Как сделать уравнение прямой в отрезках

Обновлено: 03.07.2024

Где a и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями и , то есть длины отрезков, отсекаемые прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками.

Задача.Общее уравнение прямой привести к уравнению в отрезках.

Решение. Запишем данное уравнение в виде и разделим обе его части на свободный член:

Это и есть уравнение данной прямой в отрезках.

Задача.Через точку , провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет виде . По условию . Следовательно, уравнение прямой принимает вид . Так как точка с координатами принадлежит этой прямой, то числа , удовлетворяют уравнению , откуда .

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ax + By + C = 0. Здесь A и B постоянные и не равны нулю одновременно. Такое уравнение первого порядка всегда называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой – виды уравнения прямой: проходящее через точку, общее, каноническое, параметрическое и т.д. обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор

Рассмотрим уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор. Пусть в системе координат задана точка и ненулевой вектор (рис. 1).

Как видим, существует единственная прямая , что проходит через точку перпендикулярно направлению вектора (в этом случае называют нормальным вектором прямой ).

Докажем, что линейное уравнение

это уравнение прямой , то есть координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнение (1), но координаты точки, что не лежит на , уравнения (1) не удовлетворяют.

Для доказательства, обратим внимание, что скалярное произведение векторов и = в координатной форме совпадает с левой частью уравнения (1).

Дальше используем очевидное свойство прямой : векторы и перпендикулярны тогда, и только тогда, когда точка лежит на . А при условии перпендикулярности обоих векторов их скалярное произведение (2) превращается в для всех точек , что лежат на , и только для них. Значит, (1) – уравнение прямой .

Уравнение (1) называется уравнением прямой, что проходит через данную точку с нормальным вектором = .

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Общее уравнение прямой

Превратим уравнение (1)

– общее уравнение прямой.

Таким образом, прямой линии отвечает линейное уравнение вида (3). Наоборот, за данным уравнением вида (3), где хотя бы один из коэффициентов и не равен нулю, можно построить прямую.

Действительно, пусть пара чисел удовлетворяют уравнение (3), то есть

Отнимая последнее от (3), получим соотношение , которое определяет прямую за вектором и точкой .

Исследование общего уравнения прямой

Полезно знать особенности размещения прямой в отдельных случаях, когда одно либо два из чисел равны нулю.

1. Общее уравнение выглядит так: . Ему удовлетворяет точка , значит, прямая проходит через начало координат. Его можно записать: = – x (см. рис. 2).

Если положить , тогда , получается ещё одна точка (см. рис. 2).

2. , тогда уравнение выглядит так , где = –. Нормальный вектор лежит на оси , прямая . Таким образом, прямая перпендикулярна в точке , либо же параллельна оси (см. рис. 3). В частности, если и , тогда и уравнение – это уравнение оси ординат.

3. Аналогично, при уравнение записывается , где . Вектор принадлежит оси . Прямая в точке (рис. 4) .

Если же , тогда уравнение оси .

Исследование можно сформулировать в такой форме: прямая параллельна той координатной оси, смена которой в общем уравнении прямой отсутствует.

1. прямая , слагаемое с отсутствует, поэтому .

Уравнение прямой в отрезках

Построим прямую по общему уравнению при условии, что – не равны нулю. Для этого достаточно найти две точки, что лежат на этой прямой. Такие точки иногда удобнее находить на координатных осях.

Обозначим – = , – = . Найдены точки и . Отложим на осях и и через них проведём прямую (см. рис. 5).

От общего можно перейти к уравнению, в которое будут входить числа и :

И тогда получается:

Либо, согласно обозначению, получим уравнение,

Которое называется уравнением прямой в отрезках. Числа и с точностью к знаку равняются отрезкам, которые отсекаются прямой на координатных осях.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Чтобы узнать, что такое уравнение прямой с угловым коэффициентом, рассмотрим уравнение (1):

уравнение прямой, которая проходит через точку в заданном направлении. Геометрическое содержание коэффициента понятно из рис. 6.

В = = , где – наименьший угол, на который нужно повернуть положительное направление оси вокруг общей точки до совмещения её с прямой . Очевидно, что если угол – острый, тогда ; если же – тупой угол, тогда .

Раскроем скобки в (5) и упростим его:

где . Соотношение (6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом. При , – отрезок, который отсекает прямую на оси (см. рис. 6).

Для перехода от общего уравнения прямой к уравнению с угловым коэффициентом необходимо сначала решить относительно .

где обозначено = –, = –. Если же , тогда из исследования общего уравнения уже известно, что такая прямая перпендикулярна оси .

Каноническое уравнение прямой

Рассмотрим каноническое уравнение прямой при помощи примера.

Пусть в системе координат задана точка и ненулевой вектор (рис. 7).

Необходимо составить уравнение прямой, что проходит через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором. Произвольная точка принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда . Так как вектор – задан, а вектор , тогда согласно условию параллельности, координаты этих векторов пропорциональны, то есть:

Соотношение (7) называется уравнением прямой, которая проходит через заданную точку в заданном направлении или каноническом уравнением прямой.

Обратим внимание, что к уравнению вида (7) можно перейти, например, от уравнения пучка прямых (4)

или от уравнения прямой через точку и нормальный вектор (1):

Выше предполагалось, что направляющий вектор – ненулевой, но может так случиться, что одна из его координат, например, . Тогда выражение (7) формально запишется:

который, вообще не имеет смысла. Однако, принимают и получают уравнение прямой перпендикулярной оси . Действительно, из уравнения видно, что прямая определена точкой и направляющим вектором , перпендикулярным оси . Если в этом уравнении освободиться от знаменателя, тогда получим:

. , либо – уравнение прямой, перпендикулярной оси . Аналогично было бы получено для вектора .

Параметрическое уравнение прямой

Чтобы понять, что такое параметрическое уравнение прямой, необходимо вернуться к уравнению (7) и приравнять каждую дробь (7) до параметра . Так как хотя бы один из знаменателей в (7) не равен нулю, а соответствующий числитель может приобретать произвольные значения, тогда область смены параметра – вся числовая ось.

Примеры задач на прямую линию

Конечно же, сложно что-либо решить исключительно по определениям, ведь нужно решить самостоятельно хотя бы несколько примеров или задач, которые помогут закрепить пройденный материал. Поэтому, давайте разберём основные задачи на прямую линию, так как похожие задачи часто попадаются на экзаменах и зачётах.

Каноническое и параметрическое уравнение

На прямой линии заданной уравнением , найти точку , которые находятся от точки этой прямой на расстоянии 10 единиц.

Решение:

Пусть искомая точка прямой, тогда для расстояния запишем . При условии . Так как точка принадлежит прямой , у которой есть нормальный вектор , тогда уравнение прямой можно записать: = = и далее получается:

Тогда расстояние . При условии , или . Из параметрического уравнения:

Задача

Точка движется равномерно со скоростью по направлению вектора от начальной точки . Найти координаты точки через от начала движения.

Решение

Сначала нужно найти единичный вектор . Его координаты – это направляющие косинусы:

Тогда вектор скорости:

Каноническое уравнение прямой теперь запишется:

= = , = – параметрическое уравнение. После этого нужно воспользоваться параметрическим уравнением прямой при .

Ответ

Угол между двумя прямыми

В равнобедренном прямоугольном треугольнике известна вершина прямого угла и уравнение гипотенузы . Составить уравнение катетов.

Решение:

Уравнение прямой, которая проходит через точку находим по формуле пучка прямых , где угловой коэффициент для прямой и = для прямой .

При условии , , поэтому и находим по формуле :

Учитывая рисунок, где видно, что между прямыми и – два угла: один острый , а второй – тупой . Согласно формуле (9) – это тот угол между прямыми и , на который нужно повернуть прямую против часовой стрелки относительно их точки пересечения до совмещения её с прямой .

Итак, формулу вспомнили, с углами разобрались и теперь можно вернуться к нашему примеру. Значит, учитывая формулу (9) находим сначала и уравнения катета .

Так как поворот прямой на угол против часовой стрелки относительно точки приводит к совмещению с прямой , тогда в формуле (9) , а . Из уравнения :

По формуле пучка уравнения прямой запишется:

Аналогично находим , а ,

Уравнение прямой в отрезках на осях позволяет строить прямую в координатной плоскости без каких-либо дополнительных вычислений.

при условии a≠0, b≠0, c≠0 (то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через начало отсчёта).

Перепишем уравнение в виде

и разделим обе части на -с:

$\frac<x> >>> + \frac>>> = 1.$

$\frac > = m,\frac> = n,$

$\frac<x> + \frac = 1.$

Это — уравнение прямой в отрезках на осях, так как числа m и n соответствуют длинам отрезков (с соответствующими знаками), которые прямая отсекает на осях координат (считая от начала отсчёта).

В самом деле, в точке пересечения с осью Ox y=0:

$\frac + \frac = 1, \Rightarrow \frac = 1, \Rightarrow x = m.$

В точке пересечения с осью Oy x=0:

$\frac<0> + \frac = 1, \Rightarrow \frac = 1, \Rightarrow y = n.$

$1)\frac<x> > + \frac = 1;$

$2)\frac<x> + \frac> = 1.$

$\frac<x> > + \frac = 1$

отсекает на оси Ox отрезок -2, на оси Oy — отрезок 4.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-2; 0) и (0;4) и проводим через них прямую.

Прямая

$\frac<x> + \frac> = 1$

Его называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 < By + C = 0>- параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 < Ax + C = 0>– параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох

Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n(3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через две точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом .

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то получим уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) с направляющим вектором (1, -1).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.

Пример 4. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде уравнение прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4

Читайте также: