Как сделать таблицу истинности
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 05.10.2024
Алгебра логики (англ. algebra of logic) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях.
Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
Логических значений всего два: истина (TRUE) и ложь (FALSE). Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0. Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности.
Основные операции алгебры логики
Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной. Таблица значений данной операции имеет вид
| A | ¬A |
| истина | ложь |
| ложь | истина |
| A | ¬A |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Высказывание $A↖$ ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.
Геометрически отрицание можно представить следующим образом: если А — это некоторое множество точек, то $A↖$ — это дополнение множества А, т. е. все точки, которые не принадлежат множеству А.
Таблица истинности операции имеет вид
| A | B | A ∧ B |
| истина | ложь | ложь |
| ложь | истина | ложь |
| ложь | ложь | ложь |
| истина | истина | истина |
| A | B | A ∧ B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания — А и В истинны.
Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∧ В есть пересечение множеств А и В.
Таблица истинности операции имеет вид
| A | B | A ∨ B |
| истина | ложь | истина |
| ложь | истина | истина |
| ложь | ложь | ложь |
| истина | истина | истина |
| A | B | A ∨ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Высказывание А ∨ В ложно только тогда, когда оба высказывания — А и В ложны.
Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∨ В — это объединение множеств А и В, т. е. фигура, объединяющая и квадрат, и круг.
Таблица истинности операции имеет вид
| А | В | А ⊕ B |
| истина | ложь | истина |
| ложь | истина | истина |
| ложь | ложь | ложь |
| истина | истина | ложь |
| А | В | А ⊕ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.
Таблица истинности операции имеет вид
| А | В | А → В |
| истина | ложь | ложь |
| ложь | истина | истина |
| ложь | ложь | истина |
| истина | истина | истина |
| А | В | А → В |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина.
Таблица истинности операции эквивалентности имеет вид
| А | В | А ∼ В |
| истина | ложь | ложь |
| ложь | истина | ложь |
| ложь | ложь | истина |
| истина | истина | истина |
| А | В | А ∼ В |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
| Сложение по модулю два | А ⊕ В | $(A↖ ∧B) ∧ (A ∧ B↖)$ |
| Импликация | А → В | $A↖ ∨ B$ |
| Эквивалентность | А ∼ В | $(A↖ ∧ B↖) ∨ (A ∧ B)$ |
Примеры решения задач
Пример 1. Определить для указанных значений X значение логического высказывания ((X > 3) ∨ (X 3) ∨ (1 3) ∨ (12 3) ∨ (3 2) → (X > 5)) .
Пример 3. Для каких из приведенных слов ложно высказывание ¬(первая буква гласная ∧ третья буква гласная) ⇔ строка из 4 символов? 1) асса; 2) куку; 3) кукуруза; 4) ошибка; 5) силач.
Решение. Рассмотрим последовательно все предложенные слова:
1) для слова асса получим: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;
2) для слова куку получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;
3) для слова кукуруза получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно;
4) для слова ошибка получим: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — высказывание истинно;
5) для слова силач получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно.
Логические выражения и их преобразование
Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:
- вычисление существующих функциональных зависимостей;
- выполнение алгебраических операций (вначале умножение и деление, затем вычитание и сложение);
- выполнение операций сравнения (в произвольном порядке);
- выполнение логических операций (вначале операции отрицания, затем операции логического умножения, логического сложения, последними выполняются операции импликации и эквивалентности).
В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций.
Пример. Найти значение выражения:
$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b) a + b ∨ A ∧ B)$ для а = 2, b = 3, A = истина, В = ложь.
Решение. Порядок подсчета значений:
1) b a + a b > a + b, после подстановки получим: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, т. е. 17 > 2 + 3 = истина;
2) A ∧ B = истина ∧ ложь = ложь.
Следовательно, выражение в скобках равно (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = истина ∨ ложь = истина;
3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = истина;
Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным.
Построение таблиц истинности логических выражений
Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности, т. е. представить заданную логическую функцию в табличном виде. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции (формулы) и соответствующие значения функции (результаты формулы на заданном наборе значений).
Удобной формой записи при нахождении значений функции является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений функции, также значения промежуточных вычислений. Рассмотрим пример построения таблицы истинности для формулы $↖ ∧ X2 ∨ ↖ ∨ X1$.
| X1 | X2 | $↖$ | $↖$ \ X2 | X1 ∧ X2 | $↖$ | $↖$ ∧ X2 ∨ $↖$ | $↖$ ∧ X2 ∨ $↖$ ∨ X1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой. Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции.
Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: для заданной таблицы построить аналитическую формулу логической функции. Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции.
1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ) — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений.
Алгоритм построения ДНФ следующий:
Пример. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы (строку заголовка при нумерации не учитываем).
Записываем логические произведения аргументов этих наборов, объединив их логической суммой: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .
Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих ложное значение (четвертая строка таблицы; второй набор в формуле; первый и второй элементы): X1 ∧ X2 ∨ $↖$ ∧ $↖$.
2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ) — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений.
Алгоритм построения КНФ следующий:
Примеры решения задач
Пример 1. Рассмотрим предыдущий пример, т. е. построим функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод КНФ. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки (строку заголовка при нумерации не учитываем).
Записываем логические суммы аргументов этих наборов, объединив их логическим произведением: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .
Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих истинное значение (вторая строка таблицы, первый набор формулы, второй элемент; для третьей строки, а это второй набор формулы, первый элемент): X1 ∨ $↖$ ∧ $↖$ ∨ X2.
Таким образом, получена запись логической функции в КНФ.
Полученные двумя методами значения функций являются эквивалентными. Для доказательства этого утверждения используем правила логики: F(X1, X2) = X1 ∨ $↖$ ∧ $↖$ ∨ X2 = X1 ∧ $↖$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $↖$ ∧ $↖$ ∨ $↖$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $↖$ ∧ $↖$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $↖$ ∧ $↖$.
Пример 2. Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности:
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Решение. Используем алгоритм ДНФ для построения исходной функции:
| X1 | X2 | F(X1, X2) | ||
| 1 | 1 | 1 | • | X1 ∧ X2 |
| 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | • | $↖$ ∧ X2 |
| 0 | 0 | 0 |
Искомая формула: X1 ∧ X2 ∨ $↖$ ∧ X2 .
Ее можно упростить: X1 ∧ X2 ∨ $↖$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $↖$) = X2 ∧ 1 = X2.
Пример 3. Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ.
| X1 | X2 | X3 | F(X1, X2, X3) | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | • | X1 ∧ X2 ∧ X3 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | 1 | • | $↖$ ∧ X2 ∧ X3 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | • | X1 ∧ X2 ∧ $↖$ |
| 1 | 0 | 0 | 1 | • | X1 ∧ $↖$ ∧ $↖$ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Искомая формула: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $↖$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $↖$ ∪ X1 ∧ $↖$ ∧ $↖$.
Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить:
X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $↖$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $↖$ ∨ X1 ∧ $↖$ ∧ $↖$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $↖$) ∨ X1 ∧ $↖$ ∧ (X2 ∨ $↖$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $↖$.
Таблицы истинности для решения логических задач
Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
Примеры решения задач
Пример 1. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них.
| X1 | X2 | X3 | Y(X1, X2, X3) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Пример 2. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания?
Решение. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу:
| 1-й урок | 2-й урок | 3-й урок | |
| Информатика | 1 | 1 | 0 |
| Математика | 1 | 0 | 1 |
| Физика | 0 | 1 | 1 |
Из таблицы видно, что существуют два варианта искомого расписания:
- математика, информатика, физика;
- информатика, физика, математика.
Пример 3. В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: футбол, хоккей, лыжи, плавание, теннис, бадминтон. Также известно, что:
- Борис — самый старший;
- играющий в футбол младше играющего в хоккей;
- играющие в футбол и хоккей и Петр живут в одном доме;
- когда между лыжником и теннисистом возникает ссора, Борис мирит их;
- Петр не умеет играть ни в теннис, ни в бадминтон.
Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.
Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта.
| Футбол | Хоккей | Лыжи | Плавание | Бадминтон | Теннис | |
| Петр | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Борис | 0 | 0 | 0 | |||
| Алексей | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что в теннис может играть только Алексей.
| Футбол | Хоккей | Лыжи | Плавание | Бадминтон | Теннис | |
| Петр | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Борис | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| Алексей | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:
| Футбол | Хоккей | Лыжи | Плавание | Бадминтон | Теннис | |
| Петр | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Борис | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Алексей | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Ответ: Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом.
Используя таблицы истинности логических операций, можно точно определить, верна ли функция при определённых значениях. В перечень заносят всевозможные комбинации переменных появляющихся на входе и соответствующие им состояния на выходе. Чаще всего таблицы применяют при проектировании и анализе цифровых схем. При этом в интернете существуют сервисы, с помощью которых построить такого рода сводку не составит труда даже слабо разбирающемуся в этой сфере пользователю.
- Определения и понятия
- Виды логических операций
- Аксиомы и законы
- Алгоритм построения
- Пример задания
- Вычисления онлайн
Определения и понятия
Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.
Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.
Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.
Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.
Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.
Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2 n +1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.
Виды логических операций
В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:
- AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
- OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
- XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
- NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.
В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.
Аксиомы и законы
Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах - истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:
Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.
Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.
Кроме того, используется закон:
- инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
- импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
- эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.
При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.
Алгоритм построения
Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:
- подсчитывают количество переменных n;
- вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
- определяют число логических операций;
- устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
- строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
- заполняют оставшиеся ячейки в таблице.
Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.
Пример задания
Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.
Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:
- Импликация в первой скобке.
- Инверсия во второй скобке переменной A.
- Отрицание во второй скобке неизвестной B.
- Сложение во втором члене.
- Конъюнкция.
В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.
Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой - ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.
Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.
Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.
Вычисления онлайн
В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.
Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.
Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:
- Allcalc.
- Programforyou.
- Uchim.
Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.
Логическая функция — это формула сложного высказывания, состоящая из логических переменных и знаков логических операций. Логическая функция может принимать два значения: истина (\(1\)), ложь (\(0\)).
2. Первую строку таблицы заполняют слева направо, сначала переменными, а потом логическими операциями, учитывая их приоритетность.
2. Построим таблицу. Заполним шапку таблицы сначала переменными, а потом логическими операциями. Первое действие в скобках, второе — отрицание, третье — конъюнкция.
3. Перечислим все возможные значения входных данных. Для того чтобы не пропустить ни одного значения, используют следующее правило: в значение первой переменной записывают \(4\) нуля, затем \(4\) единицы, в значении второй переменной чередуют \(2\) нуля и \(2\) единицы, а значение третьей переменной — чередование \(0\) и \(1\).
Для любого логического выражения можно построить таблицу истинности. Эта таблица наглядно показывает, при каких значениях логических переменных выражение обращается в единицу или является истинным. С помощью составления таблиц истинности можно доказать равенство (или неравенство) двух сложных логических выражений.
- Как построить таблицу истинности
- Как из матрицы построить граф
- Как строить таблицу истинности
Посчитайте количество переменных в выражении. Для n логических переменных понадобится 2^n строк таблицы истинности, не считая строки с заголовками. Затем посчитайте количество логических операций в выражении. Столбцов в таблице будет столько же, сколько операций плюс n столбцов для переменных.
Пусть дано выражение с тремя переменными, записанное на рисунке. Переменных три, поэтому строк потребуется 8. Количество операций - 3, поэтому число столбцов с учетом переменных равно 6. Начертите таблицу и заполните ее заголовок.
Теперь заполните столбцы, надписанные названиями переменными, всеми возможными вариантами переменных. Чтобы не пропустить ни одного варианта, удобно представить для себя эти последовательности нулей и единиц в виде двоичных чисел от 0 до 2^n. Для трех переменных это двоичные числа от 0 до 8 или от 000 до 111 в двоичной системе счисления.
Начинать заполнять таблицу истинности наиболее удобно с заполнения результатов отрицания переменных, поскольку тут не требуется делать каких-то сложных умозаключений. В нашем случае легко заполнить столбец отрицания переменной B.
Затем подставляйте последовательно значения переменных в логические операции, указанные в заголовках столбцов, и записывайте в соответствующие ячейки таблицы, последовательно заполняя таблицу.
Читайте также: