Как сделать умножение десятичных дробей

Обновлено: 03.07.2024

Умножение десятичных дробей напоминает умножение десятичной дроби на натуральное число и обычно не представляет сложностей.

Знакомство с умножением десятичных дробей

Муравей развивает скорость до $4.5$ м/мин. Сколько метров он пробежит за 5 минут?

Чтобы узнать это, умножим $45$ на $5$ (рисунок 1, а), а затем у получившегося результата отделим справа запятой один знак, так как в множителе $4.5$ после запятой один знак (рисунок 1, б).

Можно сказать, мы разделим результат на $10$. Но почему его понадобилось делить?

Потому, что $4.5$ меньше, чем $45$, в $10$ раз.
Получается, что для того, чтобы не запутаться при умножении, мы сначала умножили $4.5$ на $10$, а потом разделили полученный результат на $10$.

А что же будет, если мы захотим узнать, сколько муравей пробежит за $5.5$ минут?

Нам нужно также отбросить запятые и умножить $45$ на $55$. Получается, что каждый из множителей мы увеличим в $10$ раз (рисунок 2, а).

$$(4.5 \cdot 10) \cdot (5.5 \cdot 10) = 45 \cdot 55 = 2475$$

Хорошо. Теперь нам нужно понять, сколько чисел отделить запятой. Для этого посмотрим на множители и отделим запятой столько чисел, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе (рисунок 2, б).

Получается, мы умножили наши множители на $10$, потом ещё раз на $10$.

$$10 \cdot 10 = 100$$

Значит, нам нужно поделить полученное произведение на $100$.

Появление нулей

Очень удобно, изучая десятичные дроби, время от времени возвращаться к обыкновенным, чтобы лучше понять правила действий с дробями.

Давайте разберём такую задачу:

Торт весит $460$ грамм, или $0.46$ кг. Его разделили на $10$ частей, $8$ из них съели, а $2$ осталось. Сколько килограммов весит этот остаток?

Запишем пример в виде обыкновенных дробей:

Смотрите, что получается. В множителе $0.\textcolor$ у нас два знака после запятой, а в множителе $0.\textcolor$ – ещё один. Следовательно, в произведении должно быть три знака после запятой. А при умножении $46$ на $2$ получается $92$, двузначное число. Мы не можем пренебречь нулём и написать $0.92$. Ведь мы уже видели из примера с обыкновенными дробями, что у нас получается $92$ тысячных, а не $92$ сотых. А главное, тогда получится, что два маленьких кусочка от торта весят $920$ грамм, больше, чем целый торт. Нам важно сохранить разряд. Поэтому нужно поставить перед получившимся числом ноль.

Исчезновение нулей

Рассмотрим другой пример.

Умножаем $55$ на $24$, получается $1320$.

Отделяем справа четыре знака, у нас получается $0.1320$

Но если у нас в дробной части десятичной дроби последняя цифра (или несколько последних цифр) – ноль, то его можно отбросить.

$$0.55 \cdot 0.24 = 0.132$$

То есть во множителях после запятой четыре знака, а в ответе – три.

Совет тот же, что при умножении десятичной дроби на натуральное число: сначала пишите ответ полностью, и только когда отсчитаете справа нужное количество знаков, можно отбросить нули, если они не нужны.

Теперь, когда мы изучили все нюансы, можно сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Для умножения одной десятичной дроби на другую нужно сначала перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.
Если знаков не хватает, добавляются нули, и перед запятой также ставиться нуль.
Если на конце получившейся дроби последняя цифра справа — нуль, то он может быть отброшен.

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом десятичную дробь можно умножить на натуральное целое число или другую десятичную дробь. Также разберем примеры для закрепления теоретического материала.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Делитель – 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число 10, 100, 1000 и т.д., просто переносим запятую-разделитель вправо на столько нулей, сколько содержит это число.

Пример 1

Объяснение: Т.к. в числе 10 всего один ноль, то и запятую переносим на одну позицию вправо.

Пример 2

Объяснение: Т.к. в числе 100 два нуля, то запятую переносим на две позиции.

Пример 3

Объяснение: В числе 10 один ноль, следовательно, десятичный разделитель сдвигаем на одну позицию.

Пример 4

0,0043 ⋅ 1000 = 4,3

Объяснение: В числе 1000 три нуля, значит разделитель сдвигаем на три позиции.

Примечание: если количество нулей и, соответственно, позиций переноса разделителя больше, чем цифр после запятой, значит дописываем оставшиеся нули в конце полученного результата. Это работает и в обратную сторону (см. Пример 7 ниже).

Пример 5

3,67 ⋅ 1000 = 3670

Объяснение: В числе 1000 три нуля, следовательно разделитель переносим на две позиции и дописываем один ноль в конце найденного числа.

Делитель – любое число

Чтобы умножить десятичную дробь на любое натуральное целое число, отбрасываем запятую и выполняем умножение, как будто имеем дело не с дробью, а с обычным числом. Затем отсчитываем с конца полученного результата столько цифр, сколько было в дробной части исходной десятичной дроби, и ставим в этом месте запятую.

Пример 6: найдем произведение чисел 5,68 и 8.

Убираем запятую в числе 5,68 и умножаем его на 8:
568 ⋅ 8 = 4544

Отсчитываем две цифры с конца и добавляем запятую-разделитель, т.е.:

Примечание: Если десятичная дробь меньше 1 (т.е. целая часть равна 0), то отбросив запятую, мы не учитываем при умножении ноль/нули, которые идут в начале.

Пример 7: умножим число 0,089 на 7.

Убираем запятую в числе 0,089 и, отбросив нули, умножаем его на 7:
89 ⋅ 7 = 623

Здесь обратная ситуация рассмотренной ранее в Примере 5. С конца отсчитываем 3 цифры, ставим запятую и добавляем ноль слева от нее, т.е.:

Произведение десятичных дробей

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, выполняем практически те же самые действия, что и описанные в разделе выше – убираем запятые, на этот раз в обеих дробях, и умножаем их как обычные числа. Затем отсчитываем с конца найденного результата столько цифр, сколько их было вместе в дробных частях обоих множителей, и пишем запятую.

Пример 8: найдем, сколько будет 5,615 ⋅ 2,14.

5615 ⋅ 214 = 1201610

Отсчитать с конца нужно 5 цифр, т.к. в первом множителе после запятой было три цифры, во втором – две (5 = 3 + 2). Т.е.:

Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

Правило умножения десятичных дробей

1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

Найти произведение десятичных дробей:

Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.


1) 2,85 = 14,0 = 14.

× 2 8
5
1 4 0
1 4 0


2) 0,463 = 1,38.

× 0 4 6
3
1 3 8
1 3 8


3) 110,005 = 0,055.

× 1 1
0 0 0 5
5 5
0 0 5 5

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) записать дроби в столбик, как два натуральных числа не обращая внимание на запятые;

2) умножить их как натуральные числа, не обращая внимание на запятые;

3) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры:


1) 2,351,2 = 2,820 = 2,82.

× 2 3 5
1 2
4 7 0
2 3 5
2 8 2 0


2) 67,34,6 = 309,58

× 6 7 3
4 6
4 0 3 8
2 6 9 2
3 0 9 5 8


3) 0,00840,31 = 0,002604.

× 0 0 0 8 4
0 3 1
8 4
2 5 2
0 0 0 2 6 0 4


4) 1,040,005 = 0,00520 = 0,0052.

× 1 0 4
0 0 0 5
5 2 0
0 0 0 5 2 0

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1 000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Примеры:


1) 3,5610 = 35,6;


2) 45,678100 = 4 567,8;


3) 3,561 000 = 3 560;


4) 0,4567810 000 = 4567,8;


5) 0,041 000 = 40;


6) 0,00065100 = 0,065.

1) если цифр после запятой меньше, чем цифр, на которые нужно перенести запятую, справа у дроби добавляем нули (в итоге получится натуральное число);

2) если слева у десятичной дроби были нули и мы перенесли запятую вправо, то нули, стоящие слева, не пишем.

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Примеры:


1) 56,80,1 = 5,68;


2) 678,30,01 = 6,783;


3) 4832,60,001 = 4,8326;


4) 56,40,0001 = 0,00564.

Обратите внимание: если цифр до запятой меньше, чем цифр, на которые нужно перенести запятую, слева у дроби добавляем нули.

Свойства умножения десятичных дробей


1) - переместительное свойство умножения,


2) - сочетательное свойство умножения,


3) - распределительное свойство умножения относительно сложения.


4) - распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Читайте также: