Область определения функции как сделать

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 19.09.2024

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций и переменных для данного калькулятора указаны ниже.
Примеры функций: sqrt(16-ln(x^2))/sin(x)) или (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)

Областью определения или областью задания функции называется множество значений , для которых существуют значения .

Обозначается область определения функции — или .

Нахождение области определения функции

Схема нахождения области определения функций:

Примеры решения задач

является многочленом и её областью определения есть множество всех действительных чисел .

является дробно-рациональной. Найдем значения , которые обнуляют знаменатель

находится из системы

решим неравенство

Разложим на множители левую часть этого неравенства. Для этого решим уравнение -3x+2=0" width="128" height="18" />
. По теореме Виета: +x_ =3;\ x_ \cdot x_ =2" width="195" height="16" />
, отсюда =1,\ x_ =2" width="121" height="16" />
. Таким образом, неравенство примет вид

Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.

.

представляет собой дробно-рациональную функцию, в числителе которой многочлен. Область определения многочлена есть множество действительных чисел . В знаменателе корень, область его определения находим из системы

.

Поскольку основание степени , то приходим к неравенству

.

нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а подлогарифмическая функция — положительной. Имеет место система неравенств

Решим первое неравенство отдельно

Согласно определению логарифма, придем к неравенству

Возвращаясь к системе неравенств, имеем

.

найдем из системы

.

Область определения функции – это множество тех значений аргумента х, при которых выражение, записанное в правой части уравнения функции имеет смысл.

Область определения функции – это множество тех значений аргумента х, для которых можно выполнить ВСЕ действия, предусмотренные правой частью уравнения функции.

Если правая часть уравнения функции представляет собой дробь, помни:

- черта дроби означает действие деления;

- делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Поэтому из области определения такой функции нужно исключить те значения аргумента х, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найти область определения функции .

Функция представляет собой дробь. Так как делить на ноль нельзя, исключим из области определения те значения переменной х, при которых знаменатель дроби равен нулю:

Итак, при х=0 и х=-4 знаменатель дроби обращается в ноль. Исключим эти значения переменной х.

Если правая часть уравнения функции представляет собой квадратный корень, помни:

- квадратный корень определён только для неотрицательных чисел ( положительных и нуля)!

- выполнять действие извлечения квадратного корня можно только из неотрицательных чисел.

Поэтому в область определения такой функции нужно включить те значения переменной х, при которых подкоренное выражение принимает неотрицательные значения.

Найти область определения функции .

Правая часть уравнения функции представляет собой квадратный корень. Так как извлечь квадратный корень можно только из неотрицательных чисел, найдём такие значения переменной х, при которых подкоренное выражение 2х-5 принимает неотрицательное значение, т.е.

Изобразим множество решений данного неравенства на координатной прямой:

Полученное множество и есть область определения нашей функции.

Что такое область определения функции? И можно ли её увидеть?

А что же такое - область определения функции?

Это тоже часть. Часть действительной прямой Х, на которой находятся значения переменной х (проще говоря, числа), при которых левая часть уравнения функции имеет смысл.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 9 классе "Область определение функции"

Построить график функции у=|х|.

Область определения функции. Урок алгебры в 9 классе

Презентация к уроку "Решение неравенств. Область определения функции."

Данная презентация полноценно поможет учителям - предметникам при систематизации и обобщении знаний по теме "Область определения функций. Решение линейных неравенств". Включает в себя все этапы .

Функции. Область определения функции.

Урок алгебры 9 класс.

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций.

Презентация "Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций".

Область значений функции, ее свойства и примеры решения

В данном материалы мы подробно рассмотрим значение функции. Определим основные методы ее вычисления. Изучим множество значений функции.

Подробно, разберем на примерах, методы нахождения функции. Прежде, чем начать изучение материала, охарактеризуем основное определение значению функции.

Функция - это определенное соответствие между двумя множествами, каждому элементу значению первого множества соответствует только один элемент второго множества.

Функции удобно изображать в виде графических прямых или кривых.

Понятие области определения функции

Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому аргументом. Числовое значение y, как правило является зависимой переменной.

Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной. Записывают ее в виде функции y = f(x)

Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.

Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.

Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.

Например:

Область значений функции y = z 2 — это все значения, которые будут больше либо равные нулю. В виде записи это выглядит следующим образом: f(у): у ≥ 0. Не все функции обозначаются одинаковыми формулировками, в основном D(f). Но тригонометрические функции обозначаются немного иначе. D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус. Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = x. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1]. Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Для указания множества чисел в определенном промежутке, необходимо выполнить следующие действия:

• назначается левая и правая границы, два числа через запятую или точку с запятой;
• ставится круглая или квадратная скобка; это зависит, входит ли граница в промежуток;
• круглая скобка, ставится, в том случае, если граница не входит в заданный промежуток;
• квадратная, в обратном случае.

Если у промежутка нет правой границы, записываем знак бесконечности или плюс бесконечности. Если отсутствует левая граница, записываем знак минус бесконечности.

В случае, если записывается множество, которое состоит из нескольких промежутков, ставится знак объединение.

Рассмотрим на примерах

Все действительные числа от 1 до 9, можно выразить в следующей записи. [1;9]

Все положительные числовые значения, имеют следующий вид: (0; +);

Так как ноль, не является положительным число, то возле него ставится круглая скобка.

Область значения и определения функции

Область определения - y(x) любые числовые значения аргумента x.

Чаще всего область определения выражают как функцию D(y).

В математике существует две главных запрещенных (недопустимых) операции:

• деление любого числового значения на ноль;
• извлечение квадратного корня, из числа, которое имеет отрицательное значение.

При определении области функции, вступают в силу два основных ограничения:

• В функции может быть деление на любую переменную. Таким образом, знаменатель, будет равен нулю и получим недопустимое значение. В таком случае, принято считать областью определения все действительные числа.
• Функция имеет действие: как извлечение квадратного корня. Подкоренное выражение обязательно не должно быть отрицательным. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция записывается обычной формулой y = N, а именно f(x) = N, где N — любое действительное число. Иными словами, принято называть константа.

Постоянная функция — это функция, при которой всегда наблюдается одно и то же числовое значение, независимо от того какое числовое значения имеет аргумент.

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит следующим образом: y = x k , то есть, f(x) = x k , где x — переменный показатель в основании степени, a — любое число в степени.

Область определения степенной функции, всегда имеет непосредственную зависимость, от значений показателя степени.

Рассмотрим основные моменты:

Если k — неотрицательное целое число, то областью определения данной функции является множество любых, обязательно, действительных чисел: (-∞, +∞).

Когда степенной показатель, является не целое число, то функция имеет следующий вид D(f) = [0, +∞).

Когда k — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Для остальных действительных отрицательных, a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

Если k равно нулю, то функция определена для всех чисел, кроме нуля. Так как ноль нельзя возвести в степень, а любое другое число в нулевой степени равно 1.

То есть, при k = 0, y =x0 = 1, на заданной области определения (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Область определения показательной функции

Показательная функция записывается как: y=k x

где значение x — показатель степени;

k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выражается как: y=log n k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы. Область определения логарифма и логарифмической функции - это множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1

y=ln x, определить область определения натурального логарифма. D(y)=(0;+).

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Область определения и множество значений функций косинус, синус, тангенс, котангенс

Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.

Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу.

y = sin x и y = cos x

Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1

Областью определения функции тангенс tg x, является выражение \[x \neq \frac<\pi>+\pi k, k \in z\].

Областью определения функции y = сtg x является множество чисел \[x \neq \frac<\pi>, k \in z\].

На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.

Пример №1

Определить область значения функции sin x

Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется 2π

Определяем множество значений на следующем отрезке: (0;2π).

Пример №2

Необходимо определить область значения функции cos x.

Наименьшее значение равно -1;

Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и, следовательно, равняется -1.

Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.

Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].

Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:

\[-1 \leq \cos 1 \leq 1\]

Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.

Таким образом, минимальное значение cos x, cos (15α), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться -1;

Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется 1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы [0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.

Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]

\[0 \leq(\cos \alpha) \leq 1\]

Пример №3

y = tgx на определенном интервале \[\left(-\frac<\pi> ; \frac<\pi>\right)\].

Решение:

Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.

Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.

Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводится к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.

Пример №4

Решение:

Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1

Следовательно, область значения арксинуса равняется:

Пример №5

Разберем функцию 2sinx2-4, где значение х меньше либо равно значению 3. Необходимо вычислить область значений.

Функция является для всех значений x определенной.

Наблюдаем недопустимый вид при значении аргумента − 3.

При приближении к данному аргументу функция стремится к \[-2 \sin \frac-4\]. При стремлении x к − 3 с правой стороны значения будут стремиться к − 1.

Наблюдается разрыв в точке 3. Когда функция стремится к данному разрыву ее числовые значения приближаются к -1. Минус бесконечность будет наблюдаться при стремлении к такой точке, но только с правой стороны.

Из этого следует вся область значений данной функции разбивается на три интервала. (-;−3], (−3 ;3], (3;+)(-;-3], (-3; 3], (3;+).

Первый интервал имеет функцию, следующего вида \[y=2 \sin \frac-4\]. Так как синус должен быть, меньше либо равен 1, или больше либо равен -1. Получаем следующие выражения:

\[-1 \leq \sin \frac \leq 1\] из этого следует \[-2 \leq 2 \sin \frac \leq 2 \Rightarrow-6 \leq 2 \sin \frac-4 \leq-2\]

На промежутке -∞;-3, функция имеет следующие значения [-6;-2].

Функция y=-1, получается на полуинтервале (−3;3]. Следовательно, все значения будут сводится на данном интервале к одному числу, а именно -1.

Проанализируем второй промежуток (3;-+∞). Так как функция \[y=\frac\] меньше нуля, она будет убывающей \[y=\frac

Если значение x больше значения 3, то большинство множеств функции будет в промежутке от нуля до +∞.

Читайте также:

  
• Набор для свечей своими руками инструкция
  
• Разветвитель rs232 своими руками
  
• Чистка макбука от пыли и замена термопасты своими руками
  
• Розжиг своими руками
  
• Ремонт акпп прадо 120 своими руками