Как сделать уравнение касательной к графику функции

Обновлено: 04.07.2024

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Значение нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :

На следующем этапе находим производную:

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Подставляем значения , и в формулу :

Таким образом, уравнение касательной:

Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения , и в формулу :

Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Полное решение и образец оформления в конце урока.

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.

Производная функции, имеющей вид f(x), в некой точк $x_0$ является пределом отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$ , если $\Delta x\rightarrow 0$ , и данный предел существует.

Вывод формулы имеет следующий вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Графически производную можно изобразить в виде кривой таким образом:

Разберем типичный пример в доказательство определению. Попробуем найти производную записанным ранее методом $(x^2+1)$ :

Согласно историческим фактам, одновременно с написанием работы Ньютона по изучению процессов в физике и формулировке понятия производной Лейбницем было введено определение производной с помощью геометрических закономерностей. Узнать, в чем состоит геометрический смысл производной, можно с помощью исследования графика функции y=f(x) на плоскости:

В качестве обозначения точки $х0$ , соответствующей значению заданной функции, используем Р. Затем построим некую секущую, которая будет пересекать точки Р и Р1. Предположим, что полученный угол, образованный положительным направлением оси абсцисс Х и построенной секущей, равен $\beta$ .

Результатом наших действий является геометрическая фигура под названием прямоугольный треугольник, катеты которого соответствуют переменным $\triangle x$ и $\triangle y$ . Введем обозначения:

$\triangle x$ обозначает приращение аргумента функции;
$\triangle y $ является приращением функции непосредственно.

Приращение функции относится к приращению аргумента, как тангенс угла, образованный секущей и положительным направлением оси абсцисс:

Когда значение $\triangle x$ стремится к нулю, точка Р1 на изображенном графике смещается в сторону точки Р. Положение секущей в таком случае меняется по отношению к графику.

Секущая занимает предельное положение в виде прямой, когда приращение стремится к нулю. Точки Р и Р1 на данной прямой будут совмещены. Рассматриваемая прямая является касательной к графику в точке Р.

Запишем следующее соотношение:

$tg\beta \rightarrow tg\alpha, если \triangle x\rightarrow 0$

Геометрический смысл производной: производная функции в точке обладает значением, численно равным тангенсу угла наклона касательной к функции в рассматриваемой точке.

Известным фактом является то, что какая-либо прямая обладает уравнением, которое можно записать в общем виде:

В уравнении касательной к функции в некой точке Р коэффициент k определяется, как значение производной в точке х0:

В процессе решения практических заданий нередко можно встретить примеры, где требуется использовать геометрический смысл производной. Одной из подобных задач является изучение графически заданной функции в сравнении с графиком производной искомой функции.

Уравнение касательной к графику функций

Представим, что имеется некая функция $y=f(x)$ . Отметим на ее графике точку $x_o$ . Если провести касательную, пересекающую данную точку, то ее можно задать с помощью следующего уравнения:

В результате угловой коэффициент касательной будет определен по формуле:

В качестве наглядного примера изобразим график по исходным данным:

Определение таких значений для k и b, при которых прямая $y_k=kx+b$ играет роль касательной к функции $y=f(x)$ , заключается в решении одной из следующих систем:

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

Составить уравнение, с помощью которого задана касательная к графику функции, несложно. Нужно лишь следовать следующему алгоритму и выполнять действия в таком порядке:

Рассчитать значение $ f\left( _> \right).$
Записать формулу производной функции $’\left( x \right).$
Определить значение $’\left( _> \right).$
Выполнить подстановку $_>,\text< >f\left( _> \right)$ и $’\left( _> \right) $ в формулу уравнения касательной $y=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right).$

Рассмотрим конкретный пример. Попробуем составить уравнение касательной к функции $f\left( x \right)=^>-2x+3.$ Выполним действия последовательно, руководствуясь записанным ранее алгоритмом:

Примеры решения задач

Функция $ y=\mathsf\left( x \right)$ изображена графически. На этом же правильном графике построена касательная в точке, абсцисса которой равна $_.$

Требуется определить значения производной функции $\mathsf\left( x \right)$ , которые она принимает в точке $_>.$

Согласно определению значения производной в точке касания, запишем:

$f’\left( x \right)=k=\ \varphi$

Заметим, что для вычисления значения производной требуется определить тангенс угла наклона касательной. Воспользуемся координатами пары точек, которые принадлежат касательной на графике, чтобы построить прямоугольный треугольник. Угол наклона касательной к оси абсцисс равен $\angle BAC$ . Определим тангенс рассматриваемого угла:

В результате значение производной функции $\mathsf\left( x \right)$ в точке $_>$ соответствует 1,2.

Дана некая функция $y=\fracx^3-4x+1$ . Требуется записать уравнение касательной к графику этой функции в точке $x_0=3.$

Изображено два графика функций:

Нужно вычислить все значения, которые принимает параметр а при пересечении рассматриваемых графиков только в одной точке.

Функция $f(x)$ на графике будет иметь вид параболы, пересекающей ось абсцисс в следующих точках:

Данная парабола имеет одну точку пересечения с осью ординат:

Если зафиксировать а, то при каждом таком значении $ay+5x+6a=0$ будет иметь вид прямой:

если a=0, то прямая x=0 с единственной точкой пересечения с f(x), соответствующей (0;-3);
если $a\ne 0,$ то получается пучок прямых $y=-\dfracx-6$ , пересекающих точку (0;-6).

В результате графики обладают единственной общей точкой при таких значениях a, при которых прямая y будет касаться параболы. Касание в точке $x_o$ возможно при следующих условиях:

Имеется некое уравнение:

Требуется определить все вероятные значения, которыми обладает параметр а, определяющие для данного уравнения единственное решение.

Проанализируем функцию и пучок, состоящий из прямых:

Точка максимума равна:

Точка минимума равна:

Запишем следующие соотношения:

Каждая из прямых $y=ax+8a$ пересекает точку (-8;0). Выявим такие случаи, при которых прямая у будет касаться графика функции f(x) в точке касания $x_o.$ Подберем под заданные условия значения параметра:

$\begin f'(x_o)=a\\ f(x_o)=y(x_o) \end \Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ 2x_o^3+30x_o^2+96x_o+88=0 \end\Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ (x_o+2)^2(x_o+11)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin &\begin x_o=-2\\ a=-4 \end\\ &\begin x_o=-11\\ a=77 \end \end \end \right.$

В результате уравнение $ f(x)=y$ обладает только одним значением, когда параметр а имеет значения, при которых прямые y проходят в заштрихованных участках. Отметим, что граничный случай a=77 является посторонним.

График в уменьшенном масштабе:

Ответ: $a\in (-\infty; 77).$

Нужно найти такие значения параметра а, при которых данная система обладает только одним решением.

С помощью первого из уравнений системы можно построить отрезок BC, где B(a;0), C(0;-a), при условии, что a≠0. Представим, что $A(x;y)$ . В таком случае:

Запишем первое из уравнений, как:

Заметим, с помощью этого уравнения можно задать множество точек А, принадлежащих отрезку ВС. Если а=0, то рассматриваемое уравнение задает только одну точку O(0;0).

С помощью второго неравенства можно изобразить окружность, центр которой находится в точке O(0;0), а ее радиус равен $R=3\sqrt2.$

Система будет иметь лишь одно решение при параметре а≠0 — в том случае, когда отрезок касается окружности:

если a>0, отрезок BC располагается в 4 четверти;
если a

Когда a>0, получим:

$OK=3\sqrt2$ , является радиусом, проведенным в точку касания.

$\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad a\cdot a=3\sqrt2\cdot a\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=6.$

$\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad -a\cdot (-a)=3\sqrt2\cdot (-a\sqrt2) \quad\Rightarrow\quad a=-6.$

Касательная — прямая, проходящая через кривую и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис. 1).

Геометрический смысл производной: если к графику функции в точке с абсциссой " width="18" height="11" />
проведена касательная, то угловой коэффициент касательной (равный тангенсу угла между этой касательной и положительным направлением оси абсцисс) равен производной функции в точке " width="18" height="11" />
:

$\[k_<kas> =\; \alpha =y$

$\left(x_ Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке ;\; y_ =y\left(x_ \right)\right)$
, имеет вид:

$\[y-y_<0> =f$

Примеры решения задач

Задание	Написать уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение	Найдем значение функции в точке :

$y_ =f\left(x_ \right)=f\left(0\right)=0^ -2\cdot 0^ +3\cdot 0+1=1$

Найдем значение производной в точке в заданной точке:

$\[y$

Итак, искомое уравнение

$y-1=3\cdot \left(x-0\right)\Rightarrow y-1=3x\Rightarrow 3x-y+1=0$

Задание	Найти абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y=\frac<x^> -\frac > +\frac >$ параллельна оси .
Решение	Поскольку, согласно условию, касательная параллельна оси абсцисс, то угол между этой касательной и осью равен $\alpha =0^<\circ >$ . Следовательно, согласно геометрическому смыслу производной, можем сделать вывод, что

$\[<\rm tg> \; 0^ =y$

, в которых производная заданной функции равна нулю.

На этом уроке рассматривается касательная к графику функции в точке. Выводится общий вид уравнения касательной к графику функции в точке.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Уравнение касательной к графику функции"

· рассмотреть касательную к графику функции в точке;

· вывести уравнение касательной к графику функции в общем виде.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Итак, мы с вами научились находить производные различных функций. На предыдущих уроках мы говорили, что умение находить производные – помогает в решении разных задач. На сегодняшнем уроке мы разберём, как с помощью производных можно составить уравнение касательной к графику функции и примеры применения производной к приближенным вычислениям.

Давайте сформулируем задачу.

Напомним, что если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, то функция дифференцируема в этой точке и f'(a) существует.

Касательная – это прямая, значит, общее уравнение касательной можно записать в виде y = kx + m. Наша задача сводится к нахождению коэффициентов k и m.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим ещё один пример.

Решая примеры, мы выполняли практически одни и те же действия. Давайте теперь попробуем сформулировать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x).

Уравнение касательной имеет ещё одно применение: с его помощью можно выполнять приближенные вычисления.

Рассмотрим общий приём.

Рассмотрим это на примере.

Рассмотрим ещё один пример.

Итак, давайте ещё раз выделим суть теории приближенных вычислений. Сложная кривая в окрестности точки x₀ заменяется прямой (касательной к графику функции) и если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.

Читайте также: