Как сделать эпюру крутящего момента

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 18.09.2024

Крутящий момент возникает как при действии пары сил, приложенной в плоскости поперечного сечения, так и при действии одной силы, приложенной с эксцентриситетом по отношению к центру тяжести поперечного сечения. В первом случае сумма всех сил, действующих относительно оси х и относительно оси у равна 0 и для расчетов из 4 возможных уравнений равновесия используется только одно - уравнение крутящих моментов.

При действии крутящего момента, вызванного действием одной силы, для расчетов используются все 4 возможных уравнения равновесия. При этом уравнение крутящих моментов в плоскости поперечного сечения остается неизменным. Особенности использования первых 3 уравнений равновесия рассматриваются отдельно. Здесь же мы рассмотрим только использование уравнения крутящих моментов в плоскости поперечных сечений:

∑М_k = 0 (333.1)

При действии крутящего момента стержни, исходя из условий равновесия, могут иметь одну или две жестко защемленные опоры. Опоры могут быть также скользящими, при этом поворот стержней в плоскости действия крутящего момента невозможен. Шарнирное опирание стержней при действии крутящего момента не рассматривается. Т.е. стержни могут иметь шарнирные опоры в плоскости действия изгибающего момента, но при этом они должны иметь жестко защемленные опоры в плоскости действия крутящего момента.

Таким образом, если стержень имеет только одну жестко защемленную опору, то такая конструкция является статически определимой, при этом опорный крутящий момент равен по значению крутящему моменту, действующему в пролете и противоположен по знаку. Если на рассматриваемый стержень действует только один сосредоточенный крутящий момент, приложенный в некоторой точке С, то уравнение равновесия будет выглядеть так:

Если стержень имеет две жестко защемленные опоры, то конструкция является один раз статически неопределимой, в таких случаях уравнения моментов в плоскости поперечного сечения для определения опорных моментов:

недостаточно и для расчетов используется дополнительное уравнение. Это уравнение можно получить, исходя из условия совместимости деформаций:

Смысл этого уравнения в том, что крутящий момент на опоре А приводит к повороту сечения, в плоскости которого действует сосредоточенный изгибающий момент (в точке С), на такой же угол, как и крутящий момент на опоре В. Тогда согласно формулы

Например, при действии сосредоточенного крутящего момента M_kC = 12 кгс·см, приложенного на расстоянии 1 м от опоры А (l₁ = 1 м) при длине вала l = 3 м (l₂ = 2м) совместное решение уравнений (333.4) и (333.2.2) даст следующий результат: М_kA = - 8 кгс·см, M_kB = - 4 кгс·см. В данном случае знаки "-" означают, что опорные моменты направлены в сторону, противоположную для крутящего момента в точке С. При этом эпюра крутящих моментов и эпюра углов поворота будут выглядеть так:

Рисунок 333.1

Если внимательно посмотреть на эти эпюры, то мы заметим, что эпюра крутящих моментов при воздействии сосредоточенного момента подобна эпюре поперечных сил при воздействии сосредоточенной нагрузки на стержень, имеющий шарнирные опоры, а эпюра углов поворота подобна эпюре изгибающих моментов. Кроме того, опорные реакции при воздействии сосредоточенной нагрузки имеют такую же зависимость, как и опорные моменты при воздействии сосредоточенного крутящего момента. А уравнение равновесия относительно оси у подобно уравнению крутящих моментов.

На основании этого можно предположить, что при воздействии равномерно распределенного крутящего момента эпюра крутящего момента будет подобна эпюре поперечных сил для стержня на шарнирных опорах, на который действует равномерно распределенная нагрузка. А эпюра углов поворота в плоскости поперечных сечений будет подобна эпюре моментов:

Рисунок 333.2

Такое же подобие можно установить и для других возможных видов загружения стержней.

Для стержней круглого сечения - валов машин и механизмов, на которые действует крутящий момент от пары сил, этих данных достаточно для расчета. При расчете строительных конструкций, на которые действует крутящий момент от нагрузки приложенной со смещением от центра тяжести поперечных сечений, необходимо учитывать совместную работу изгибающего и крутящего моментов. При этом определение максимально допустимых напряжений производится согласно одной из теорий прочности. И если для стержней с шарнирными опорами при равномерно распределенном крутящем моменте как правило достаточно исследовать плоское напряженное состояние в виду того, что изгибающий момент на шарнирных опорах отсутствует, то для стержней с жестко защемленными опорами как в плоскости действия изгибающего момента, так и в плоскости действия крутящего момента следует исследовать объемное напряженное состояние, так как возле опор напряжения будут направлены в 3 плоскостях.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты, внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент M_k, (другое обозначение T, M_z), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.

Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).

Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.

Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси

В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.

Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.

Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.

При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от M_k), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.

При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

В ряде случаев величины внешних крутящих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов (n- частота вращения, единицы измерения - об/мин.), то вращающий момент можно найти по формуле: М_вр=P/n,

эта формула дает значение момента в Н·м, если мощность выражена в Вт, а частота вращения n - об/мин.

§2. Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M_k (M_z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.

В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣM_z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент M_z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M₁|=|M₂|.

Крутящие моменты М_x, изменяются по длине бруса и являются функцией положения сечения. Крутящий момент в поперечном сечении, отстоящем на расстоянии x от начала рассматриваемого участка М_x(x) вычисляют по формуле:

M_i – сосредоточенные крутящие моменты;

m_i(x) – распределенные крутящие моменты.

Также как и для растяжения - сжатия график функции М_x(х) называют эпюрой. Эпюру строят на одном чертеже под расчетной схемой бруса. Ось абсцисс для эпюры проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения крутящих моментов. Построение эпюры выполняют в следующей последовательности.

1. На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется форма или размер поперечного сечения, либо изменяется нагрузка. Нумерацию начинают со свободного сечения бруса. В случае статически неопределимого бруса вначале раскрывают статическую неопределимость и в результате определяют крутящие моменты в заделках.

2. На каждом участке бруса, ограниченном двумя характерными сечениями отмечают сечение, отстоящее на произвольном расстоянии х от начала участка и для него записывают выражение крутящего момента, как алгебраическую сумму всех внешних крутящих моментов, лежащих по одну (любую) сторону от сечения. Вычисляют значения в граничных сечениях участка и откладывают на эпюре. Очертания эпюры между граничными точками определяют исходя из законов изменения нагрузки. На эпюре М_x при переходе через сечение, в котором приложен сосредоточенный момент М_i будет скачок на величину М_i. На участке действия распределенных моментов, интенсивность которых изменяется по степенной зависимости, эпюра М_x будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени закона изменения погонных моментов m(x). Следовательно, при m(x)=0 -эпюра М_x ограничена горизонтальной прямой, при m(x)=const -эпюра М_x ограничена наклонной прямой, в случае изменения по линейному закону, эпюра М_x ограничена квадратной параболой и т.д.

Для заданного ступенчатого вала круглого сечения (рис. 2.35а) построить эпюры крутящих моментов M при заданных а, М и модуле упругости второго рода G.

1. Освободим вал от заделок и заменим их действие неизвестными крутящими моментами M₁ и M₅ (рис. 2.35б). Запишем уравнение равновесия:

Система один раз статически неопределима, так как число неизвестных превышает на единицу число независимых уравнений равновесия.

2. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность поворота торцевых сечений друг относительно друга:

Запишем выражения для углов поворота концевых сечений в пределах каждого участка:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: