Как сделать сложение и вычитание смешанных чисел
Обновлено: 02.07.2024
В данной статье рассмотрим правила, согласно которым выполняется действие вычитания смешанных чисел. Разберем конкретные примеры и некоторые нюансы при их решении. Изучим вычитание обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа, а также - вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа. Рассматривать вычитание мы будем при условии вычитания из большего числа меньшее.
Вычитание смешанных чисел
Пусть в качестве исходных данных даны два смешанных числа: a b c и d e f , необходимо выполнить вычитание данных смешанных чисел.
Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:
a b c - d e f = a + b c - d + e f
Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел
a b c и d e f , необходимо придерживаться следующих схем вычисления:
- если дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:
b c > e f , то вычитание оптимально будет произвести так:
a b c - d e f = ( a - d ) + b c - e f
Произвести вычитание смешанных чисел: 3 5 6 - 2 4 9 .
Решение
Сравним дробные части смешанных чисел, т.е. 5 6 и 4 9 . Чтобы определить, какая из дробей больше, приведем их к общему наименьшем знаменателю или наименьшему общему кратному: НОК ( 6 , 9 ) = 18 . При этом дополнительным множителем для дроби 5 6 станет 18 : 6 = 3 ; а для дроби 4 9 – 18 : 9 = 2 , поэтому : 5 6 = 5 · 3 6 · 3 = 15 18 и 4 9 = 4 · 2 9 · 2 = 8 18 .
Оценим полученный результат: 15 18 > 8 18 , что означает 5 6 > 4 9 . Т.е. дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, и тогда действие вычитания производится путем раздельного вычитания целых и дробных частей заданных смешанных чисел:
3 - 2 = 1 5 6 - 4 9 = 15 18 - 8 18 = 15 - 8 18 = 7 18
Т.е.: ( 3 - 2 ) + 5 6 - 4 9 = 1 + 7 18 = 1 7 18
Ответ: 3 5 6 - 2 4 9 = 1 7 18
- если дробные части заданных смешанных чисел равны: b c = e f , а, соответственно разность их равна нулю, то результатом вычитания таких смешанных чисел будет разность их целых частей:
a b c - d e f = ( a - d ) + b c - e f = a - d + 0 = a - d
Произвести вычитание смешанных чисел 15 7 10 и 2 7 10 .
Решение
Мы видим, что дробные части заданных чисел равны, т.е. их разность есть нуль. Таким образом, действие вычитания заданных чисел сводится к нахождению разности их целых частей: 15 7 10 - 2 7 10 = 15 + 7 10 - 2 + 7 10 = 15 - 2 + 7 10 - 7 10 = 15 - 2 + 0 = 13
Ответ: 15 7 10 - 2 7 10 = 13
- если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого: b c e f , то действие вычитания оптимально произвести так:
a b c - d e f = a - d - e f + b c
Произвести вычитание смешанных чисел: 26 2 5 - 8 14 15 .
Решение
Проведем сравнение дробных частей заданных чисел, определив для начала наименьший общий знаменатель: НОК ( 5 , 15 ) = 15 , тогда 2 5 = 2 · 3 5 · 3 = 6 15 .
Следовательно: 6 15 14 15 , т.е. дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Таким образом, находить разность заданных смешанных чисел будем так: 26 2 5 - 8 14 15 = 26 6 15 - 8 14 15 = 26 + 6 15 - 8 + 14 15 = = 26 - 8 - 14 15 + 6 15 = 18 - 14 15 + 6 15
Для начала вычтем дробь из натурального числа (в скобках): 18 - 14 15 = ( 17 + 1 ) - 14 15 = 17 + 1 + 14 15 = 17 + 1 1 + 14 15 = = 17 + 15 15 - 14 15 = 17 + 1 15
Тогда 18 - 14 15 + 6 15 = 17 + 1 15 + 6 15 = 17 + 1 15 + 6 15 = = 17 + 7 15 = 17 7 15
Ответ: 26 2 5 - 8 14 15 = 17 7 15 .
Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа
Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.
Найти разницу: 3 5 6 - 4 15
Решение:
Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК ( 6 , 15 ) = 30 , тогда 6 5 = 5 · 5 6 · 5 = 25 30 и 4 15 = 4 · 2 15 · 2 = 8 30 .
Таким образом, 5 6 > 4 15 .
В итоге вычитание возможно произвести так: 3 5 6 - 4 15 = 3 + 5 6 - 4 15 = 3 + 5 6 - 4 15 = 3 + 25 30 - 8 30 = 3 + 17 30 = 3 17 30
Ответ: 3 5 6 - 4 15 = 3 17 30
Произвести действие вычитания: 1 2 7 - 3 7
Решение
Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что 2 7 меньше, чем 3 7 .
Тогда находить разницу будем так:
1 2 7 - 3 7 = 1 + 2 7 - 3 7 = 1 - 3 7 + 2 7 = 1 1 - 3 7 + 2 7 = = 7 7 - 3 7 + 2 7 = 4 7 + 2 7 = 6 7
Ответ: 1 2 7 - 3 7 = 6 7 .
Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:
16 3 11 - 3 11 = 16 + 3 11 - 3 11 = 16 + 3 11 - 3 11 = 16 + 0 = 16
Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.
Вычислить значение разности: 7 5 12 - 19 9 .
Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 19 9 = 2 1 9
Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:
7 5 12 - 2 1 9 = 7 + 5 12 - 2 + 1 9 = 7 - 2 + 5 12 - 1 9 = = 5 + 15 36 - 4 36 = 5 + 11 36 = 5 11 36
Ответ: 7 5 12 - 19 9 = 5 11 36 .
Вычитание натурального числа из смешанного
Для совершения действия вычитания натурального числа из смешанного, необходимо вычесть заданное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений: a b c - n = a - n + b c
Необходимо вычесть из смешанного числа 151 15 28 натуральное число 44 .
Решение: 151 15 28 - 44 = 151 + 15 28 - 44 = 151 - 44 + 15 28 = 107 + 15 28 = 107 15 28
Ответ: 151 15 28 - 44 = 107 15 28
Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби
Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.
Необходимо выполнить вычитание: 74 9 - 6 1 2
Решение
В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: 74 9 = 8 2 9 , тогда заданный пример примет вид: 74 9 - 6 1 2 = 8 2 9 - 6 1 2
Найдем наименьший общий знаменатель: НОК ( 9 , 2 ) = 18 .
Получим: 2 9 = 2 · 2 9 · 2 = 4 18 и 1 2 = 1 · 9 2 · 9 = 9 18 .
8 2 9 - 6 1 2 = 8 4 18 - 6 9 18 = 8 + 4 18 - 6 + 9 18 = 8 - 6 - 9 18 + 4 18 = = 2 - 9 18 + 4 18 = 1 + 1 - 9 18 + 4 18 = 1 + 1 - 9 18 + 4 18 = = 1 + 1 - 9 18 + 4 18 = 1 + 9 18 + 4 18 = 1 + 9 18 + 4 18 = = 1 + 9 + 4 18 = 1 + 13 18 = 1 13 18
Ответ: 74 9 - 6 1 2 = 1 13 18
Вычитание смешанного числа из натурального
Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:
n - a b c = n - a + b c = n - a - b c
Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.
Решение
18 - 5 3 5 = 18 - 5 + 3 5 = 18 - 5 - 3 5 = 13 - 3 5 = 12 + 1 - 3 5 = = 12 + 1 - 3 5 = 12 + 1 1 - 3 5 = 12 + 5 5 - 3 5 = 12 + 5 - 3 5 = = 12 + 2 5 = 12 2 5
Да, верно. В правой стороне равенства у нас смешанная запись, но по сути она означает то же самое, что и сумма слагаемых в левой части равенства.
Таким образом, любую смешанную дробь можно представить как сумму целого числа и дроби.
$$a\frac = a + \frac$$
Теперь рассмотрим такой пример. У нас есть $1\frac$ груши, мы взяли ещё $2$.
Мы знаем, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому переставим слагаемые так, как нам удобно. Получится вот так:
То есть мы просто взяли и сложили целые груши вместе, а половинка так и осталась половинкой.
Чтобы сложить натуральное (целое) и смешанное число, надо сложить целое число с целой частью смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.
А что, если нам нужно вычесть целое число из смешанного?
Мы также расположим цифры так, чтобы нам было удобно:
Чтобы вычесть целое число из смешанного, нужно вычесть целое число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.
Вычитание смешанного числа из целого
С вычитанием смешанного числа из целого будет ненамного сложнее. Тут нужно вспомнить, как вычитаются дроби из целого числа.
У Никиты было 3 груши. Он захотел поделиться с Леной и отдать ей полторы груши, то есть $1\frac$. Как он будет это делать?
Для начала он отдаст одну грушу, а потом одну из оставшихся разделит пополам и отдаст Лене половинку, а вторую половинку возьмёт себе.
Распишем решение подробно. Для начала сгруппируем цифры так, чтобы вычитать целую часть дроби из уменьшаемого.
Никита разрезал грушу, у него получилось $\frac$. Теперь осталось отдать половинку Лене, и задача будет решена (рисунок 3, б).
Читайте также: