Как сделать упрощение выражения

Обновлено: 05.07.2024

Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.

Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.

При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.

Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.

В чем смысл таких действий

Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.

Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.

Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.

Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?

Приведем наглядный пример

Допустим, сказано упростить выражение (a+b) 2 . В этом случае абсолютно каждый нормальный школьник раскроет скобки и будет доволен самим собой. Без сарказма это действительно так и это нормально.

Но вот другая постановка задачи: упростите выражение (a+b) 2 , затем подставьте следующие числовые значения a=⅔, b=⅓ и запишите получившееся число.

Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=⅔ и b=⅓, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=⅔+⅓=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!

Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.

Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.

Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.

Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.

Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.

6 · a · 2 = 6 · 2 · a = 12a
2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
14y − 12y = (14 − 12) · y = 2y

Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.

Раскроем скобки в выражениях.

2(t + 8) = 2t + 16
(3x − 5)4 = 4 · 3x − 4 · 5 = 12x − 20

Запомните!

Если перед буквой не записано число, то подразумевается, что перед буквой стоит числовой множитель 1 .

Вынесение общего множителя за скобки

Поменяем местами правую и левую часть равенства:

Для того, чтоб упростить выражение необходимо сначала раскрыть скобки. Для этого необходимо каждое значение за скобками, умножить на каждое значение в скобках. Также необходимо учитывать знаки при значениях. Если у чисел, которые между собой умножаются знаки одинаковые, например, "-" и "-" или "+" и "+", тогда в результате умножения получаем положительное значение. Если же у чисел знаки разные, например, "-" и "+", тогда в результате умножения получаем отрицательное значение. После этого нужно привести подобные значения.

Для начала стоит разобраться, что означает действие упрощения выражения. Упрощение - действие сокращения определенной системы или выражения путем определенных действий, чтобы свести выражение к минимуму. То есть, если у нас есть длинное выражение, состоящее из 5 и более переменных, то действие упрощения основывается на то, чтобы сократить до 2, или 3 переменных. Но стоит заметить, что бывают различные виды примеров, которые можно упростить.

Упрощение сложного выражения

Для начала, придумаем какое-то выражение, которое потом попытаемся сократить. (2x + 5)^2 + (x - 4)^2.

Для начала составим алгоритм действий, которые будем придерживаться, чтобы упростить выражение:

сделаем всевозможные преобразования, избавимся от корней, раскроем скобки, возведем в квадрат и т.д;
укажем подобные слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть;
выполним действия между подобными слагаемыми;

Раскроем скобки: (2x + 5)^2 + (x - 4)^2 = (4x^2 + 20x + 25) + (x^2 - 8x + 16).
Видим, что подобными слагаемыми могут быть: 4x^2 и x^2; 20x и -8x; 25 и 16.
Теперь выполним необходимые действия: 4x^2 + 20x + 25 + x^2 - 8x + 16 = 3x^2 +12x + 41. Можно найти дискриминант, но мы упростили выражение по максимуму.

Упрощение дробного выражения

Чтобы упростить дробно иррациональное выражение, прибегнем к другому алгоритму.

1/√x. Чтобы упростить такого вида выражение, необходимо домножить и числитель и знаменатель на √x:

1/√x = 1*√x / √x*√x = √x / x.

Выражение тоже упрощенно и находится в стандартном виде.

Также, есть много видов сложных выражений, но эти такого рода выражения более часто встречаются в математике.

simplify(expr) — возвращает упрощенное выражение ехрr или повторяет его, если упрощение в рамках правил Maple 7 невозможно;
simplify(expr, nl, n2, . ) —возвращает упрощенное выражение ехрr с учетом параметров с именами nl, n2, . (в том числе заданных списком или множеством);
simplify(ехрг,assume=prop) — возвращает упрощенное выражение ехpr с учетом всех условий.

Функция simplify — многоцелевая. Она обеспечивает упрощение математических выражений, выполняя следующие типовые действия (для простоты обозначим их как ->):

комбинируя цифровые подвыражения (3*х*5->15*х, 10*х/5->2*х);
приводя подобные множители в произведениях (х^3*а*х->а*х^4);
приводя подобные члены в суммах (5*х+2+3*х->8*х+2);
используя тождества, содержащие ноль (а+0->а, х-0->х);
используя тождества, содержащие единицу (1*х->х);
распределяя целочисленные показатели степени в произведениях ((3*x*y^3)^2 ->9*х^2*у^6);
сокращая ехрr на наибольший общий полиномиальный или иной множитель;
понижая степень полиномов там, где это возможно;
используя преобразования, способные упростить выражения.

Несмотря на свою гибкость, функция simplify не всегда способна выполнить возможные упрощения. В этом случае ей надо подсказать, в какой области ищутся упрощения и где можно найти соответствующие упрощающие преобразования.

С этой целью в функцию simplify можно включать дополнительные параметры.

В качестве параметров могут задаваться имена специальных математических функций и указания на область действия упрощений: Bessell, BesselJ, BesselK, BesselY, Ei, GAMMA, RootOf, LambertW, dilog, exp, In, sqrt, polylog, pg, pochhammer, trig (для всех тригонометрических функций), hypergeom, radical, power и atsign (для операторов). Полезен также параметр symbolic, явно указывающий на проведение символьных преобразований.

Возможно также применение функции simplify в форме simplify[ ], где — одно из следующих указаний: atsign, GAMMA, hypergeom, power, radical, RootOf, , sqrt, trig. Ниже даны примеры применения функции Simplifу:

Действие функции simplify существенно зависит от областей определения переменных. В следующем примере упрощение выражения не произошло, поскольку результат этой операции неоднозначен:

Однако, определив переменные как реальные или положительные, можно легко добиться желаемого упрощения:

Читателю настоятельно рекомендуется просмотреть все разделы справочной системы, относящиеся к примерам применения функции simplify (в том числе с другими функциями символьных преобразований), поскольку их число очень велико и эти примеры наглядно демонстрируют необходимость правильного применения разнообразных параметров для придания упрощениям нужного характера. Если функция simplify не способна выполнить упрощение выражения ехрr, то она просто его повторяет. Это сигнал к применению опций.

Читайте также: