Четырехугольная призма как сделать

Обновлено: 02.07.2024

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

Основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны и параллельны друг другу
Боковые грани AA₁D₁D, AA₁B₁B, BB₁C₁C и CC₁D₁D, каждая из которых является прямоугольником
Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
Боковые ребра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.
Диагональ B₁D
Диагональ основания BD
Диагональное сечение BB₁D₁D
Перпендикулярное сечение A₂B₂C₂D₂ .

Свойства правильной четырехугольной призмы

Основаниями являются два равных квадрата
Основания параллельны друг другу
Боковыми гранями являются прямоугольники
Боковые грани равны между собой
Боковые грани перпендикулярны основаниям
Боковые ребра параллельны между собой и равны
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
Углы перпендикулярного сечения - прямые
Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма" подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Для площади поверхности куба:

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
площадь основания: Sосн = V / h,
площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

четырехугольная призма является тем, чья поверхность образована двумя равными основаниями, которые являются четырехугольниками, и четырьмя боковыми гранями, которые являются параллелограммами. Они могут быть классифицированы в соответствии с их углом наклона, а также по форме их основания.

Призма - это нерегулярное геометрическое тело с плоскими гранями, которые заключают в себе конечный объем, основанный на двух многоугольниках и боковых гранях, которые являются параллелограммами. По количеству сторон многоугольников оснований призмы могут быть: треугольными, четырехугольными, пятиугольными, среди прочих.

Особенности количества граней, вершин и ребер?

Четырехугольная призма основания - это многогранная фигура с двумя равными и параллельными основаниями и четырьмя прямоугольниками, являющимися боковыми гранями, соединяющими соответствующие стороны двух оснований..

Четырехугольную призму можно отличить от других типов призм, поскольку она имеет следующие элементы:

Основы (B)

Они представляют собой два многоугольника, образованных четырьмя сторонами (четырехугольником), которые равны и параллельны.

Лица (С)

Всего этот тип призмы имеет шесть граней:

Четыре боковые грани, образованные прямоугольниками.
Два лица, которые являются четырехугольниками, которые образуют основания.

Вершины (V)

Это те точки, где три грани призмы совпадают, в данном случае это всего 8 вершин..

Края: (A)

Это сегменты, где находятся две грани призмы, а именно:

Края основания: это линия соединения между боковой гранью и основанием, всего их 8.
Боковые ребра: это боковая соединительная линия между двумя гранями, всего их 4.

Число ребер многогранника также можно рассчитать с помощью теоремы Эйлера, если число вершин и граней известно; таким образом, для четырехугольной призмы она рассчитывается следующим образом:

Количество ребер = Количество граней + количество вершин - 2.

Количество ребер = 6 + 8 - 2.

Количество ребер = 12.

Высота (ч)

Высота четырехугольной призмы измеряется как расстояние между двумя ее основаниями..

классификация

Четырехугольные призмы могут быть классифицированы в соответствии с их углом наклона, который может быть прямым или наклонным:

Прямые четырехугольные призмы

Они имеют две равные и параллельные грани, которые являются основаниями призмы, их боковые грани образованы квадратами или прямоугольниками, таким образом, их боковые края все равны, а длина их будет равна высоте призмы.

Общая площадь определяется площадью и периметром ее основания, высотой призмы:

Косые четырехугольные призмы

Этот тип призмы характеризуется тем, что его боковые грани образуют косые двугранные углы с основаниями, то есть их боковые грани не перпендикулярны основанию, поскольку они имеют степень наклона, которая может быть меньше или больше 90 или .

Их боковые грани, как правило, представляют собой параллелограммы с ромбом или ромбовидной формой, которые могут иметь одну или несколько прямоугольных граней. Другой характеристикой этих призм является то, что их высота отличается от меры их боковых краев..

Площадь наклонной четырехугольной призмы рассчитывается почти так же, как и предыдущие, добавляя площадь оснований с боковой площадью; единственная разница заключается в том, как рассчитывается ваша боковая площадь.

Площадь сторон рассчитывается с боковым краем и периметром прямого участка призмы, где образуется угол 90 или с каждой стороны.

Объем всех типов призм рассчитывается путем умножения площади основания на высоту:

Точно так же четырехугольные призмы могут быть классифицированы согласно типу четырехугольника, который формирует основания (регулярный и нерегулярный):

Правильная четырехугольная призма

Это тот, который имеет два квадрата в качестве основания, а его боковые грани равны прямоугольникам. Его ось является идеальной линией, которая проходит параллельно его граням и заканчивается в центре двух ее оснований..

Чтобы определить общую площадь четырехугольной призмы, рассчитайте площадь ее основания и боковую площадь таким образом, чтобы:

Боковая область соответствует площади прямоугольника; то есть:

Площадь основания, соответствует площади квадрата:

_база = 2 (сторона _* Сторона) = 2л 2

Чтобы определить объем, умножьте площадь основания на высоту:

Нерегулярная четырехугольная призма

Этот тип призмы характеризуется тем, что его основания не квадратные; они могут иметь основания, которые состоят из неравных сторон, и представлены пять случаев, где:

а. Основания прямоугольные

Его поверхность образована двумя прямоугольными основаниями и четырьмя боковыми гранями, которые также являются прямоугольниками, равными и параллельными.

Чтобы определить его общую площадь, рассчитайте каждую площадь из шести прямоугольников, которые ее образуют, двух оснований, двух небольших боковых граней и двух больших боковых граней:

б. Основы алмазов:

Его поверхность образована двумя основаниями ромбовидной формы и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми гранями. Чтобы рассчитать его общую площадь, необходимо определить:

Базовая площадь (ромб) = (большая диагональ _* меньшая диагональ) ÷ 2.
Боковая зона = периметр основания _* высота = 4 (стороны основания) * ч

Таким образом, общая площадь составляет:_T = A_{боковая} + 2A_база.

с. Основания ромбовидные

Его поверхность образована двумя основаниями ромбовидной формы и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми гранями, его общая площадь определяется как:

Базовая площадь (ромбоид) = база _* относительная высота = B * ч.
Боковая зона = периметр основания _* высота = 2 (сторона а + сторона б) _* час
Таким образом, общая площадь: A_T = A_{боковая} + 2A_база.

д. Основания - трапеции

Его поверхность образована двумя основаниями в форме трапеций и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми гранями, его общая площадь определяется как:

Базовая площадь (трапеция) = h _* [(сторона a + сторона b) ÷ (2)].
Боковая зона = периметр основания _* высота = (a + b + c + d) * ч
Таким образом, общая площадь: A_T = A_{боковая} + 2A_база.

е. Основания - трапеции

Площадь основания (трапеция) = = (диагональ_{1 *} диагональный₂) ÷ 2.
Боковая зона = периметр основания _* высота = 2 (сторона а _* сторона б * ч.
Таким образом, общая площадь: A_T = A_{боковая} + 2A_база.

Таким образом, чтобы определить площадь любой правильной четырехугольной призмы, необходимо только вычислить площадь четырехугольника, являющегося основанием, периметр этого и высоту, которую призма будет иметь, в общем случае ее формула будет иметь вид:

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма — коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S_>\cdot \text\),
где \( >_>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.

Необычная формула объема призмы:
\( \text=>_>\cdot l\),
где \( >_>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

А теперь чуть подробнее…

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Объем призмы

Главная формула объема призмы

Необычная формула объема призмы

\( \text=>_>\cdot l\),
где \( >_>\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) — длина бокового ребра.

Площадь призмы

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

Все боковые грани прямоугольники;
Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

– то же самое, что

\( \displaystyle V=S_>\cdot боковое\ ребро\)

Необычная формула объёма призмы

\( \Large \text=>_>\cdot l\)
\( >_>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

Подставляем в формулу объёма:

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Объем правильной шестиугольной призмы

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle >_>=\text\cdot \text\), где \( \displaystyle P\) – периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Многие ученики путают прямую и правильную призму. А ты теперь никогда не запутаешься!

Была ли эта статья полезной? Ты все понял?

Если у тебя остались вопросы, пиши внизу в комментариях! Разберёмся!

Или если появились предложения. Или если просто хочешь поделиться своими мыслями. Мы будем очень рады.

Добавить комментарий Отменить ответ

5 комментариев

Арег :

Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию

Александр Кель :

Супер Aper! Рады помочь!

Бася :

Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам!

Александр Кель :

Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене!

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:

Дмитрий
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Regina
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!

Настя
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.

Женя
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

Анна
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

Жанна
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!

Николай
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂

Алексей Шевчук
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.

Читайте также: