Как сделать умножение одночленов

Обновлено: 05.07.2024

Загрузить презентацию (465 кБ)

Класс: 7.

Формы работы: фронтальная, групповая и индивидуальная.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Учебник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Цель урока: создание условий для освоения обучающимися материала по теме "Умножение одночленов".

Задачи урока:

обеспечить знание учащимися понятий : одночлен, коэффициент и степень одночлена;
отработать умения систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем; Закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным показателем;
повторить правила, вытекающие из основных свойств степеней;
формировать умение умножать одночлен на одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями; систематизация знаний и умений учащихся по данной теме.
закрепить навык применения данных правил при решении конкретных задач;

обеспечить достижение указанной цели урока и создать на уроке условия для развития мыслительных способностей;
способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного;
Способствовать развитию умения применять свойства степени к умножению одночленов;
развивать интерес к предмету, развития математического кругозора;
развивать слуховую память, сообразительность, внимание;
развивать умение самостоятельно выбирать способ решения.

воспитывать критическое отношение к своим знаниям, учить сравнивать, делать выводы;
приучать учащихся пояснять свои решения, культуре записи;
воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы.

Оборудование и средства обучения: мультимедийная доска, презентация Power Point, раздаточный материал: карточки для самостоятельной работы, карточки для самопроверки, жетоны.

Пояснительная записка:

Данный урок проводится в общеобразовательном классе со средним уровнем математической подготовки. Основная задача урока - отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем реализуется в процессе выполнения различных упражнений; отработать алгоритм умножения одночленов.

Развивающий характер проявляется в подборе упражнений. Использование мультимедийного продукта позволяет сэкономить время, сделать материал наиболее наглядным, показать образцы оформления решений. На уроке используются различные виды работ, что снимает усталость детей.

Структура урока:

Технологическая карта урока – Приложение.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать Вас сегодня на нашем уроке. Садитесь. Будьте внимательны в течение урока.

Откройте тетради и запишите число, классная работа

Эпиграф урока: Один великий человек сказал:

II. Повторение основных понятий темы (свойства степени с натуральным показателем)

А) Расшифруйте имя человека, который сказал эту фразу. Для этого поставьте результаты вычислений в порядке возрастания:

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ЛОМОНОСОВ (1711–1765)

Историк, механик, минеролог, художник и cтихотворец, он всё испытал и всё прошёл.
А.С. Пушкин

б) Найди ошибку, которую допустил ученик при выполнении заданий:

5∙5∙5∙5= 4 5
(-3) 2 =-3∙ 3= -9
7 1 = 1
2 3 2 7 = 2 21
5 3 5 7 =25 10
(х 3 ) 2 =х 9
2 30 : 2 10 = 2 3
(-х) 3 = х 3

в) Соедините линиями выражения, соответствующие друг другу:

1 вариант

г) Давайте повторим некоторые определения. Вам необходимо закончить предложение:

Выражения, содержащие произведение чисел, переменных и их степеней называют… (одночленами);
Произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных называют … (одночленом стандартного вида);
Числовой множитель в одночлене стандартного вида называется … (коэффициентом);
Сумму показателей степеней всех входящих в одночлен переменных называют … (степенью одночлена).

д) Назовите коэффициент одночлена и определите его степень:

Задание индивидуально с последующей взаимопроверкой

Одночлен	Стандартный вид	Коэффициент	Степень
3х²	+	3	2
- 0,7 х у²	+	-0,7	3
2а b²	+	2	3
-0,5 m² n³k	+	-0,5	6
-3 m³n · 4m²	-

Вопрос: Все ли выражения были приведены к стандартному виду? нет

Вопрос: Как называются выражения входящие в состав не приведенного выражения – одночлены

Вопрос: Что надо сделать, чтобы привести это выражение состоящее из двух одночленов к стандартному виду? Перемножить их

Вопрос: Что мы будем делать сегодня на уроке? Умножать одночлены

III. Введение новой темы

Сегодня нам предстоит познакомиться с правилом умножения одночленов.

Мы с вами выведем алгоритм умножения одночленов ( ребята а что обозначает алгоритм в информатике …)
закрепим полученные нами знания.

IV. Объяснение нового материала

При умножении одночленов получают одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Вопросы к классу:

Вопрос. Как можно решить этот пример? Какие правила вы при этом использовали?;

Ответ. Сначала мы умножили числовые множители, а затем степени с одинаковыми основаниями;

Вопрос. Как, по-вашему, что при этом получается?;

Ответ: При этом получается одночлен; получили стандартный вид одночлена;

Ответ. Переместительный закон умножения: ab = ba; сочетательный закон умножения: (ab)∙c=a∙(bc).

Давайте теперь вместе сформулируем правило умножения одночленов : Чтобы найти произведение двух одночленов и более нужно:

Найти произведение числовых множителей;
Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке.
Найти и записать степени переменных.

Правило выдается каждому ребенку

Первичное закрепление материала:

V. Физкультминутка (2-3 мин.)

VI. Закрепление пройденного материала

Предлагает выполнить упр №467 (а, б, в, д)

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин.)

(работа индивидуальная, дифференцированная с последующей проверкой)

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
-5yy 3 · 2y	-10y 5	0,5 x 2 y·(xy)	0,5x 3 y 2	-1,4x 9 y 9
2x y · 4xy 2 ;	8x 2 y 3	-7 a 2 b 3	-4x 3 y 5
10a 2 b 2 ·(-1,2a 3 b 3 )	-12a 5 b 5	1000 x 8 y 2	72a 5 b 5
-6х 3 у 2	-2,5x 3 y 5	(2x) 2 · (-7x 7 y 3 )	-28x 9 y 3

VIII. Включение в систему знаний и повторение (3 мин.)

Впишите пропущенный множитель:

а) 1,2 а 3 b 2 · ( )= 9,6 a 4 b 9

б) ( ) · ( -3 х 9 у 7 ) = -1,5 х 10 у 9

IX . Домашнее задание

повторить правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень;

X. Итоги урока

Учитель: А теперь ребята продолжите предложение:

Сегодня на уроке я научился…
Сегодня на уроке мне понравилось…
Сегодня на уроке я повторил…
Сегодня на уроке я закрепил…
Какие затруднения испытывали…
Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

XI. Рефлексия

Одночлен – это одна из базовых математических конструкций линейной алгебры. В прошлых видеоуроках мы уже сталкивались с такими выражениями, как -7, ах, (3ас) 2 – они все являются одночленами, или же, мономами. Одночлен – это достаточно универсальное выражение, имеющее некоторое значение, и представленное тремя основными показателями: числовым коэффициентом, буквенной переменной, значением степени выражения. Наиболее базовым является числовой показатель – он есть всегда, в любом мономе. Без числа весь смысл одночлена теряется, и его значение перестает быть действительным. Если же в примерах встречается выражения типа х, -(у)2, то следует понимать, что в данном случае мы имеем дело с невидимым числовым коэффициентом, равным единице. Любое свободное число, например 5, 13, так же являются одночленами.

Переменная является непостоянным элементом. Иногда она задается одной либо же несколькими перемноженными неизвестными (причем в одночлене знак умножения опускается), но может также вовсе отсутствовать.

Важным показателем любого одночлена является степень. Стоит отличать степень одночлена от степени элементов, которые входят в него! Степень одночлена, в общем смысле, представляет собой сумму степеней переменных, например, степень одночлена 7а 3 х 5 равна 3+5 = 8.

Одночлен, как и свободное значение, имеет такую характеристику, как положительность/отрицательность. Знак этого параметра, как правило, задается перед всем выражением и относится сугубо к числовому коэффициенту (множителю). В противном случае, если какая-либо переменная задана отрицательной, то её помещают вместе с минусом в отдельное скобки, например:

Отрицательный одночлен с числовым коэффициентом, равным -1: -а 2 ху

Положительный одночлен с отрицательной переменной х: а 2 (-х)у

Как правило, одночлены принято сокращать и записывать в удобном, стандартизированном виде. Часто такая процедура и представляет собой задания в этой теме. Например, упростим выражение вида:

Воспользуемся свойствами степеней, рассмотренными в предыдущем видеоуроке, и общими правилами умножения:

5(а) 2 х 2 а(х) 3 = 5*2*(а) 2 а*(х) 3 х = 10(а) 3 (х) 4

Перегруппировав множители для удобства и совершив произведения подобных выражений, мы получили итоговый одночлен. Подобную форму выражения принято называть стандартной. В этом случае числовой коэффициент, образованный перемножением всех свободных чисел в одночлене, выносится наперед. Далее идут переменные, предварительно сгруппированные по основанию и перемноженные для сокращения. Степени записываются в обычном порядке, в верхнем правом индексе.

Решим упражнение. Найдем произведение одночленов:

12а 6 х 4 * -2а 3 х

Воспользуемся правилами перегруппировки, рассчитаем:

12а 6 х 4 * -2а 3 х = 12*(-2)*а (6+3) *х (4 + 1) = -24а 9 х 5

В результате умножения одночленов получается одночлен.

Например: $ (\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 )$

Шаг 1. Коэффициент многочлена $ \frac \cdot 3 = 2 $

Шаг 2. Степени переменных: $ a^ = a^3, b^ = b^6 $

Получаем: $(\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 ) = \frac \cdot 3\cdot a^ \cdot b^ = 2a^3 b^6$

Алгоритм возведения одночлена в степень

Возвести в степень каждый множитель одночлена и перемножить полученные результаты.

В результате возведения одночлена в степень получается одночлен.

Например: $ (\frac a^2 b^5)^3 $

Степень каждого сомножителя: $ \left(-\frac\right)^3 = \frac = \frac, (a^2 )^3 = a^6,(b^5 )^3 = b^15 $

Получаем: $ (\frac a^2 b^5)^3 = \left(-\frac\right)^3 \cdot (a^2 )^3 \cdot (b^5 )^3 = \frac a^6 b^ $

Примеры

Пример 1. Выполните умножение одночленов:

а) $ (-3a^2 xy^5 )\cdot( \frac ax^4 y^2 ) = -3 \cdot \frac \cdot a^ \cdot x^ \cdot y^ = -\frac a^3 x^5 y^7 $

б) $ (7az)\cdot(- \frac a^2 xy) \cdot (16xz^4 ) = -7\cdot \frac \cdot 16 \cdot a^\cdot x^\cdot z^ = -28a^3 x^2 z^5 $

Пример 2. Найдите куб одночленов:

а) $ (3a^5 by^2 )^3 = 3^3\cdot(a^5 )^3\cdot b^3\cdot(y^2 )^3 = 27a^ b^3 y^6 $

б) $ \left(-\fracxy^2 z^7\right)^3 = \left(-\frac\right)^3\cdot x^3\cdot(y^2 )^3\cdot(z^7 )^3 = -\frac x^3 y^6 z^ $

Пример 3. Упростите выражение:

а) $ 3x^5 \cdot \left(\fracx^2 y^3\right)^2 \cdot (-64y)=- \frac \cdot x^ \cdot y^ = -\frac x^9 y^7 = -8x^9 y^7 $

б) $ (-2ab)^3\cdot \underbrace_> a^2 c = -2^3\cdot \frac \cdot a^ b^3 c = -a^5 b^3 c $

в) $ \left(1\fracbz^7\right)^5 \cdot \left(-\fracaz\right)^4 = \left(\frac\right)^5 \cdot \left(-\frac\right)^4 \cdot a^4 b^5 z^ = \frac a^4 b^5 z^ $

г) $ (-0,5m^2 n^5 )^2 \cdot 12mn^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot 12 \cdot m^ \cdot n^ = 3m^5 n^ $

Пример 4*. При каком значении n верно равенство:

а) $ \left(\fracxy\right)^n \cdot 72x = 2x^3 y^2 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ \left(\fracxy\right)^2 \cdot 72x = \left(\frac\right)^2 \cdot 72 \cdot x^ \cdot y^2 = 2x^3 y^2 $$

б) $ (-1 \frac a^2 b)^n \cdot 0,75b^3 = 1 \frac a^4 b^5 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ \left(-1\fraca^2b\right)^2 \cdot 0,75b^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot \left(\frac\right) \cdot a^4 \cdot b^ = \fraca^4b^5 = 1\fraca^4b^5 $$

Два подобных одночлена можно сложить, и их сумма — это одночлен подобный слагаемым, с числовым коэффициент равным сумме числовых коэффициентов слагаемых. Так сложить можно только подобные одночлены. Сумма неподобных одночленов — это не одночлен, а многочлен.
3 × a 5 × b 4 + 7,3 × a 5 × b 4 =
= 10,3 × a 5 × b 4

Как умножить одночлен на одночлен

Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных сложить. Перемножить можно любые два одночлена — и подобные и неподобные.

7 × a 3 × b 4 × 2 × a × b 5 =
14 × a 4 × b 9

Как разделить одночлен на одночлен

Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных вычесть.

(21 × a 4 × b 5 ) : (3 × a 2 ) =
7 × a 2 × b 5

Как умножить одночлен на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена.

3 × a × b × [ 7 × a 3 × b 4 + 2 × a × b 5 × y ] =
21 × a 4 × b 5 + 6 × a 2 × b 6 × y

Как разделить многочлен на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

[ 12 × a 3 × b 5 × x - 33 × a × b 3 × y ] : (3 × a × b) =
[ 4 × a 2 × b 4 × x - 11 × b 2 × y

Как умножить многочлен на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 - 7 × x 5 ] =
=[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 ] - [ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 7 × x 5 ] =
= 6 × a 4 × b 2 × x + 15 × a × b 4 × x 3 - 14 × a 3 × x 6 - 35 × b 2 × x 8

Деление многочлена на многочлен Пример 1

Сейчас я покажу, как делить многочлен на многочлен в столбик. Обращаю ваше внимание на то, что не всякие два многочлена делятся один на другой. В этом видео специально подобраны пары многочленов, которые делятся один на другой. Также обращаю внимание на то, что для удобства деления слагаемые в многочленах нужно располагать в порядке убывания степеней — здесь в примерах слагаемые будут уже расставлены в нужном порядке. Чтобы поделить многочлены, нужно циклично повторять четыре действия: подели, занеси, умножь, вычти.

Пример 1: (12 × a 5 + 13 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a) : (4 × a 2 + 3 × a)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (12 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается 3 × a 3 . Заносим 3 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на 3 × a 3 — получается 12 × a 5 + 9 × a 4 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся 4 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (4 × a 4 ) : (4 × a 2 )— получается a 2 . Заносим a 2 в ответ ( + a 2 ). Умножим весь делитель на a 2 — получается 4 × a 4 + 3 × a 3 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 12 × a 2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (12 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается 3. Заносим 3 в ответ ( + 3). Умножим весь делитель на 3 — получается 12 × a 2 + 9 × a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно 3 × a 3 + a 2 + 3.

Деление многочлена на многочлен Пример 2

(-28 × a 5 + 24 × a 4 — 35 × a 3 — 6 × a 2 — 45) : (4 × a 2 + 5)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (-28 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается -7 × a 3 . Заносим -7 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -7 × a 3 — получается -28 × a 5 — 35 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое под соответствующей степенью делимого.Вычтем произведение из делимого — остаётся 24 × a 4 — 6 × a 2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (24 × a 4 ) : (4 × a 2 ) — получается 6 × a 2 . Заносим 6 × a 2 в ответ ( + 6 × a 2 ). Умножим весь делитель на 6 × a 2 — получается 24 × a 2 + 30 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся -36 × a 2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-36 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается -9. Умножим весь делитель на -9 — получается -36 × a 2 — 45. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -7 × a 3 + 6 × a 2 — 9.

Деление многочлена на многочлен Пример 3

Пример 3: (54 × a 6 — 63 × a 5 + 42 × a 4 + 185 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72) : (-9 × a 3 + 8 × a — 8)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (54 × a 6 ) : (-9 × a 3 ) — получается -6 × a 3 . Заносим -6 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -6 × a 3 — получается 54 × a 6 — 48 × a 4 + 48 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся -63 × a 5 + 90 × a 4 + 137 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-63 × a 5 ) : (-9 × a 3 ) — получается 7 × a 2 . Заносим 7 × a 2 в ответ ( + 7 × a 2 ). Умножим весь делитель на 7 × a 2 — получается -63 × a 5 + 56 × a 3 — 56 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 90 × a 4 + 81 × a 3 — 80 × a 2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (90 × a 4 ) : (-9 × a 3 ) — получается (-10 × a). Заносим (-10 × a) в ответ ( — 10 × a). Умножим весь делитель на ( — 10 × a) — получается 90 × a 4 — 80 × a 2 + 80a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 81 × a 3 — 72 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (81 × a 3 ) : (-9 × a 3 ) — получается -9. Заносим -9 в ответ ( -9). Умножим весь делитель на (-9) — получается 81 × a 3 - 72 × a + 72. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -6 × a 3 + 7 × a 2 - 10 × a - 9.

Читайте также: