплера — Пуансо. Многограннику дал имя Артур Кэли. Малый звёздчатый додекаэдр является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 граней в виде пентаграмм с пятью пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
Он имеет то же самое расположение вершин, что и выпуклый правильный икосаэдр. Кроме того, у него то же самое расположение рёбер, что и у большого икосаэдра.
большой додекаэдр - это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли и диаграммой Коксетера — это один из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 пятиугольных граней (шесть пар параллельных пятиугольников), с пятью пятиугольниками в каждой вершине, пересекающих друг друга и делая рисунок пентаграммы.
большой звёздчатый додекаэдр - является одним из четырех правильных звёздчатых многогранников тел Кеплера-Пуансо. Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников.
В отличие от октаэдра, любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, а образует новый многогранник. У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани — пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3 грани в одной вершине. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Звездчатые многогранники:
Ещё существуют такие звездчатые многогранники:
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 — неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Коксетером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров. Первая звёздчатая форма — малый триамбический икосаэдр.
Если каждую из граней продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 отсека десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма — завершающая.
Звёздчатые формы кубооктаэдра- полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов). В кубооктаэдре 12 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два квадрата, а также 24 одинаковых ребра, каждое из которых разделяет треугольник и квадрат. Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра- икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Практическая часть
Додекаэдр
Развёртка додекаэдра
Додекаэдр - одно из пяти Платоновых тел. Двенадцать пятиугольных граней придают особое своеобразие этому многограннику. Я изготовила календарь в форме додекаэдра. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (малый)
Чтобы изготовить модель звёздчатого додекаэдра, надо привести его к этой форме. Под приведением к звёздчатой форме понимается процесс построения многогранника из другого многогранника путём расширения его граней. Для этого через грани исходного многогранника проводятся плоскости и рассматриваются всевозможные рёбра, полученные в результате пересечения этих плоскостей и выбираются подходящие.
Развёртка пирамиды, таких нужно сделать 12 штук. Двенадцать пирамид, надстроенных над каждой из граней исходного додекаэдра, создают пространственную 3D-звезду - первую звездчатую форму додекаэдра. Другое название - малый звездчатый додекаэдр. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников. Форма грани имеет следующий вид:
Многогранник состоит из 60-ти треугольных граней.
Для того, чтобы создать большой звёздчатый додекаэдр нужно сделать развёртку икосаэдра, он будет основой, затем делаем 20 тетраэдров, рассчитывая размер длины его граней так: длину ребра икосаэдра делим на 2, и делим на косинус 72х градусов(~ 0.309 ).
Развёртка икосаэдра
Развертка тетраэдра
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Заключение
Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР МНОГОГРАННИКОВ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В своей работе мы выдвинули следующее предположение: можно ли моделировать звездчатый многогранник с шестигранными углами при всех вершинах. На основании вышесказанного мы ставим перед собой следующую цель: изучить виды многогранников и раскрыть тайны моделирования многогранников.
Для реализации поставленной цели нами были выдвинуты задачи:
1)Изучить соответствующую историческую и математическую литературу.
2) Расширить знания о многогранниках, изучить их свойства.
3) Раскрыть тайны моделирования многогранников.
4) Исследовать способы создания различных моделей многогранников и трубогранников.
5) Показать практическое применение данной темы.
6) Разработать мастер классы и пособие по моделированию многогранников и трубогранников.
Для решения задач мы применили следующие методы исследования: аналитические методы, практическое моделирование, анализ, фотофиксация. Объект исследования: модели различных многогранников. Данная исследовательская работа реализуется в предметных рамках математики и геометрии, также можно использовать на уроках черчения, химии и биологии. Пособие по моделированию многогранников может быть использовано для внеурочной деятельности.
Правильные многогранники
Немного о многогранниках
Многогранником называется фигура, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, которые называют гранями. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Правильным называют выпуклый многогранник, у которого все элементы одного и того же вида равны, т. е. все ребра равны, все углы на гранях равны и все двугранные углы равны.
Существует только 5 правильных многогранников (тел Платона), 13 полуправильных многогранников, открытых Архимедом, бесконечные серии полуправильных многогранников, 4 типа правильных звёздчатых многогранников. (ПРИЛОЖЕНИЕ ).
Правильный тетраэдр составлен из 4-х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 0 .
Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 0 .
Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 0 .
Гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 0 .
Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .
Эти многогранники носят название правильные Платоновы тела – по имени древнегреческого философа Платона (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:
В древности они олицетворяли: землю, воздух, воду, солнце, космос.
Тетраэдр – четырёхгранник - символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх.
Гексаэдр (куб) – шестигранник - землю, как самый устойчивый.
Октаэдр – восьмигранник - воздух, как самый воздушный.
Додекаэдр – двенадцатигранник - воплощал в себе все сущее, символизировал все мироздание, считался главным.
Икосаэдр - двадцатигранник - воду, т.к. он самый обтекаемый.
Полуправильные многогранники
У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда (ПРИЛОЖЕНИЕ)
1.Усеченный тетраэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин тетраэдра. Многогранник имеет 12 вершин, 18 ребер, 8 граней. Гранями являются 4 правильных шестиугольника и 4 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и треугольник.
2.Усечённый октаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин октаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольников и 6 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и квадрат.
3.Усечённый икосаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных пятиугольников и 12 правильных шестиугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и пятиугольник. Каждый из пятиугольников со всех сторон окружён шестиугольниками. Усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча.
4.Усечённый гексаэдр (усечённый куб) – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин гексаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 правильных восьмиугольника и 8 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 восьмиугольника и треугольник.
5.Усечённый додекаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин додекаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных десятиугольников и 20 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 десятиугольника и треугольник
6.Кубооктаэдр. Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Многогранник имеет 12 вершины, 24 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата и по 2 треугольника.
7.Икосадодекаэдр. Если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосадодекаэдром. Многогранник имеет 30 вершин, 60 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 правильных пятиугольника и по 2 правильных треугольника.
8.Усеченный кубооктаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин кубооктаэдра. Многогранник имеет 48 вершин, 72 ребра, 26 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольника, 6 правильных восьмиугольника и 12 квадрата. В каждой из вершин сходятся 1 шестиугольника, 1 восьмиугольник и квадрат.
9.Усеченный икосадодекаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосадодекаэдра. Многогранник имеет 120 вершин, 180 ребра, 62 граней. Гранями являются 20 правильных шестиугольника, 12 правильных десятиугольника и 30 квадратов. В каждой из вершин сходятся 1 квадрат, 1 десятиугольник и 1 шестиугольник.
10.Ромбокубооктаэдр он состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Многогранник имеет 24 вершин, 28 ребра, 26 граней. Гранями являются 18 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 3 квадрата и 1 треугольник.
11.Ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Многогранник имеет 60 вершин, 120 ребер, 62 граней. Гранями являются 30 квадратов, 12 правильных пятиугольников и 20 правильных
треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата, 1 пятиугольник и 1 треугольник.
1.3 Звездчатые многогранники
Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники.
Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников, данные многогранники не являются выпуклыми телами. Тетраэдр, куб, октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму.
В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел.
К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. (ПРИЛОЖЕНИЕ). Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.
2.Свойства выпуклых многогранников
2.1 Сумма углов выпуклого многогранника
Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
Исследуем, какие многогранники могут получиться, если в гранях правильные треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д.
1.Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. Каждый угол правильного треугольника по 60 о . Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то
Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой.
Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путем продления граней данного многогранника через ребра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.
Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера — Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра.Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера — Пуансо.
Тела Кеплера-Пуансо (звездчатые правильные многогранники)
Малый звездчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр
Правильные многогранники с древних времен привлекали внимание философов, строителей, архитекторов, художников, математиков. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.
Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более непересекаются.
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатые формы додекаэдра
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большойдодекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждойвершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Красная пирамида прознает белую, или наоборот. А может это комплекс пирамид, направленных в разные стороны света. Эти фигуры всегда загадка.
Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. Так Вы можете представить себе тетраэдр красного цвета, направленный вверх сквозь который проходит бежевый тетраэдр направленный вниз.
Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.
Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником наравне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.
Читайте также: