Как сделать так чтобы деньги росли в геометрической прогрессии

Обновлено: 07.07.2024

Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы “Арифметическая и геометрическая прогрессии” в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач с использованием прогрессий, связать ранее изученный материал с практикой, научит применять математические знания в жизни.

Расширить представления учащихся о числовых последовательностях, изучить свойства арифметической и геометрической прогрессии, развить умение решать задачи на проценты. Развивать умения выполнять индуктивные умозаключения, подмечать закономерности и выражать их на математическом языке. Научить переводить реальные задачи на математический язык.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель организует работу учащихся.

2. Актуализация знаний:

Устная работа по вопросам:

1). Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?

2). Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

3). Какая из представленных последовательностей является арифметической, геометрической и почему?

На доске следующие записи:

1. 7,5; 9; 10,5; 12….d=1,5

2. 3, 5 9, 11 17….. не является прогрессией

5. 10; 10; 10; 10…. q=1, d=0

4).Назвать первые пять членов арифметической и геометрической прогрессий:

Мы повторили определения арифметической и геометрической прогрессий. Далее попробуем соотнести данные понятия с понятиями из экономики: сложные и простые проценты.

3. Изучение нового материала.

Постоянно за определенный промежуток времени начисляется одна и та же сумма, определенная количеством процентов.

a_n+1 = a₁(1+p . n/100), где p – проценты.

Увеличение значения в одно и тоже число раз по сравнению с предыдущим значением.

4. Закрепление материала.

1. Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

a₄ = 880	a₄ = a₃ + 3d, d = a₁ . p/100 = a₁ . 40/100 = 0,4a₁
p = 40%	880 = a₁ + 1,2a₁
n=3	880 = 2,2a₁
a₁ – ?	a₁ = 400

Ответ: первоначальный вклад 400 руб.

2. 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

a₁ = 750	a₅ = a₄ + 4d, d = a₁ . p/100 = p . 750/100 = 7,5p
a₅ = 1500	1500 = 750 + 30p
n=4	750 = 30p
p – ?	p = 25%

3. На сколько лет надо положить 1000 руб. по 20% (сложные), чтобы получить 1440 руб.?

b₁ = 1000	b_n+1 = b₁ . q n , q = 1 + p/100 = (1 + 0,2) = 1,2
p = 20	1440 = 1000 . 1,2 n
b_n+1 = 1440	1,44 = 1,2 n
n = 2

Ответ: на 2 года.

Задачу 1 учитель решает на доске, задачу 2 учащиеся самостоятельно, а задачу 3 – самостоятельно, но с комментариями учителя.

Таким образом, мы решили задачи на простые проценты, которые являются прообразом арифметической прогрессии, и на сложные проценты, которые являются прообразом геометрической прогрессии.

4. Предположим следующую ситуацию.

Мы заработали определенную сумму денег и перед нами стоит задача в какой банк выгоднее вложить деньги.

Найдем в исследуемых банках рекламные проспекты с информацией о процентных ставках, которые предлагает банк населению.

Предположим, что мы рассматриваем следующие банки:

Банк 1 – простые из расчета 3% в месяц.

Банк 2 – простые из расчета 40% в год.

Банк 3 –сложные из расчета 30% в год.

В какой из этих банков выгоднее вложить 500 рублей на 3 года?

a₁ = 500	a₃₇ = a₁ + 36d, d = a₁ . 30/100 = 15
p = 3	a₃₇ = 500 + 36 . 15 = 1040 руб.
n=36
a₃₇ – ?

a₁ = 500	a₄ = a₁ + 3d, d = a₁ . 30/100 = 15
p = 40	a₄ = 500 + 3 . 40 . 500/100 = 1100 руб.
n=3
a₄ – ?

n = 3	b₄ = b₁ . q n , q = 1 + p/100 = (1 + 0,3) = 1,3
p = 30	b₄ = b₁ . q n = 500 . 1,3 3 = 1098,5 руб.

Ответ: выгоднее вложить в 2 банк.

5. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:

1). в 1,1 раза
2). 1,05 раза,
3). в 1,5 раза
4). в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.

1). b₅ = 100000 . 1,1 4 = 146410 (руб.)
2). b₅ = 100000 . 1,05 4 = 121550146410 (руб.)
3). b₅ = 100000 . 1,5 4 = 506250146410 (руб.)
4). b₅ = 100000 . 1,15 4 = 174900146410 (руб.)

Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.

На первый счет положили 100000 руб. под 30% в год (простые), на второй счет – 300000 руб. под 10% в год (простые). На каком из счетов через 50 лет будет сумма больше?

a₁ = 100000	a₅₁ = a₁ + 50d, d = a₁ . p/100 = 100000 . 30/100= 30000
p = 30%	a₅₁ = 100000 + 50 . 30000 = 1600000
n=50
a₅₁ – ?

a₁ = 300000	a₅₁ = a₁ + 50d, d = a₁ . p/100 = 300000 . 10/100= 30000
p = 10%	a₅₁ = 300000 + 50 . 30000 = 1800000
n=50
a₅₁ – ?

Ответ: на втором счету больше.

5. Итог урока:

Сегодня на уроке мы научились решать экономические задачи с помощью арифметической и геометрической прогрессий, а так же переводить экономические задачи на математический язык.

В конце урока учитель выставляет оценки учащимся, наиболее активно работавшим на уроке.

Ограбить банк. ) Мне вот тоже интересно что в таком случае делать. Никак дебет с кредетом не сходится в последнее время.

Opredelitesy s potrebnostyami i soglasuite tempi rosta dohodov s tempami rosta rashodov. Yesli dohodi - opkestr, a rashodi - hor - to Vi - dirizhyor etogo meropriyatiya. Ne pokupaite lishnego, nenuzhnogo, rasschitivaite i planiruite rashodi.

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

развитие элементов логического мышления, критичности мышления, творческой деятельности, речи, мировоззрения;

применять формулы простых и сложных процентов при решении задач.

решать задачи практического содержания, умение работать с данными.

Личностны е: формирование понимания того, что финансовое благополучие каждого человека зависит от знания базовых финансовых положений, умения рассчитывать предполагаемую прибыль.

Форма занятий : объяснение, практическая работа.

Методы обучения : беседа, сочетание учебной и внеучебной информации; выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Оборудование: таблицы с формулами простых и сложных процентов, калькуляторы, раздаточный материал.

Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление процентных ставок в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов. Выполнение тренировочных упражнений.

Технологическая карта занятия

актуализировать требования ученику с позиций учебной деятельности;

приветствие учащихся; организация внимания.

Настраиваются на работу.

Организует формирование внутренней потребности учеников в получении новых умений.

Уметь решать задачи

Коммуникативные : оформлять свои мысли в устной форме

Закрепление полученных знаний при решении задач

Организует работу учеников, оказывает при необходимости помощь.

Проговаривают формулы и определения

Выполняют задание на доске и в тетрадях

Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий Коммутативные : уметь оформлять свои мысли в письменной и устной форме, слушать и понимать речь других

Рефлексия учебной деятельности на занятии.

- зафиксировать содержание урока;

- организовать рефлексию, самооценку учениками собственной учебной деятельности

Организует фиксирование полученных знаний и умений, рефлексию, самооценку учебной деятельности

Ставят вопросы. Рассказы- вают, что узнали, смогли выполнить.

Регулятивные : уметь оценивать правильность выполнения действия Личностные : уметь осуществлять самооценку

I. Организационный момент, постановка темы и цели занятия.

II. Рассказ учителя.

Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в XIV -XV вв. в Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой - дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т. д. является открытие вкладчиком сберегательного счета: вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов предпринимателям, фирмам, государству, другим банкам и т. д.

Рассмотрим схемы расчета банка с вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Увеличение вклада S 0 по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S 0 независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S, рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы S 0 . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет S 0 * рублей и величина вклада станет равной S = S 0 (1 + р/100) рублей; р % называют годовой процентной ставкой. Ставка по договору депозита указывается как годовая, но начислять процент необязательно в конце года. Это можно делать один раз в месяц, один раз в квартал и т. д. Если эта ставка — простой процент , который начисляется на первоначальную сумму депозита, то периодичность начисления процентов не важна. При ставке 12% через год вы получите на 12% больше, а через месяц — на 1%.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты S 0 * , а сумму S 0 оставит, в банке вновь начислят, S 0 * рублей, а за два года начисленные проценты со ставят 2 S 0 * рублей, через и лет на вкладе по формуле простого процента будет

S n =S 0 (1+ ) n , n N

Сложный процент лучше рассмотреть на следующем примере. При годовой ставке 12% и начислении процентов раз в месяц сумма в 100 000 руб. через один месяц увеличится на 1% и превратится в 101 000 руб., что и является капитализацией. А со следующего месяца 1% будет начисляться уже на 101 000 руб., и сумма депозита вырастет до 102 010 руб. Сложный процент дал вам лишних 10 руб. Это процент на процент ,то есть 1% от 1000 руб., которые вы успели получить за первый месяц. Таким образом, вы, как хороший капиталист, накопившийся процент сразу пускаете в дело и заставляете работать все деньги. С каждым месяцем эффект от сложного процента будет нарастать. Через год депозит принесет вам 112 682 руб. 50 коп., а это уже почти 700 дополнительных рублей по сравнению с простым процентом.

III. Практическая работа.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

Используя формулу S n =S 0 (1+ )

S 5 = 200 000 (1+ )= 280 000 (р.)

S 10 = 200 000(1+ )= 360 000 (р )

О т в е т: 280 000 р.; 360 000 р.

При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.

р=(650: 500-1)100: 6,
р=5. Ответ: 5%

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 000 р.

S 0 = =225000(p) Ответ: 25 000 р.

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12 М, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

Воспользуемся формулой сложных процентов

S n =S 0 (1+ ) n , n N

S 6 =2000 (1+ ) 6 =2000*1,12 6 =2000*2508,8=3947,65(p)

Ответ: 121 золотой

№2 .Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6 % годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад, по которому начислялось 8 '% годовых, а остальные — на вклад с 9 % годовых. В результате его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады? Ответ: 5000рублей

V. Поведение итогов занятия.

Какую полезную информацию вы получили на сегодняшнем занятии?
Почему важно уметь рассчитывать доходность депозитов?
Какие вопросы из области финансов вы бы хотели рассмотреть?

Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежемесячно из расчета 140 %годовых. Компания У выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой доход в 12 % и 5 %, в первое он внес на 300 000 р. больше, чем во второе, и получил в нем за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Проектная работа. "Арифметическая и геометрическая прогрессии". Урок-турнир

Каждый ребенок умен и талантлив по-своему. Важно, чтобы ум и талант стали основой успеха в учении, чтобы ни один ученик не учился ниже своих возможностей, чтобы пробудить у ребенка желание учиться.С 2.

Урок финансовой грамотности "Кредиты"

Лекция - презентация на тему "Кредиты" содержит краткую информацию о видах кредита. Может быть использована как информационный материал для студентов и преподаватетелей.

геометрическая прогрессия урок-презентация

урок презентация "Геометрическая прогрессия "9 класс.

ОглавлениеОбщая характеристика темы. 3Историческая справка. 3Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики. 5Инвариантное содержание темы (из программы по математике) 6Обзор литер.

Применение понятия "прогрессия" в жизни

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Цель работы:

1. Выяснить, имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни.

Объект исследования:

1. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования:

1. Практическое применение прогрессий в жизни.

Результаты анкетирования

(см. Приложение 1)

Результаты анкетирования оказались неоднозначными. Всего было опрошено 35 человек, из них 31 % ответили на вопрос положительно, а 69 % не знают, как применять свойства прогрессии в жизни.

Также мы провели еще одно анкетирование и выяснили, что большая часть опрошенных (83 %) хотела бы узнать о необычном применении прогрессии в жизни. В связи с этим, мы считаем, что данная тема является интересной для изучения на сегодняшний день.

Определения и формулы

Арифметическая прогрессия

- это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.

Число d называется разностью прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Геометрическая прогрессия

- это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q.

Число q называется знаменателем прогрессии.

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Зная эти формулы можно решить большое количество интересных задач: литературного, исторического и практического содержания.

Историческая справка

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий ученый Архимед (287–212 гг. до н. э). Для нахождения площадей и объемов фигур он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.

Термин “прогрессия” (от латинского progression , что означает движение вверх) был введен римским автором Боэцием (в VI веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).

Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Древняя Греция

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве проявлял выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Задача – легенда:

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. два зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и так далее до 64 – ой клетки.

Царь был удивлен, когда узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Применение прогрессий в жизни

1. Финансовая пирамида.

Разберёмся в механизмах этих организаций.

Финансовая пирамида – способ обеспечения дохода участникам структуры за счет постоянного привлечения денежных средств. Доход первым участникам пирамиды выплачивается за счет вкладов последующих участников. В большинстве случаев истинный источник получения дохода скрывается, а декларируется вымышленный или малозначимый. Подобная подмена является мошенничеством.

Как правило, в финансовой пирамиде обещается высокая доходность, которую невозможно поддерживать длительное время, а погашение обязательств пирамиды перед всеми участниками является заведомо невыполнимым. Закономерным итогом такой ситуации является банкротство проекта и убытки последних инвесторов.

Человек собирается организовать финансовую пирамиду.

Представим, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. В первом кругу участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, на четвертом – 15 000, на пятом – 75 000, на шестом – 375 000, на седьмом – 1 875 000, на восьмом – 9 375 000, на девятом – 46 875 000, на десятом – 234 375 000 человек.

Численность населения Воронежа составляет 1 039 801 человек (данные 2018 года). Следовательно, на седьмом кругу количество участников финансовой пирамиды превысит численность населения нашего города.

Численность населения России составляет 146 877 088 человек (данные 2018 года). Можно заметить, что на десятом кругу количество участников значительно превышает численность населения страны.

Так что участник, включившийся на седьмом или десятом круге, уже ничего не получит.

Такая закономерность чисел, также является геометрической прогрессией

В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.

Применение понятия на практике

Воспользуемся конкретным примером. Размер материнского капитала составляет 453 000 р. Можно ли вложить такую сумму в банк под выгодный процент и к совершеннолетию ребенка приобрести ему квартиру?

Первоначально вложено 453 000 р. через год сумма возрастет на 5% составит 105% от 453 000 р.

453 000 * 1, 05 (сумма составит через год)

453 000; 453 000 * 1, 05; 453 000 * 1, 05 2 ; 453 000 * 1, 05 3 ; 453 000 * 1, 05 4

Последовательность имеет вид геометрической прогрессии, где

b ₁ = 453 000; g = 1, 05

453 000 * 1, 05 18 = 1, 0902 * 10 6 = 1090200 р.

Учитывая, что средняя стоимость однокомнатной квартиры в г. Воронеже составляет 1900000 р., на сумму 1090200 приобрести жилище не возможно, но подобное вложение денежных средств является достаточно выгодным.

В XIII веке в Англии ростовщики давали деньги под 50% годовых. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

3. Изменение массы радиоактивного вещества со временем - еще один пример геометрической прогрессии.

Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T –период полураспада. Массы нераспавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

4. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

5. Прогрессии в природе

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения называется поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Интенсивность размножения бактерий использую в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

6. Прогрессии - оправдание войн

Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Мальтус считал, для того, чтобы избавиться от лишнего населения, необходимы войны.

8. Наследство

Человек получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

9. Прогрессии в музыке

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.

10. Прогрессии в литературе

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Вспомним строки из "Евгения Онегина".

. Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить.

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Прогрессия: 2; 4; 6; 8.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7. С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7.

Как вы могли заметить, исходя из вышеизложенного материала, что зная основные формулы геометрической и арифметической прогрессий, можно решить большое количество интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики.

На сегодняшний день, изучение происхождения и использования в жизни геометрической и арифметической прогрессий является актуальной и важной задачей для современных ученых.

Список литературы

Дэвисон Р. К. Прогрессии / Р. К. Дэвисон. - М. Мир Урании 2016г. 328 стр.

Рассел Д. Геометрическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: "VSD" (2012)

Рассел Д. Арифметическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: VSD, 2012 г.

Читайте также: