Пентакисдодекаэдр как сделать
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 18.09.2024
Рассматриваются вопросы создания треугольной сетки на сфере. Приводится программа построения сетки в сферическом треугольнике на Си. Прилагаются слои сетки на основе икосаэдра.
Содержание
Требуется создать регулярное покрытие сферы треугольниками, близкими по размеру и форме. В качестве эталона примем сетку, образованную на плоскости равносторонними треугольниками. Отличие геометрии треугольника от правильной равносторонней будем интерпретировать как искажение формы. [1]
В начале рассмотрим алгоритм построения сетки в базовом сферическом треугольнике. Затем уделим внимание различным способам разделения сферы на базовые сферические треугольники. Наконец, представим пример создания треугольной сетки на основе икосаэдра.
Процедуру создания на некоторой поверхности сетки треугольников обычно называют триангуляцией. В качестве базы для создания сетки используем некоторый сферический треугольник, заданный координатами своих вершин.
В терминах геометрии на сфере задача вставки точек в стороны треугольников решается последовательным решением обратной и прямой геодезических задач. Однако в данном случае гораздо проще использовать векторную алгебру. Пусть концы стороны заданы векторами a и b; тогда средняя точка f вычисляется как их нормированная сумма:
Исходный треугольник делится на девять треугольников нового поколения. В результате трисекции каждая сторона делится на три равных отрезка, в концы которых вставляются вершины. Итого шесть новых вершин, и седьмая вставляется в геометрический центр треугольника. Вершины соединяются рёбрами, образующими треугольники.
Проще всего вычислить положение центральной точки g:
где a, b и c — векторы вершин исходного треугольника.
Разделить стороны на три равных отрезка сложнее. Удобное решение предлагает утилита PROJ.4 geod:
Здесь параметры lat_1, lon_1, lat_2, lon_2 задают начало и конец линии, а параметр n_S определяет число отрезков. Результатом будут широты и долготы четырёх точек, лежащих на равных расстояниях вдоль линии.
Приведём пример программы на Си генерации сетки в треугольнике, реализующей метод бисекции:
Текст кода находится в файле triangulate.c в архиве Sph_tri.zip. Файл triangulate.h содержит необходимые объявления:
Создадим исполняемый модуль triangulate компилятором gcc:
Готовый исполняемый модуль для MS Windows triangulate.exe можно найти в архиве Sph_tri-win32.zip.
На выходе создаются файлы сетки отдельно для вершин, рёбер и фасеток.
Долготы всех точек в выходных файлах находятся в диапазоне от −180° до +180°.
Сферический многогранник — разбиение сферы дугами больших окружностей на замкнутые области, называемые сферическими многоугольниками. Способы разбиения сферы ничем не ограничены. Однако регулярные построения обычно основаны на пространственной симметрии тетраэдра, октаэдра или икосаэдра.
Нас интересуют способы разбиения сферы на равносторонние или близкие к равносторонним треугольники. В центре такого треугольника построенная на его основе сетка будет близка к регулярной. Наибольшие искажения формы сетки будут вблизи углов базового треугольника. Несложный анализ показывает, что с позиции сохранения формы выгоднее всего опираться на симметрию икосаэдра. Подходящие многогранники — правильные и полуправильные, образованные треугольниками либо пяти- и шестиугольниками, которые разбиваются на почти равносторонние треугольники. Рассмотрим лишь несколько многогранников, удовлетворяющих этим требованиям.
В геометрии , а пентакисдодекаэдр или kisdodecahedron является многогранником создан путем присоединения пятиугольной пирамиды к каждому лицу додекаэдра ; то есть это кромка додекаэдра. Это каталонское твердое тело , что означает, что оно является двойником архимедова твердого тела, в данном случае усеченного икосаэдра.
СОДЕРЖАНИЕ
Пусть будет золотое сечение . 12 точек и циклические перестановки этих координат являются вершинами правильного икосаэдра . Его дуальный правильный додекаэдр , ребра которого пересекаются с ребрами икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин точки вместе с точками и циклические перестановки этих координат. Умножение всех координат икосаэдра на коэффициент дает икосаэдр немного меньшего размера. 12 вершин этого икосаэдра вместе с вершинами додекаэдра являются вершинами додекаэдра пентакис с центром в начале координат. Длина его длинных краев равна . Его грани представляют собой острые равнобедренные треугольники с одним углом ϕ ( 0 , ± 1 , ± ϕ ) ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) ( ± ϕ , ± 1 / ϕ , 0 ) ( 3 ϕ + 12 ) / 19 ≈ 0.887 057 998 22 2 / ϕ arccos ( ( − 8 + 9 ϕ ) / 18 ) ≈ 68.618 720 931 19 ∘ > и два из . Соотношение длин длинных и коротких краев этих треугольников равно . arccos ( ( 5 − ϕ ) / 6 ) ≈ 55.690 639 534 41 ∘ > ( 5 − ϕ ) / 3 ≈ 1.127 322 003 75
В пентакисдодекаэдре в модели бакминстерфуллерно : каждый сегмент поверхности представляет собой углеродный атом . Эквивалентно усеченный икосаэдр - это модель бакминстерфуллерена, в которой каждая вершина представляет атом углерода.
Пентакисдодекаэдр также модель некоторых icosahedrally симметричных вирусов, такие как аденосателлитный вирус . У них есть 60 связанных с симметрией капсидных белков, которые в совокупности образуют 60 симметричных граней додекаэдра пентакиса .
Додекаэдр пентакис имеет три положения симметрии, два на вершинах и одно на краю:
В геометрия, а пентакид додекаэдр или же кисдодекаэдр многогранник, созданный присоединением пятиугольная пирамида каждому лицу правильный додекаэдр; то есть это Kleetope додекаэдра. Эта интерпретация выражена в его названии. [1] Фактически существует несколько топологически эквивалентных, но геометрически различных типов пентакис-додекаэдра, в зависимости от высоты пятиугольных пирамид. К ним относятся:
- Обычный каталонский додекаэдр пентакис, выпуклый гексеконтаэдр с шестьюдесятью равнобедренными треугольными гранями, показанными на рисунке сбоку. Это Каталонский твердый, двойная к усеченный икосаэдр, Архимедово твердое тело. Критическая высота каждой из пирамид над гранями исходного единичного додекаэдра равна
- По мере увеличения высоты пятиугольных пирамид в определенной точке соседние пары треугольных граней сливаются, образуя ромбы, и форма становится ромбической. ромбический триаконтаэдр.
- При дальнейшем увеличении высоты форма становится невыпуклой. В частности, равносторонний или дельтаэдр Версия додекаэдра пентакис, которая имеет шестьдесят равносторонних треугольных граней, как показано на соседнем рисунке, немного невыпуклая из-за более высоких пирамид (обратите внимание, например, на отрицательный двугранный угол в верхнем левом углу рисунка).
Другие, более невыпуклые геометрические варианты включают:
-
В малый звездчатый додекаэдр (с очень высокими пирамидами). Большой додекаэдр пентакис (с очень высокими пирамидами) Веннингера третья звездочка икосаэдра (с перевернутыми пирамидами).
Содержание
Декартовы координаты
Химия
В пентакид додекаэдр в модели бакминстерфуллерен: каждый сегмент поверхности представляет собой углерод атом. Эквивалентно усеченный икосаэдр - это модель бакминстерфуллерена, каждая вершина которого представляет атом углерода.
Биология
В пентакид додекаэдр также является моделью некоторых икосаэдрически симметричных вирусов, таких как Аденоассоциированный вирус. У них есть 60 связанных с симметрией капсидных белков, которые в совокупности образуют 60 симметричных граней пентакид додекаэдр.
Ортогональные проекции
Додекаэдр пентакис имеет три положения симметрии, два на вершинах и одно на краю:
В геометрия, а пентакид додекаэдр или же кисдодекаэдр многогранник, созданный присоединением пятиугольная пирамида каждому лицу правильный додекаэдр; то есть это Kleetope додекаэдра. Эта интерпретация выражена в его названии. [1] Фактически существует несколько топологически эквивалентных, но геометрически различных типов пентакис-додекаэдра, в зависимости от высоты пятиугольных пирамид. К ним относятся:
- Обычный каталонский додекаэдр пентакис, выпуклый гексеконтаэдр с шестьюдесятью равнобедренными треугольными гранями, показанными на рисунке сбоку. Это Каталонский твердый, двойная к усеченный икосаэдр, Архимедово твердое тело. Критическая высота каждой из пирамид над гранями исходного единичного додекаэдра равна
- По мере увеличения высоты пятиугольных пирамид в определенной точке соседние пары треугольных граней сливаются, образуя ромбы, и форма становится ромбической. ромбический триаконтаэдр.
- При дальнейшем увеличении высоты форма становится невыпуклой. В частности, равносторонний или дельтаэдр Версия додекаэдра пентакис, которая имеет шестьдесят равносторонних треугольных граней, как показано на соседнем рисунке, немного невыпуклая из-за более высоких пирамид (обратите внимание, например, на отрицательный двугранный угол в верхнем левом углу рисунка).
Другие, более невыпуклые геометрические варианты включают:
-
В малый звездчатый додекаэдр (с очень высокими пирамидами). Большой додекаэдр пентакис (с очень высокими пирамидами) Веннингера третья звездочка икосаэдра (с перевернутыми пирамидами).
Содержание
Декартовы координаты
Химия
В пентакид додекаэдр в модели бакминстерфуллерен: каждый сегмент поверхности представляет собой углерод атом. Эквивалентно усеченный икосаэдр - это модель бакминстерфуллерена, каждая вершина которого представляет атом углерода.
Биология
В пентакид додекаэдр также является моделью некоторых икосаэдрически симметричных вирусов, таких как Аденоассоциированный вирус. У них есть 60 связанных с симметрией капсидных белков, которые в совокупности образуют 60 симметричных граней пентакид додекаэдр.
Ортогональные проекции
Додекаэдр пентакис имеет три положения симметрии, два на вершинах и одно на краю:
Читайте также: