Как сделать три угла

Обновлено: 07.07.2024

Существуют три классические задачи в греческой математике, которые оказали значительное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя все они тесно связаны, мы решили рассказать о каждой из них отдельно. Данная статья посвящена задаче трисекции произвольного угла. В некотором смысле это наименее известная из трех задач. Конечно, во времена Древней Греции лучше всего знали задачу об удвоении куба, а позднее стала более известна, особенно среди математиков-любителей, задача о квадратуре круга.

Задача о трисекции произвольного угла, которую мы рассматриваем здесь — это задача, у которой я (примеч. E.F. Robertson) видел за всю свою карьеру наибольшее количество неверных решений. Легко просто сказать, что присланное “доказательство’’ возможности трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки неверно, поскольку такое построение невозможно. Разумеется, знание того, что доказательство неверно и нахождение ошибки в нем — две различные вещи, и часто ошибки тонкие, и их трудно найти.

Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба. Тем не менее, некоторые углы можно разделить на три равные части. Например, есть довольно простой способ, позволяющий разделить на три равные части прямой угол. Для данного прямого угла нарисуем окружность с центром в точке , пересекающую прямую в точке . Нарисуем вторую окружность того же радиуса с центром в , и пусть она пересечет первую в точке . Тогда треугольник равносторонний, следовательно, угол равен " width="25" height="12" />
и — " width="25" height="12" />
. Итак, угол разделен на три части.

$27^<\circ></p> <p>Возможно, еще более удивительно, что такие углы как угол в$
, могут быть разделены на три части, Вы можете сделать это? Следовательно, задача состоит в том, чтобы разделить на три равные части произвольный угол и цель — сделать это с помощью циркуля и линейки (что невозможно), но если это невозможно, разработать какой-то способ, чтобы делить на три равные части произвольные углы.

Папп в своем “Математическом собрании’’ пишет:

“Когда древние геометры стремились разделить данный угол с прямолинейными сторонами на три равные части, они не смогли этого сделать по следующей причине. Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений. Такой вид имеют кривые, обнаруженные в так называемой “surface loci’’ (геометрическом месте точек поверхности), и многие другие, даже еще более сложные… Эти кривые имеют много замечательных свойств. Более поздние авторы рассмотрели некоторые из них, достойные более глубокого изучения, и одну из таких кривых Менелай назвал “парадоксальной’’. Другие кривые того же типа – это спирали, квадратрисы, конхоиды и циссоиды… Поскольку задачи отличаются таким образом, ранние геометры были не в состоянии решить вышеупомянутую задачу о делении угла, потому что она по природе своей телесная, ибо они еще не были знакомы с коническими сечениями, и по этой причине пребывали в растерянности. Позже, однако, они разделили угол с помощью коник, используя решение, близкое описанному ниже…”

Мы вскорости опишем методы, которые были изобретены для решения этой задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно было бы встретить эту задачу — это изучение того, как с помощью циркуля и линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла отметим равные отрезки и . Построим ромб и проведем его диагональ , которая, как легко видеть, поделит пополам угол .

Древние греки, безусловно, хотели делить углы в любом требуемом соотношении, так чтобы было возможно построение правильного многоугольника с любым количеством сторон. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, разумеется, было одной из основных целей греческой математики, и до открытий Гаусса те правильные многоугольники, которые не смогли построить древние греки, так и не были построены.

Хотя трудно указать точную дату возникновения задачи трисекции угла, мы знаем, что Гиппократ, внесший первый крупный вклад в решение задач о квадратуре круга и удвоении куба, также изучал эту задачу. Существует довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который был известен Гиппократу.

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла проведем прямую перпендикулярно прямой , пересекающую ее в точке . Построим прямоугольник . Продлим до точки , и пусть пересекает в точке . Если точка выбрана так, что , то угол составляет угла .

Чтобы убедиться в этом, обозначим через середину , так что . Так как угол прямой, то . Кроме того, . Поскольку , . Но , что и требовалось.

Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину от правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на , а другой конец линейки — на продолжении , так чтобы линейка определила прямую, проходящую через . Трисекция найдена довольно легко с помощью механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как говорил Платон:

“Действуя [механическим] способом не потерять безвозвратно лучшее в геометрии… ‘’

Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда. Построение происходит следующим образом.

Для данного угла проведем окружность с центром в точке так, чтобы и были ее радиусами. Через проведем прямую, пересекающую в точке . Пусть эта прямая пересечет окружность в точке и пусть равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на , а вторая — на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока она не пройдет через точку . Тогда будет построена прямая . Наконец нужно провести из радиус окружности так, чтобы был параллелен . Тогда отсечет треть угла .

Это довольно легко показать,

$\angle XAC=\angle ACF=\angle CFA=\angle FEA+\angle FAE=2\angle FEA=2\angle XAB.$

Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей эры), и он построил свою известную кривую — конхоиду. На самом деле эта кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса, который мы описали — вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на данной прямой, в то время как другая описывает кривую — конхоиду. Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла, приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой. Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит (Heath) пишет:

“Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной заданной длине’’.

Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”. В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в обоих случаях включают рисование гиперболы.

Первый показывает, что если прямая фиксирована, то геометрическое место точек таких, что является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус и директрису, которая является серединным перпендикуляром . Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла . Проведем окружность с центром в точке через точки и . Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом и директрисой — серединным перпендикуляром к . Пусть она пересечет окружность в точке . Тогда отделяет треть угла .

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, . Но , и (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому , что и требовалось.

Хит говорит о том, почему этот отрывок из работы Паппа может представлять интерес в связи с греческими исследованиями коник. Он пишет:

“Отрывок из труда Паппа, из которого взято это решение, замечателен тем, что это один из трех мест в сохранившихся работах греческих математиков … в котором говорится о свойствах фокусов и директрис коник.”

Эти построения, описанные Паппом, показывают, как греки “улучшили’’ свое решение задачи трисекции угла. От механических решений они пришли к решению с помощью конических сечений. Они никогда не могли прийти к “плоским решениям’’, поскольку мы знаем, что это невозможно.

Доказательство невозможности ждало математиков XIX века. Полное доказательство было получено Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал его в журнале Лиувилля:

“…посредством оценки, может ли геометрическая задача быть решена с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты. Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.

Требуется зашить инсталляцию. Квалификация плиточника "не очень" высокая. В целом кладет хорошо, но возникли в районе инсталляции.

Вот то что у него получается (уголок не до конца прижат, но схождение 3х углов уже видно, полный . с предложением заляпать затиркой)

Рассмотрю почти любые варианты (конструкцию все равно сносить - сделали неправильно)
Плитку на ус, какие то спец уголки/карандаши, замену плитки на верхней полке (кроме плитки на основных плоскостях - их хотелось бы оставить этой), смена мастера на этот вид работ (только с условием скидывания контактов в личку - готов рассмотреть - в остальном за бригадой косяков почти нет - менять не намерян) и.т.д.

На глобусе проведи линию от северного полюса к экватору.От полюса под 90 град. к первой линии проведи вторую линию до экватора . Посмотри - у этого треугольника все углы по 90град.

Типо я смог только не очень похоже потому что плохо рисую

Рассматриваются примеры трисекции угла. Объясняется как решать задачи о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки.

Ключевые слова: угол, циркуль, линейка, трисекция угла.

Задача о трисекции угла наряду с еще двумя известными задачами на построение: удвоением куба и квадратурой угла, пришла ещё с Древней Греции. В течении нескольких тысячелетий эти три задачи привлекали внимание многих математиков, уже тогда они понимали, что решить их используя исключительно циркуль и линейку невозможно, и доказали это значительно позднее. По сравнению с двумя другими задачами, задача о трисекции угла является менее известной. Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

,т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Теперь же рассмотрим методы решения данной задачи.

Методы решения

Прежде чем рассмотреть все методы решения, выясним как возникла эта проблема естественным образом. Возможно, задача впервые появилась, при изучении того, как делить угол пополам с помощью циркуля и линейки.

Для этого достаточно построить ромб, и провести диагональ , которая поделит пополам .

Метод первый (метод, который был известен Гиппократу)

Чтобы убедиться в этом, обозначим через середину , так что . Так как угол прямой, то . Кроме того, . Поскольку , . Но , что, собственно, нам и требовалось.

Метод второй (решение при помощи спирали Архимеда)

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки L которая равномерно движется вдоль луча OA с началом в O, в то время как сам луч OA равномерно вращается вокруг O.

Эта кривая получается следующим образом. Пусть луч ОА равномерно вращается вокруг точки О, а точка L равномерно движется по этому лучу, причем в начальном положении она находится в точке О. Тогда точка L движется по спирали Архимеда. Пусть угол АОВ нужно разделить в заданном отношении. Рассмотрим часть спирали Архимеда, полученную при вращении луча от начального положения ОА до положения ОВ. Пусть Р—точка, которая делит OL в отношении 1:2, где L — точка пересечения луча ОВ и спирали, Q — точка пересечения спирали и окружности радиуса ОР с центром О. Из определения спирали следует, что LOQ: QOA = LP:QO = LP: PO= 1:2, т. е. OQ —искомый луч и LOQ=BOA/3.

Метод третий (решение сиспользованием гиперболы)

В своей работе под названием “Математическое собрание” Папп приводит два решения нашей проблемы, и обе они включают в себя рисование гиперболы.

Заключение

После написания этой статьи, я узнала много нового и интересного о знаменитых классических задачах древности, познакомилась с историей возникновения данных задач, методами их решения.

Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделала следующие выводы:

– возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

– подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий;

– неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам:

Изучив весь этот материал, я поняла, что все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются их решить и по сей день.

Основные термины (генерируются автоматически): задача, трисекция угла, LOQ, помощь циркуля, линейка, метод решения, угол, начальное положение, правильный девятиугольник, правильный семиугольник.

Сегодня на строительном рынке измерительные инструменты представлены в широком ассортименте от линейки до лазерных установок. Рассмотрим способы, как найти угол 90 градусов с помощью рулетки без дополнительных приспособлений кроме калькулятора и карандаша. Ознакомимся с тремя способами, которые позволяют решить задачу без допущения погрешностей. Читайте до конца и Вы узнаете, как можно по тем же методикам выстроить угол в 45 или 30 градусов.

Прямой угол в интерьере

В большинстве своем помещения представлены 4 стенами, полом и потолком. Здесь практически все смежные углы должны быть равны 90 градусам, если важна строгая геометрия. Однако, как правило, выводятся они только в двух случаях: под мебель и ванну. Если это момент упустить, то визуально искривления будут бросаться в глаза.

Способы определения разворота

Раньше распространенным решением как вывести угол 90 градусов, например, на фундаменте был обычный строительный уголок. Главное, чтобы он был проверен и соответствовал 90 градусам. Сегодня профессионалы для упрощения процесса и ускорения монтажных работ пользуются лазерными уровнями. Третий вариант – применение обычной измерительной рулетки.

Теорема Пифагора

С этой доказанной теоремой знаком каждый, кто учился в школе. Она применима только к треугольникам, в котором один из углов обязательно прямой. Прилегающие к нему стороны – катеты a и b, соединительный отрезок – гипотенуза (с). Формула выглядит так: a²+b²=c².

Удобство использования такого способа как найти прямой угол при строительстве в том, что наносить разметку можно в любом по площади помещении. Здесь даже допустимо наличие посторонних предметов. Главное, чтобы был доступ к углу и стенам, можно было свободно протянуть соединительную гипотенузу. Дополнительно понадобится только калькулятор, чтобы быстро произвести нужные вычисления.

Египетский треугольник

Золотой или Египетский треугольник – это фигура с прямым углом, у которой стороны равны 3, 4 и 5 частям. Удобство здесь заключается в том, что не нужно возводить параметры в квадратную степень и извлекать корни. Достаточно принять за часть ту или иную условную единицу. Это может быть как 1 см, так и 10 метров, что особенно удобно для решения как вывести угол 90 градусов на стенах из штукатурки.

Если имеются сомнения в справедливости утверждения про угол в 90 градусов, то можно его проверить с помощью теоремы Пифагора: 3*3+4*4= 5*5 или 9+16=25. Остается только начать применять эту методику на практике.

Равнобедренный треугольник

Здесь рассматривается для удобства формирования угла 90 градусов с помощью рулетки фигура с двумя сторонами, которые равны 100 см. Если между ними прямой разворот, то длина основы составит 141,4 см. Актуален такой подход в строительстве потому, что при увеличении метровых ориентиров в 2, 3 и более раз разница между размерами соединительного отрезка будет идентичной. То есть в прямоугольном равнобедренном треугольнике справедливы такие равенства:

a и b равны 100*2=200 см – c=141,4*2=282,8 см;
a и b равны 100*5=500 см – с= 141,4*5=707 см;
a и b равны 100*2,2= 220 см – с=141,4*2,2=311,08 см.

Если проверить эти утверждения, то гипотенуза или основа равнобедренного треугольника с верхним прямым углом будет при округлении действительно равна 141,4 (141,421356…). С одной стороны – это простой и верный способ как проверить угол 90 градусов рулеткой по нанесенной разметке. Достаточно отмерять метровые участки и сделать только одно умножение 141,4 на число метров. Один только недостаток здесь все же есть. Если в квартире или доме погрешность будет несущественной из-за малых габаритов, то на крупных объектах отклонение из-за неточной гипотенузы может стать заметным.

Углы в 30 и 45 градусов

Выбрав один из способов как вычислить угол 90 градусов рулеткой несложно будет сформировать три варианта острых углов. 45 градусов получается, если это равнобедренный треугольник. Для 30 градусов нужно протянуть гипотенузу, которая будет равна двум коротким катетам. Здесь между ними тогда остается угол в 60 градусов.

Видео описание

В этом видео мастер делится опытом выведения прямых углов с помощью теоремы Пифагора и Египетского треугольника:

Коротко главном

В интерьере часто приходится выводить прямые углы под мебель или сантехническое оборудование.

С помощью рулетки можно проверить разворот в 90 градусов тремя способами: стороны равны 3/4/5 частей, если между метровыми стенками соединительный отрезок составляет 141,4 см, применяя теорему Пифагора.

Также рулетки достаточно для формирования трех углов в 30, 45 и 60 градусов.

Дополнительно может понадобиться только калькулятор и карандаш для нанесения разметки.

Читайте также: