Как сделать треугольник паскаля в с

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 05.10.2024

Тип урока: обобщение и систематизация.

Формы и методы: фронтальная, групповая, индивидуальная; вербальный, наглядный, иллюстративный, практический, репродуктивный, проблемно-поисковый, исследовательский, закрепление, самостоятельная работа, беседа.

Ход урока

I. Орг.момент.

Проверить готовность учащихся к уроку, правильную организацию рабочего места. Отметить отсутствующих в журнале.

II. Формулировка темы урока.

Хочешь научиться плавать, – смело входи в воду!

Хочешь научиться программировать, – пиши программы.

Simplex

0-симплекс – 1 вершина (точка);

1-симплекс (одномерный) – 2 вершины (отрезок);

2-симплекс (двумерный) – 3 вершины (треугольник);

3-симплекс (трехмерный) – 4 вершины (тетраэдр).

Какие слова из этих определений мы с вами встречали на уроках программирования? (одномерный, двумерный массив, треугольник, дать определение).

Pascal


Чей портрет Вы видите на экране? (Блез Паскаль)

Подсказка: Фамилия этого человека для нас с вами связана вплотную с информатикой: как с историей развития вычислительной техники, так и с программированием.

Какой вклад он внес в информатику? (он создал арифмометр, в честь его назван один из языков программирования)

Оказывается, Блез Паскаль, выдающийся математик, физик, философ и писатель очень интересовался одной таблицей треугольного вида (на экране):


Сегодня наш урок мы посвятим такому треугольнику.

III. Постановка целей урока

В ходе подготовки к ЕГЭ по информатике из курса программирования наибольшее затруднение вызывают:

Цели:

  • повторить, отработать задание и вывод элементов двумерного массива, заданных формулой;
  • применение пользовательских функций и рекурсивных подпрограмм для задания элементов матрицы.

Выполнение заданий, направленных на проверку знаний и умений по темам алгоритмизации и программирования позволит набрать 42,5% (чуть меньше половины) от максимального количества баллов.

IV. Обобщение и систематизация

Треугольник Паскаля

1 1 1 1 1 …
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
…

До наших времен треугольник Паскаля дошел в приведенном ранее на экране виде (повторить фото), а сам Паскаль рассматривал его в форме (превратить в таблицу из простого списка):

1) Рассмотрим закономерности в такой матрице:

  1. первая строка и первый столбец состоят из 1. Как это задать? (A[1,j]:=1; A[I,1]:=1;)
  2. задать все остальные элементы A[i,j]:=A[i,j-1] + A[i-1,j];
  3. вывести треугольный вид таблицы

2) Вписать в карточку недостающие операторы (такое задание тоже есть в ЕГЭ)

Пользовательская функция

  1. Для чего служит пользовательская функция? Ее общий вид.
  2. Давайте создадим функцию, задающую сумму 2-х элементов (РАБОТА В ГРУППАХ за ПК, изменение готовой программы) Приложение2

Рекурсивная процедура

  1. Что такое рекурсия? Для чего она нужна (объект является рекурсивным, если он содержит сам себя или определен с помощью себя).
  2. Для чего служит процедура? Ее общий вид.
  3. Отличие процедуры от функции.
  4. РАССМОТРЕТЬ И ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ГОТОВУЮ ПРОГРАММУ С РЕКУРСИВНОЙ ПРОЦЕДУРОЙ (в эл. пособии) Приложение3

Проблема

Треугольник Паскаля симметричен относительно главной диагонали. Как использовать этот факт? (подумать дома)

V. Постановка д.з

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника"

Рассмотрим несколько удивительных свойств (см. в пособии):

  1. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого первого вплоть до стоящего непосредственно над числом x
  2. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа x.
  3. Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число x (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

Д/З:


Проверить любое 1 свойство (Как? Например, с помощью метода флажков)

Дополнительное задание:

Оказывается помимо треугольника Паскаля, существует треугольник Лейбница (см. рисунок).

Найти закономерности (числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним)

Доп. Д/З: Составить программу, выводящую элементы треугольника Лейбница

Творческое задание:

Написать программу вывода элементов треугольника Лейбница, используя рекурсивную функцию или процедуру.

VI. Итоги и рефлексия

Тестирование (тестовая программа в пособии) Приложение3

  1. Двумерный симплекс – это:
    1. Двумерный массив (матрица);
    2. Треугольник;
    3. Одномерный массив.
    1. произвольный треугольник, полученный с помощью языка Pascal
    2. части квадратной матрицы, образованные ее диагоналями;
    3. арифметический треугольник, элементы которого задаются формулой a[i,j]:=a[i,j-1] + a[i-1,j]
    1. A [i ,i ]
    2. A [n + 1 -j , j ]
    3. A [1 , n ]
    1. содержит сам себя или определен с помощью себя
    2. любая процедура (функция) является рекурсивной
    3. процедура, задающая элементы двумерного массива

    Результаты:

    4 правильных ответа – материал урока усвоен;

    Рефлексия

    Какие разделы программирования мы сегодня рассмотрели на уроке?

    • Двумерный массив
    • Квадратная матрица
    • Главная, побочная диагональ
    • Пользовательская функция
    • Процедура
    • Рекурсивная процедура

    Какие разделы в программировании, на ваш взгляд, нуждаются в дополнительной проработке?

    Здравствуйте, можете подсказать , как сделать треугольник паскаля ровным, т.е. равносторонним ? Если можно, то показать в виде кода, т.к. что именно надо сделать понимаю, но не знаю как это написать. Заранее спасибо.


    Равносторонним не получится, т. к. sqrt(3)/2 — иррациональное число. Получится только равнобедренный. А что именно вы хотите сделать? Опишите это, и опишите, где встретилась трудность.

    Видимо проблема в том что при выводе все съезжает в одну кучу, можно попробовать получить позицию самой верхней единичке по отношению к количеству символов в нижней.

    VladD,упс, извиняюсь, и правда не получится. Как я понимаю , нужно при выводе выводить сначала пробелы, а потом число, а потом опять пробелы , а число пробелов- функция от номера ряда ,предельный номер ряда - номер ряда и все это пополам. столько в начале,столько же в конце. Но я не знаю как это написать,т.к. знакома только с паскалем (около месяца) на среднем уровне , а с java и c++ только знакомлюсь.

    @ace9000: Не, знать, что выводить пробелы недостаточно. Подумайте над тем, сколько пробелов надо выводить в первой строке? Во второй? В третьей? В i -ой? А программирование на этом уровне везде одинаковое, что на Java, что на паскале.

    Чтобы посчитать количество пробелов можно перед выводом на экран печатать каждую строку треугольника в строковую переменную. Но красивей всего будет если посчитать длину самого большого числа в треугольнике и выделять одинаковое место для всех ячеек 1 1 33 33 1 24 12345


    СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ




    Треугольник Паскаля


    Автор работы награжден дипломом победителя III степени

    Текст работы размещён без изображений и формул.
    Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

    Цель работы:

    Познакомиться с таким математическим объектом, как треугольник Паскаля

    Пополнить запас научных знаний.

    Продолжить знакомство с основными историческими этапами возникновения и развития математической науки, судьбами открытий, именами людей, творивших науку. В первую очередь с биографией ученого Блеза Паскаля.

    Самостоятельно попытаться составить данный треугольник.

    Рассмотреть свойства треугольника Паскаля.

    Определить значимость открытия треугольника Паскаля.

    Сформулировать вывод и итоги исследования.

    Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

    Актуальность:

    Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач.

    Предмет исследования :

    Этапы исследования:

    Сбор первоначальных сведений о треугольнике в энциклопедической и учебно-научной литературе.

    Построение треугольник Паскаля.

    Изучение возможностей применения треугольника Паскаля.

    Формулирование итогов и выводов.

    Методы исследования:

    аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

    поиск информации в интернет - ресурсах.

    1.Биография Блеза Паскаля

    Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями.

    Одним из них является Блез Паскаль - французский математик, физик, философ и мастер прозы.

    Родился Блез Паскаль в 1623 г. 19 июня в Клермон - Ферране, в семье председателя суда города Этьена Паскаля.

    Умер Блез Паскаль 19 августа 1662 года.

    Вследствие его больших вкладов в изучение давления в физике, в честь Паскаля назвали единицу измерения давления (Па). Так же в честь Паскаля назвали язык программирования Pascal .

    2.Определение и основные свойства треугольника Паскаля.

    2.1 История треугольника.

    Похожий треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Яна Хуэя, изданной в 1303 году.

    О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

    2.2 Построение треугольника Паскаля.

    Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой (рис.1):

    на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,

    -каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

    Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Продолжать треугольник можно бесконечно.

    2.3 Основные свойства треугольника Паскаля.

    Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

    Первое и последнее числа – 1; второе и предпоследнее – n.

    Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси треугольника.

    Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна (рис.2)

    Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по порядку (рис.3).

    Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

    В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.

    Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

    Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

    Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.

    Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи (число равно сумме двух предыдущих чисел) (рис.5).

    Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Удивительное свойство треугольника Паскаля.

    3. Применение треугольника Паскаля.

    Где же применяется треугольник Паскаля?

    При решении комбинаторных задач.

    Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области физики:

    принцип минимума потенциальной энергии;

    материальные точки и центр тяжести;

    центр тяжести системы двух материальных точек;

    центр тяжести стержня с многими грузами;

    невозможность вечного двигателя.

    С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

    Вот далеко не полный перечень свойств чисел треугольника Паскаля и его многочисленных применений.

    4. Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач.

    Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы, если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Такие задачи можно встреть в ОГЭ, ЕГЭ и в олимпиадных задачах старшего школьного уровня. Треугольник Паскаля используется при решении комбинаторных задач, для решения различных задач в области физики. С построением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении программирования.

    Найдите сумму первых 8 треугольных чисел.

    Найдем сумму первых восьми чисел 3 диагонали треугольника Паскаля. (рис.6) Получится 120.

    В данной задаче нам известно, что на строительство пирамиды ушло 286 шариков. Найдем решение с помощью треугольника Паскаля, в котором количество прямоугольников, пересеченных зеленой линией, будет наш ответ. (рис. 7)

    В данной задаче нам даны различные сорта, поэтому повторений не будет и порядок выбора сортов нам неважен, нам важно количество, а именно 3. Найдем решение с помощью нашего треугольника Паскаля, в котором пересечении 3-й диагонали и 6 строки будет наш ответ (рис.8).

    На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки

    Ответ находится на пересечении 11 ряда и 3 диагонали: Это число – 165 (рис.9).

    Ответ: 165 окружностей.

    Танк может двигаться по квадратам, видимым на карте, размером 4 на 4 только вправо или вниз. Он стоит в точке А. Из штаба пришло задание прибыть в точку В. Сколько маршрутов передвижения может использовать экипаж?

    В квадраты a2, a3, a4, а1, b1, c1, d1 танк попадёт 1 способом, в квадрат b2 может добраться 2 способами (рис.10(а)). В квадрат с2 и b3 - 3 способами, d2 и b4 - 4 способами, в c3 – 6 способами, d3, c4 – 10 способами и в квадрат d4 (точка В) – 20 способами. (рис.10(б))

    Ответ: 20 способов.

    Из пункта А по сети дорог идет группа из человек. На каждом перекрестке, начиная с А, пришедшие туда люди делятся пополам – половина идет по направлению l, половина – по направлению m (рис.11). Сколько человек придет в пункты В, С, D, …, I соответственно?

    Количество людей, пришедших в искомые точки соответствует числам n-ой строки. В данном случае, n = 7, следовательно¸ искомое количество людей на каждом перекрестке соответствует 7 строке треугольника Паскаля (рис.12).

    Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

    Возведите в степень: (u - v) 5

    У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

    Тогда у нас есть:

    ( u - v ) 5 = ( u + (- v )) 5 = 1( u ) 5 + 5( u ) 4 (- v ) 1 + 10( u ) 3 (- v ) 2 + 10( u ) 2 (- v ) 3 + 5( u ) (- v ) 4 +1(- v ) 5 = u 5 - 5 u 4 v + 10 u 3 v 2 - 10 u 2 v 3 + 5 uv 4 - v 5 .

    В ходе исследования мы убедились, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач. Треугольник Паскаля имеет применение не только в математике, но и в физике, информатике.

    Список литературы.

    Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках/ С.Г.Гиндикин. – М.: Терра, 2013. – 480с.

    Энциклопедия для детей Аванта+: В 57 т. Т. 11. Математика/ под ред. М. Аксёновой, В. Володина, М. Самсоновф – М.: Аванта+, 2003. — 688 с.

    Корбалан, Ф. Мир математики: В 40 т. Т.1. Золотое сечение, математический язык красоты/ Пер. с исп. — М.: DeAgostini, 2014. — 164 с.: ил.

    Гарднер, М. Математические новеллы. (Mathematics Games) / Пер. с англ. Ю.А.Данилова; под ред. Я.А. Смородинского — М.: Мир, 1974. — 456 с.

    Успенский, В.А. Треугольник Паскаля. Популярные лекции по математике. Выпуск 43/ ред. В.В. Донченко - 2-е изд. доп. - М.: Наука, 1979. — 48 с.: ил.

    Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

    Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно , потому что это сумма чисел и .

    Внимание! На самом деле мы будем говорить, что является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно .

    Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.


    Первые 10 строк треугольника Паскаля

    Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля здесь.

    Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать объектов из данных, то количество возможных вариантов выбора равно -му числу в -й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно способов выбрать двух человек из четырех данных. И так — третье число в девятой строке треугольника, то существует способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.

    На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.

    Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.


    Во-вторых, если мы хотим выбрать предметов из данных , мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать предмет из оставшихся предметов, чтобы выбрать ровно предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все предметов из данных предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.

    Короче говоря, чтобы получить число способов выбора объектов из данных , мы должны сложить количество способов выбрать объект из , и число способов выбрать объектов из . Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!

    Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.

    Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:


    Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.

    В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в -й строке треугольника, вы всегда получите в степени (например, ). Для нас это довольно скучно.

    Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.


    Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

    P (3) = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9, P (4)=96

    Давайте обозначим через произведение чисел в -й строке треугольника. Так, , и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для он нашел числа , получающиеся по следующей формуле:

    \[r(n)=\frac<P(n-1)\cdot P(n+1)></p> <p>.\]

    Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

    И вот удивительная вещь: когда становится все больше, это отношение становится все ближе к числу ! Помните, — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное . Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать , несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к с ростом . Как вы можете видеть здесь, для вычислений требуется всего лишь немного алгебры.

    Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:

    Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:


    Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на дает остаток или соответственно. Что происходит, когда разделим на ? Остатки могут быть равны или . Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:


    Комментариев: 7

    1 Murad:

    Грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами

    2 Корнеев В.Ф.:

    А как вам нравится следующий критерий простоты числа:
    число тогда и только тогда простое, когда все числа треугольника Паскаля (единицы не в счёт) с номером строки этого числа делятся на это число.
    Так 9 не простое число, потому что 84 не делится на 9. А 7 – простое, потому что все числа 7-ой строки делятся на 7.

    Twilight_Sun Reply:
    Февраль 8th, 2015 at 0:48

    Как-то слишком уж очевидно доказывается : )

    Корнеев В.Ф. Reply:
    Февраль 8th, 2015 at 8:26

    3 Murad:

    Каждое целое число куб, поэтому10ст.3n = 500 x 10 ст.3(n-1) + 500 x10ст.3(n-1), где 500 x 103(n-1)нечетных и столько же четных. Целые числа начинаются с 1, а их номера с 0.

    4 Вадим:

    Мурад, очень интересные выводы и доводы , но не совсем понятно. Хотелось бы узнать подробнее

    5 Сергей:

    См. о треугольнике Паскаля самое впечатляющее и до 1981 года никому неведомое: Абачиев С. К., Стахов А. П. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий.// Интернет-журнал №Науковедение”. – М.: ИГУПиТ, 2012, Вып 4.

    Читайте также: