Как сделать эпюр точки

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 18.09.2024

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
\overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Как построить эпюры Q и М. При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила Q_y и изгибающий момент М_х. Для построения эпюр этих внутренних силовых факторов важно знать, чему они численно равны (определение) и правила знаков.

Поперечная сила, возникающая в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения на плоскость поперечного сечения.

Правило знаков. Положительная поперечная сила поворачивает рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. (кратко – по часовой плюс, против – минус).

Изгибающий момент в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения, относительно центра тяжести сечения.

Правило знаков. Положительный изгибающий момент соответствует (т.е. вызывает) растяжению нижних волокон.

Для отыскания опасного сечения строят эпюры Q_y и М_х, используя метод сечения, либо метод характерных точек. Эпюра – это график, показывающий изменение того или иного фактора по оси балки. Сечения расставляются на характерных участках, характерный участок балки – это участок между какими-либо изменениями. Изменения – это сосредоточенные силы или моменты, начало и конец распределенной нагрузки. Характерные точки – это точки, сколь-либо заметные на балке, т.е. точки приложения сосредоточенных сил, моментов и т.д.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Как правило, отбрасывают ту часть балки, которая представляется наиболее сложной. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить в соответствии с принятыми ранее правилами знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, а Q_y и М_х находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбрасывается левая часть, Q_y и М_х определяются по силам, действующим на правую часть балки.

Для построения эпюр проводят нулевые линии под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определенная точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладывают в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от нее, отрицательные — вниз.

При построении эпюры М_х у строителей принято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. — вниз, а отрицательные — вверх от оси балки. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх.

Найденные значения поперечной силы и изгибающего момента соединяют соответствующими линиями.

Построенные эпюры Q_уи М_xзаштриховывают прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Q_у или М_x,действующих в данном сечении балки. На эпюрах ставятся знаки.

Проверка построения эпюр. Следует хорошо усвоить дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом (следствия из теоремы Д.И. Журавского), что позволит быстро и правильно строить эпюры. Как проверить эпюры Q и М ? Необходимо запомнить следующие правила (проверки построения эпюр):

На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Q_y – прямая, параллельная базовой линии, а эпюра М_х — наклонная прямая.
Под сосредоточенной силой на эпюре Q_y наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре М_х – излом.
В точке приложения сосредоточенной пары сил (момента) на эпюре момента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Q_y не претерпевает изменений.
На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Q_y выражается наклонной прямой, а эпюра М_х – параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.
На участках балки, где эпюра Q положительна, изгибающий момент с увеличением координаты z увеличивается, и, наоборот, там, где Q Запись опубликована 13.09.2014 автором admin в рубрике Изгиб, Сопромат.

V ∩ H → Х – ось абсцисс, Н ∩ W → Y – ось ординат, V ∩ W → Z – ось аппликат.

Точка О – начало координат.

Точка А – объект проецирования. Для построения проекции точки А на плоскость Н проведем через точку проецирующий луч Аа, перпендикулярный этой плоскости. Точка а пересечения этого луча с плоскостью Н будет искомой горизонтальной проекцией точки А, а′ – фронтальная проекция точки А, а″ – профильная проекция точки А (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Наглядное изображение точки в I октанте (четверти) и эпюр точки

Комплексный чертеж (эпюр) точки, расположенной в I октанте (четверти), получим, если совместим плоскости Н и W c плоскостью V, вращая плоскость Н вокруг оси Х, а плоскость W вокруг оси Z (рисунок 1.1). Линии а′а, а′а″ называются линиями связи.

Координата Х – абсцисса – показывает удаление точки А от плоскости W;

координата Y – ордината – показывает удаление точки А от плоскости V;

координата Z – аппликата – показывает удаление точки А от плоскости Н;

координаты проекций точки А: а(Х, Y); а′(Х, Z); а″(Z, Y).

Из вышесказанного следует, что любые две проекции однозначно определяют положение точки в пространстве.

Три правила проецирования

1) Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда лежат на одной линии связи а′а ^ оси Х.

2) Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной линии связи а′а″ ^ оси Z.

3) Профильная проекция точки находится справа от оси Z, если координата Y положительная, и слева от оси Z, если координата Y отрицательная.

Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 8 частей (октантов). Точки могут располагаться во всех восьми октантах. Наблюдатель находится в I октанте (рисунки 1.2, 1.3).

Октант	Знаки координат
Х	Y	Z
I	+	+	+
II	+	–	+
III	+	–	–
IV	+	+	–
V	–	+	+
VI	–	–	+
VII	–	–	–
VIII	–	+	–

Задачи по теме 1 – Проецирование точки

1.1. Построить эпюр и наглядное изображение точек А (25, 20, 5), В (15, 0, 25), С (0, 25, 10).

Примечание: при построении наглядного изображения точек координату Y следует уменьшить вдвое.

1.2 Достроить наглядное изображение и построить эпюр точек А, В, и С. Записать их координаты.

1.3 Построить наглядное изображение, горизонтальные и фронтальные проекяии точек А(5; –20; 10), В(10; –10; –20), С(20; 0; –30), D(30; 30; –40), Е(40; 0; 0).

Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже.Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.

Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.

Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.

Принятые обозначения.

А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;

a, b, с, d - линии - строчными буквами латинского алфавита;

p₁ – горизонтальная плоскость проекций,

p₂ – фронтальная плоскость проекций,

p₃ - профильная плоскость проекций,

p₄, p₅, . - дополнительные плоскости проекций.

Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.

Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p₁ с одним штрихом, на p₂ с двумя, на p₃ – с тремя штрихами.

p₁ – А I , В I , C I . a I , b I , . ,a I , b I ,

p₂ – А II , В II , C II . a II , b II , . ,a II , b II ,

p₃ – А III , В III , C III . a III , b III , . ,a III , b III .

Образование проекций.

1 Центральное проецирование.

Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.

π₁ - плоскость проекций

S – центр проецирования

A, B, C - точки в пространстве

A', B', C' - проекции точек на плоскость π'

Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2. Параллельное проецирование.

Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей

Основные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция точки - есть точка;

2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);

3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A' l';

4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;

5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m' ∩ n' = K';

6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А'B': C'D'

7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).

Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.

Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.

Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π₁ называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π₁ (рис.1.5)

Получаемый при этом на плоскости π₁ чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A' однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A' существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A'. Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.

На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.

Совмещая теперь плоскости π₁ и π₂ с построенными в них проекциями поворотом π₁ вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π₁ совпала с нижней полуплоскостью π₂, получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа. (рис. 1.7).

Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим, то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.

Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:

1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;

2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.

Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.

В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π₁ (горизонтальная плоскость) π₂ (Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π₁ и к π_1, - это профильная плоскость. π₃. Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)

Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)

Расстояние от точки А до плоскости π₃ (А A"') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AY = A"A_Z = A_X0 = X

Расстояние от точки А до плоскости π₂ (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AX = A"'A_Z = A_Y0 = Y

Расстояние от точки А до плоскости π₁ (А A') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A"'A_Y = A_Z0 = Z

Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)

Конкурирующие точки.

Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B' ближе к наблюдателю, чем A', и на π₂ видимой будет проекция B'' а проекция А'' будет невидимой (рис. 1.12).

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А'' ближе к наблюдателю, чем В'', и на π₁ видимой будет проекция А' а проекция В' будет невидимой (рис. 1.13).

Чем дальше проекция точки от оси Х, тем точка выше или ближе к наблюдателю.

Тест Тулуз-Пьерон (корректурная проба): получение информации о более общих характеристиках работоспособности, таких как.

Эталон единицы силы электрического тока: Эталон – это средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и хранение.

Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости.
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.

Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.

При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:

эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
эпюры вращающих (крутящих) моментов;
эпюры изгибающих моментов;
эпюры напряжений (нормальных или касательных);
эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).

Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.

Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.

Правила построения эпюр

При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.

Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.

Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.

Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.

По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.

Определение знака фактора на эпюре

При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:

Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:

На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов M_из – наклонную прямую.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре M_из – излом (изменение направления графика).

На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра M_из – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.

Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на эпюре изгибающих моментов M_из будет иметь экстремальное значение (минимальное или максимальное).

Если на границе действия распределенной нагрузки нет сосредоточенных сил, то наклонный участок эпюры Q соединяется с горизонтальным без "ступеньки", а параболический участок эпюры M_из соединяется с наклонным участком плавно, без излома.

В сечениях, где к брусу приложены сосредоченные пары сил, на эпюре M_из будут иметь место ступенчатые скачки на величину действующих внешних моментов, а эпюра Q изменения не претерпевает (приложенные к брусу изгибающие моменты не влияют на эпюру поперечных сил).

Читайте также: