Как сделать уравнение равновесия

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 05.10.2024

Равновесие в статике – это отсутствие движения. Чтобы объект находился в равновесии, нужно, чтобы выполнялись некоторые условия, рассмотрим их.

Условие равновесия материальной точки

Чтобы материальная точка находилась в равновесии, нужно, чтобы она не двигалась поступательно.

Примечания:

Материальная точка может двигаться только лишь поступательно.
Точка мала и не имеет внешних границ. Поэтому, она не может двигаться вращательно вокруг оси, проходящей через её центр. Если отодвинуть ось вращения от точки на некоторое расстояние, тогда точка сможет вокруг этой оси двигаться по окружности. Но вокруг собственной оси точка вращаться не может.

Материальная точка будет находиться в равновесии, когда выполняются два условия:

1. Векторная cумма сил, действующих на точку, должна равняться нулю.

Примечание: При выполнении этого условия, точка будет либо покоиться, либо двигаться вдоль прямой с одной и той же скоростью. Это следует из первого закона Ньютона.

2. Систему отсчета дополнительно выберем так, чтобы координаты точки в системе не менялись при выполнении условия 1.

Примечание: Такая система отсчета будет называться инерциальной, а точка будет покоиться относительно этой системы.

Условие равновесия тела

Чтобы тело находилось в равновесии, нужно, чтобы оно не двигалось поступательно и не вращалось.

Примечание: Тело, состоящее из нескольких точек, может вращаться вокруг оси, проходящей через центр этого тела. Поэтому, для тела условия равновесия нужно дополнить еще одним пунктом. Таким образом, получим три условия.

1. Алгебраическая cумма моментов сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

\[ \large \boxed < M_+ M_ + M_ + \ldots + M_ = 0>\]

Примечания:

При выполнении этого условия тело не будет вращаться.
Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, подставляем в это уравнение со знаком плюс. Моменты сил, вращающих против часовой стрелки – со знаком минус.

2. Векторная cумма сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

Примечания:

Если условие выполняется, то тело сможет двигаться равномерно прямолинейно. Чтобы тело находилось в покое, необходимо еще одно условие:

3. Систему отсчета выберем так, чтобы координаты всех точек тела не менялись в ней при равенстве нулю векторной суммы сил.

Условия равновесия применяются для решения задач статики, связанных с моментами сил.

Виды равновесия

Различают такие виды равновесия:

неустойчивое равновесие,
устойчивое равновесие,
безразличное равновесие.

Рассмотрим однородный шар (или, например, мяч), который покоится (рис. 1) на горке – а), на горизонтальном участке – б), и в ложбинке – в).

Неустойчивое равновесие

На вершине горы мяч находится в неустойчивом равновесии, потому, что стоит нам подтолкнуть мяч и, он скатится с горки (рис. 1а).

Равновесие неустойчивое:
при малом отклонении
потенциальная энергия тела уменьшается
силы и моменты сил
еще больше уводят тело от положения равновесия.

В состоянии неустойчивого равновесия потенциальная энергия тела максимальна!

Безразличное равновесие

На горизонтальном участке мяч будет покоиться в любом месте, в которое мы его поместим (рис. 1б). Подтолкнем мяч, он перекатится в другое положение и там будет оставаться в безразличном равновесии.

Если потенциальная энергия тела при его перемещении из одной точки пространства в другую точку остается постоянной, равновесие можно назвать безразличным.

Устойчивое равновесие

Мяч находится в ложбинке в устойчивом равновесии (рис. 1в). Легонько подтолкнув мяч, мы выведем его из равновесия, но через непродолжительное время мяч опять вернется в ложбинку.

Равновесие устойчивое:
при малом отклонении от равновесия
потенциальная энергия тела увеличивается
силы и моменты сил
возвращают тело в положение равновесия.

Примечание: Потенциальная энергия тела будет минимально возможной, когда тело находится в устойчивом равновесии!

Равновесие тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси

Рассмотрим однородный шар, изготовленный, к примеру, из пенопласта. Проткнем его спицей, после закрепим ее горизонтально, подобно перекладине на двух опорах (рис. 2).

Спица будет являться неподвижной осью вращения.

Рассмотрим три случая для тела, могущего вращаться вокруг оси. Ось вращения

проходит через центр масс шара — равновесие безразличное (рис. 2а),
находится выше центра масс – равновесие устойчивое (рис. 2б),
находится ниже центра масс – равновесие неустойчивое (рис. 2в).

Примечание для случаев устойчивого и неустойчивого равновесия:

центр масс расположен на вертикальной линии (пунктир на рисунках 2б и 2в), проходящей через ось вращения.

Вокруг неподвижной оси может вращаться любое тело, в том числе, продолговатое, например, рычаг. В задачах статики для него применяют условия равновесия рычага.

Тело опирается на площадь поверхности

Условие равновесия для такого тела:

Проекция центра масс должна лежать внутри площади основания.

Допустим, зодчий захотел построить наклонную башню. Заменим для упрощения башню однородным наклонным цилиндром (рис. 3).

Упадет ли наклонная башня?

На рисунке 3а проекция центра масс попадает внутрь площади основания. Поэтому, башня, обладающая таким наклоном, не упадет.

Если центр масс выйдет за пределы площади, на которую тело опирается, то башня опрокинется (рис 3б).

Примечание: Башня своим весом давит на площадь основания – круг. Сила давления распределяется по всему основанию тела.

Для решения задач на равновесие плоской системы сил можно пользоваться любой формой уравнений равновесия. Целесообразно составлять уравнения так, чтобы они были решены наиболее просто и быстро. Каждое из уравнений равновесия должно содержать одну неизвестную. К такой системе можно прийти при соответствующем выборе координатных осей и центров моментов.

В качестве центров моментов рекомендуется выбирать точку опоры, так как уравнение моментов относительно этой точки содержит одну неизвестную. Направление координатных осей хиу следует выбирать так, чтобы одна из осей была перпендикулярна некоторым неизвестным силам, а при проектировании этих сил на эту ось в уравнение они не войдут. (Ось х следует направлять вдоль балки, а ось у — из крайней левой точки балки.) Определение неизвестных величин лучше начинать с уравнений проекций, а затем переходить к уравнениям моментов. При этом можно избежать совместного решения уравнений и уменьшить вероятность ошибок. Все аксиомы и положения статики устанавливаются для так называемых сосредоточенных сил, т.е. для сил, приложенных к тем или иным точкам твердого тела. На практике же часто приходится иметь дело с силами, распределенными вдоль данной длины по некоторому закону. При решении задач статики такую систему сил надо заменить ее равнодействующей.

Если в состав плоской системы сил, действующих на находящееся в равновесии тело, входит пара сил, то, составляя уравнения равновесия, надо иметь в виду, что алгебраическая сумма проекций сил любой пары на любую ось равна нулю (так как пара всегда представляет собой систему двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил).

Многие задачи статики заключаются в определении реакций связей, в частности реакций опор различного рода балочных систем, ферм и т.п.

Пример 1. На горизонтальную балку АВ, заделанную в стену в точке В (рис. 1.4.6, а), действует сила F = 40 кН в точке А под углом 30° к вертикали и момент М— 30 кНм. На участке АС действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 25 кН/м. Определить реакции в заделке.

Решение. Заменим равномерно распределенную нагрузку равнодействующей F, приложенной в середине АС: Fq = qAC = 25 • 4 = = 100 кН.

Рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы F, F_q, М. Освободимся от связи-заделки, заменив ее вертикальной реакцией V_B, горизонтальной реакцией Н_в и моментом М_в. Получим силовую схему (рис. 1.4.6, б). Направим оси координат таким образом, что начало координат будет в точке А, ось х — горизонталь, совпадает с балкой АВ, ось у — вертикаль. Разложим силу F на горизонталь и вертикаль:

Составляем уравнения равновесия по первой форме:

Знак (—) означает, что Н_в направлена в противоположную сторону;

2) 1F = 0, -F ~F_q+V_B = 0, V_B = F + F = 34,64 + 100 = = 134,64 кН;
3) 1М_В = 0, -F -6-F -4-М+М_в = 0, M_B = F -6 + F -4 + М= = 34,64 -6+ 100-4 + 30 = 207,84 + 400 + 30 = 637,84 кН.

Проверка. Алгебраическая сумма моментов относительно точки Сдолжна быть равна нулю, ХМ_С = 0. —F • 2 — F'-4 — М— V_B 2 + + м_в = -100 • 2 - 34,64 -4 - 30 - 134,64 • 2 + 637,84 = 0. Реакции найдены верно.

Пример 2. Определить опорные реакции балки АВ, нагруженной парой сил с моментом М— 18 кНм и распределенной нагрузкой интенсивностью q = 2 кН/м (рис. 1.4.7, а).

Решение. Заменяем равномерно распределенную нагрузку равнодействующей F. приложенной в середине участка СВ. F_q = qCВ = = 2 • 6 = 12 кН. Рассматриваем равновесие балки. К ней приложены активные силовые факторы: М, F_q. Освободимся от связей, заменив их реакциями V_A, Н_А, V_B. Составляем силовую схему (рис. 1.4.7, б).

Направляем оси координат таким образом, что начало координат будет в точке А, ось х направлена вдоль балки АВ, ось у — вертикальна. Составим уравнения равновесия.

Воспользуемся второй формой уравнений равновесия:

CR M + F-3 1Я + 12-3

Проверим правильность определения реакций из уравнения ЪР_у = 0:

Ответ: Н_А = 0; V_A = 6 кН; = 6 кН.

Так как параллельное расположение сил на плоскости является частным случаем их произвольного на ней расположения, то к такой системе также могут быть применены установленные в предыдущем параграфе три уравнения равновесия плоской системы сил:

Пользуясь тем, что оси проекций можно располагать в плоскости действия сил как угодно, проведем ось параллельно данным силам, а ось — перпендикулярно к ним (рис. 61).

Проекция каждой из сил на ось будет равна нулю, и потому первое из уравнении обращается в тождество при любых значениях сил. Следовательно, уравнение выполняется для системы параллельных сил, независимо от того, находится ли эта система в равновесии или нет.

Так как все данные силы параллельны оси , то сумма проекций этих сил на ось равна сумме модулей этих сил, взятых со знаком плюс, когда они направлены в одну какую-либо сторону, и со знаком минус, когда они направлены в противоположную сторону:

Для простоты будем в дальнейшем обозначать эту сумму просто

Таким образом, уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил принимают вид

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и сумма алгебраических величин моментов всех сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Вспоминая сказанное на стр. 83 о третьей возможной форме уравнении равновесия плоской системы сил (уравнения (28)), уравнениям равновесия плоской системы параллельных сил можно придать другую форму.

Направим ось перпендикулярно параллельным силам. Тогда уравнение

обращается о тождество и отпадает.

Остаются два уравнения

причем центры и моментов должны быть выбраны так, чтобы ось была не перпендикулярна прямой , т. е. чтобы точки и не лежали на прямой, параллельной данным силам.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно каждой из двух произвольно выбранных, но не лежащих на прямой, параллельной данным силам, точек плоскости:

Пример задачи:

На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил с моментом , на правую консоль — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью , а в точке левой консоли — вертикальная сосредоточенная нагрузка . Размеры балки указаны на чертеже (рис. 62). Определить реакции опор и .

Решение:

Для определения реакций опор заменим распределенную нагрузку, действующую на участке балки длиной , равнодействующей. Так как нагрузка равномерно распределена по всей длине участка, то ее равнодействующая приложена в точке , середине участка .

Реакция подвижной опоры и приложенные к балке активные силы и вертикальны. Так как пара сил может только вращать тело и не может сообщить балке горизонтального перемещения, то реакция неподвижной опоры будет направлена также вертикально.

Составляем уравнения (30) равновесия балки. Так как (стр. 74) сумма алгебраических величии моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары и данная пара вращает плоскость чертежа по часовой стрелке, то

Полученный результат можно проверить. Так как балка находится в равновесии, то уравнение

должно обращаться при подстановке в него значений приложенных к балке сил в тождество. Действительно,

Силы пары в это уравнение мы не подставляем, так как алгебраическая сумма их всегда равна нулю.

Пример задачи:

Балка заложена в стену на глубину Длина выступающей части балки равна Пренебрегая весом балки определить реакции стены в точках и (рис. 63), если к свободному концу балки подвешен груз .

Решение:

Как видно из рис. 63, а, приложенная к балке сила стремится повернуть се так, чтобы давление балки на стену в точке А было направлено вертикально вниз, а потому реакция стены в этой точке направлена вертикально вверх; давление же балки па стену в точке направлено вертикально вверх и, следовательно, реакция стены в точке направлена вертикально вниз.

Составляя уравнения (30) равновесия для плоской системы параллельных сил, будем иметь:

Найденным реакциям стены в месте заделки можно придать и другую (рис. 63,6), часто применяемую форму, о которой было сказано выше (стр. 85). Так как

то реакцию можно разложить на две составляющие и , направленные по линии действия силы в ту же сторону и равные по модулю

Силы и образуют пару. Момент этой пары

Этот момент, как видно из уравнения (II), равен но абсолютной величине моменту активной силы , приложенной к балке, относительно точки опоры :

Он уравновешивает вращательный эффект приложенной к балке активной силы, т. е. препятствует вращению балки. Как видно из предыдущего равенства , он не зависит от глубины заделки белки.

Реакция , равная по модулю приложенной к балке активной силе и направленная в противоположную ей сторону, делает невозможным поступательное движение балки.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Химическое равновесие - состояние химической системы, при котором скорость прямой реакции равна скорости обратной.

В большом количестве заданий, которые мне довелось увидеть, я ни один раз видел, как коверкают это определение. Например, в заданиях верно-неверно предлагают похожий вариант, однако говорят о "равенстве концентраций исходных веществ и продуктов" - это грубая ошибка. Химическое равновесие - равенство скоростей.

Принцип Ле Шателье

В 1884 году французским химиком Анри Ле Шателье был предложен принцип, согласно которому, если на систему, находящуюся в состоянии равновесия, оказать внешнее воздействие (изменить температуру, давление, концентрацию), то система будет стремиться компенсировать внешнее воздействие.

Это принцип обоснован термодинамически и доказан. Однако в такой абстрактной формулировке его сложно применить для решения конкретных задач по химическому равновесию. В этой статье я покажу конкретные примеры и обозначу алгоритм действия, чтобы вы могли успешно справляться с заданиями.

Влияние изменения концентрации на химическое равновесие

При увеличении концентрации какого-либо компонента химической реакции, система будет стремиться восстановить равновесие: равновесие будет смещаться в сторону расходования добавленного компонента.

Объясню проще: если вы увеличиваете концентрацию вещества, которое находится в левой части, равновесие сместится в правую сторону. Если добавляете вещество из левой части (продуктов реакции) - смещается в сторону исходных веществ. Посмотрите на пример ниже.

Если мы попытаемся удалить какое-либо вещество из системы (уменьшить его концентрацию), то система будет стремиться заполнить "пустое" место, которые мы создали. Наглядно демонстрирую на примере:

Можно подвести итог полученным знаниям таким образом: "Куда добавляем - оттуда смещается, откуда берем - туда смещается". Воспользуйтесь этой или придумайте свое правило для запоминания этой закономерности ;)

Изменения давления и химическое равновесие

Если речь в задании идет об изменении давления, то первое, что нужно сделать, это посчитать количество газов в уравнении слева и справа. Твердые вещества и жидкости считать не нужно. Например:

В приведенном уравнении количество молекул газа в левой части - 1, в правой - 2.

Запомните правило: "При увеличении давления равновесие смещается в сторону меньших газов, при уменьшении давления - в сторону больших газов". Для нашей системы правило действует таким образом:

В случае, если слева и справа количество молекул газа одинаково, например, в реакции:

Слева - 2 газа, и справа - 2. В такой реакции увеличение или уменьшение давления не повлияет на химическое равновесие.

Изменение температуры и химическое равновесие

Если в задании увеличивают или уменьшают температуру, то первое, что вы должны оценить: экзотермическая это реакция или эндотермическая.

Следуйте следующему правилу: "При увеличении температуры равновесие смещается в сторону эндотермической реакции, при уменьшении - в сторону экзотермической реакции". У любой обратимой реакции есть экзо- и эндотермические части:

Поэтому данное правило универсально и применимо для всех реакций. Для примера разберем следующие задачи:

Чтобы не осталось белых пятен, возьмем экзотермическую реакцию и повторим с ней подобный эксперимент.

Катализатор и ингибитор

Действие катализатора и ингибитора соответственно касается только ускорения и замедления химической реакции. Они никоим образом не влияют на равновесие.

Константа равновесия

Константой равновесия называют отношения скоростей прямой и обратной реакции. Для реакции типа aA + bB = cC + dD константа равновесия будет записана следующим образом:

Решим задачу. Дана реакция: 2NO + Cl₂ ⇄ 2NOCl . Вычислите константу равновесия, если равновесные концентрации веществ для данной реакции: c(NO) = 1.8 моль/л , c(Cl₂) = 1.2 моль/л , c(NOCl) = 0.8 моль/л.

Константу равновесия для данной задачи можно представить в виде 1.64 * 10 -1 .

Данная статья написана Беллевичем Юрием Сергеевичем и является его интеллектуальной собственностью. Копирование, распространение (в том числе путем копирования на другие сайты и ресурсы в Интернете) или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя преследуется по закону. Для получения материалов статьи и разрешения их использования, обратитесь, пожалуйста, к Беллевичу Юрию.

Читайте также: