Как сделать уравнение с угловым коэффициентом

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 04.10.2024

В данном материале рассмотрим, что такое уравнение прямой. Проанализируем каждый вид данного уравнения. Изучим основные формулы и графики. Применим весь рассмотренный материал на практике, в виде решения задач и уравнений.

Данное уравнение - характеризуется, как уравнение двух переменных значений.

Значения в математики, чаще всего обозначают буквами x и y. Это самое распространенное обозначение, однако можно встретить и другие буквенные обозначения. Например: z, n и другие значения.

Определение прямой линии- фигура, состоящая из множества простых точек. Каждая точка, имеет собственные, определенные координаты, относительно осей абсцисс и ординат.

Уравнение прямой на плоскости - уравнение, характеризующее взаимосвязь координатных значений точек на прямой.

Для решения уравнений необходимо помнить ряд важным математических функций, правил, значений.

Все их мы будем рассматривать подробно в каждом разделе на примерах решения.

Общее уравнение прямой линии системы координат

Рассмотрим соответствующую теорему, которая отражает уравнение прямой на плоскости в системе координат Oxy.

Подробно исследуем следующее уравнение: ax+by+c=0.

Значения х и y, являются переменными данными со значениями.

a и b - действительные простые числа. Обязательное условие, которых неравенство нулю.

Следовательно, прямая линия задается вышеупомянутым уравнением данного вида: ax+by+c=0.

Рассмотрим на примере изученную теорему:

На данном рисунке, мы рассмотрим красную линию и запишем уравнение для нее.

Координаты на данной прямой удовлетворяют составленному уравнению.

Уравнение может быть также полным и неполным. Рассмотрим случаи:

Все действительные числа, имеют любое значение, но не равные нулю. Поэтому такое определение относится к данному типу уравнений.

Все числа в уравнении имеют любое значение. Характерно, также значения отрицательных знаков.

Уравнение прямой в отрезках прямой

Для отрезков уравнение будет иметь следующей вид:

Данные в знаменателе, являются действительными значениями, не равными нулевому значению. Величины действительных данных равняются отрезку. Он отсоединяется линией на оси координат. Протяженность начинает свой отсчет от начала координатной прямой.

Пример:

Нужно начертить прямую линию, которая задается формулой.

Обозначим на графике две точки ( 3 ; 0 ) , (0; \[-\frac\]). Далее необходимо их соединить между собой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Записываем уравнение вида: \[\mathrm=\mathrm \cdot x+b\];

x - значение, которое принимается, как переменное;

к - простое действительное число, является показателем углового коэффициента;

b - действительное число.

Угол наклона на плоскости в системе координат - угол, который берет свой отсчет значений от направления с положительным знаком до прямой, которая направлена против хода часовой стрелки.

Угол будут считать нулевым, если прямая линии, имеют параллельное расположение относительно оси абсцисс либо совпадает с ней по расположению. Угол принимает значения, согласно интервалу (0, \[\pi\]).

Угловой коэффициент - значение тангенса угла наклона этой же прямой линии.

В случае, когда прямая линия параллельная другой оси, ординат, то принято считать, что угловой коэффициент не определяется. И соответствует интервалу бесконечности.

График функции будет возрастать, если значение коэффициента имеет положительное значение. Следовательно, убывание будет наблюдаться в противоположном значение, а именно с отрицательным значением.

На графиках показаны значения угловых коэффициентов и угол наклона. Когда есть разное расположение относительно осей.

На примерах рассмотрим нахождение углового коэффициента. Для этого из прошлых тем, вспомним определение тангенса и его вычисление.

Пример №1:

Угол наклона прямой равен 120 градусов, относительно оси ох.

Нам нужно определить угловой коэффициент.

Применим известные нам формулы и подставим данные.

Следовательно правильный ответ задачи будет равняться \[k=-\sqrt\]

Пример №2:

В этом примере нам уже известно значение углового коэффициента.

Нужно определить угол наклона, относительно прямой. Для этого, нужно обязательно учитывать знак известного коэффициента. Если к>0, следует что угол будет острый и определяться как \[\alpha=\operatorname k\].

Когда к

Важные моменты, которые следует помнить, при решении задач с каноническим уравнением.

Отметим следующие важные факты:

если вектор является прямым и прямая линия проходит через точку, то ее уравнение имеет вид : \[\frac>>=\frac>>\]
когда вектор прямой по направлению, то любой из векторов может быть направляющим вектором прямой. И уравнение записывается следующим образом: \[\frac><\mu \cdot \alpha_>=\frac><\mu \cdot \alpha_>\]

Пример №1:

Прямая в системе координат проходит через точки (2;-4) и вектор направляющий равен (1;-3). Составьте и напишите каноническое уравнение, применяя известные нам данные.

Следовательно уравнение записывается следующим образом: \[\frac>>=\frac>> \Leftrightarrow \frac=\frac \Leftrightarrow \frac=\frac\]

Пример №2:

Составить каноническое уравнение, проходящее через точки \[\sqrt[3] ; \quad-\frac\]

Прямая является параллельной относительно оси координат. Направляющий вектор принимается \[\underline=(0 ; 1)\]. Учитывая значение точек, через которые проходит прямая, записываем уравнение:

Пример №3:

Составим уравнение, руководствуясь графиком, приведенным ниже.

Из рисунка видно, что прямая проходит через точки со значениями (0;3). Расположена параллельно относительно оси x (ось абсцисс). Координатный вектор \[\underline=(1,0)\] - направляющий вектор, для данной системы.

Пусть и . Поскольку точки и принадлежат прямой , их координаты удовлетворяют ее уравнению:

Вычитая (5) из (6), имеем:

Таким образом, — Уравнение прямой на плоскости С угловым коэффициентом . Здесь:

— угол, который прямая образует с осью ,

— точка, в которой прямая пересекает ось ( ),

— координаты текущих точек прямой .

Пример 19. Пусть прямая задана общим уравнением: . Требуется написать ее уравнение с угловым коэффициентом.

Следовательно, угловой коэффициент равен . Очевидно,

— координаты точки, в которой прямая пересекает ось ,

— координаты точки, в которой прямая пересекает ось .

Пример 20. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .

Решение. В этом случае и . Если прямая задана своим общим уравнением , то

Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид

Уравнение такой прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

Итак, уравнение вида (или, в общем виде, ) на плоскости описывает прямую, параллельную оси и пересекающую ось в точке .

Пример 21. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .

Решение. В этом случае и . Если прямая задана своим общим уравнением , то

Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид

Это уравнение эквивалентно уравнению вида

Пример 22. Четыре прямые заданы своими общими уравнениями:

Требуется описать взаимное расположение прямой с прямыми , и .

Решение. Прямые и пересекаются, так как существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют уравнениям данных прямых:

Пара координат точки пересечения является единственным решением этой системы.

Ответ 1: — координаты точки пересечения прямых и .

Ответ 2: Прямые и параллельны.

Не имеет решений (прямые и не имеют общих точек):

и — параллельны, так как не пересекаются и имеют равные угловые коэффициенты: .

Ответ 3: Прямые и совпадают.

Имеет бесконечное множество решений, так как состоит из двух эквивалентных уравнений:

Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Полезно отметить, что справедливо следующее

Утверждение 9. Если две прямые заданы своими общими уравнениями и , то могут представиться три случая:

1) — прямые имеют одну общую точку;

2) — прямые параллельны;

3) — прямые совпадают.

Угол между прямыми (через угловые коэффициенты)

Пусть прямые и заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами (см. рис. 18):

Очевидно, ó . Следовательно,

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

= ó = = 0 ó 1 + = 0 ó =

Уравнение прямой, проходящей через данную Точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть на плоскости дана точка . Составим уравнение прямой, проходящей через эту точку под заданным углом к оси (см. рис. 19).

Напомним, что — угловой коэффициент прямой. Пусть — произвольная текущая точка прямой . Имеем

Итак, — Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку с угловым коэффициентом (здесь переменные — координаты текущих точек прямой).

Пример 23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку под заданным углом к оси .

Рассмотрим три случая положения прямой в координатной плоскости.

1) Если прямая параллельна оси Oy.

В этом случае все её точки имеют одинаковые абсциссы. Например, если точка пересечения прямой с осью Ox имеет абсциссу a, то для всех точек прямой верно равенство

Это равенство является уравнением прямой, параллельной оси Oy.

2) Если прямая параллельна оси Ox.

Все точки прямой имеют одинаковые ординаты. Если точка пересечения прямой с осью Oy имеет ординату b, то для всех точек прямой верно равенство

это равенство является уравнением прямой, параллельной оси Ox.

3) Если прямая не параллельна ни одной из осей.

Пусть α — угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Выберем на прямой произвольную точку A(x;y). Проведём через точку A прямые, параллельные осям.

Рассмотрим образованный этими прямыми прямоугольный треугольник ABC.

AC=y-b, BC=x, ∠ABC=α (как соответственные при BC∥Ox и секущей AB).

$tg\angle ABC = \frac<<AC></p> <p>>>, \Rightarrow tg\alpha = \frac>$

Обозначим tgα=k. Число k называют угловым коэффициентом прямой (эта величина играет очень важную роль). Тогда

$k = \frac<<y - b></p> <p>>,$

Это уравнение называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если A — точка, лежащая не в I четверти, рассуждения усложняются, но в результате приходим к тому же уравнению: y=kx+b.

Если угол α — тупой, в прямоугольном треугольнике находят тангенс угла, смежного с α.

Уравнение y=b можно считать частным случаем уравнения y=kx+b, что согласуется с геометрическим смыслом k, поскольку для прямой, параллельной оси Oy, α=0°, а tg0°=0.

Для прямой, параллельной оси Oy, уравнение x=a не является частным случаем уравнения y=kx+b (что также согласуется с геометрическим смыслом k, так как в этом случае α=90°, а tg 90° не существует).

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом задает все прямые, не параллельные оси Oy:

Прямая, проходящая через данную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости (рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

где - координаты точки , - угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент и прямая проходит через точку .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем - подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угол наклона прямой и прямая проходит через точку .

Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем - подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.

Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 3. Установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом точки и .

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

Получили верное равенство, следовательно точка принадлежит заданной прямой.

Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

Получили неверное равенство, следовательно точка не принадлежит заданной прямой.

Прямая, проходящая через две данные точки

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, которая проходит через две данные точки и .

В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:

Нам остаётся лишь применять эту формулу.

Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если она проходит через точки и .

Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Итак, получили уравнение вида (2).

Проверяем - подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:

Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, проведённой через две данные точки и .

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Читайте также: