Как сделать систему координат
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 04.10.2024
Объекты на карте связаны с реальными объектами на местности с помощью пространственных координат. Местоположение объектов на поверхности земли определяется при помощи географических координат. Хотя географические координаты хорошо подходят для определения местоположения объекта, они не годятся для определения его пространственных характеристик, таких как длина, площадь и т.д., так как географические широта и долгота не являются однозначными единицами измерения. Градус широты равен градусу долготы только на экваторе. Для преодоления этих трудностей, данные переводят из сферических географических координат, в прямоугольные спроектированные координаты.
Системы координат в которых осуществляется ввод данных и работа в ГИС могут отличаться от систем координат вывода. Например оцифровка материалов может проводиться в одной проекции, а составление макета карты и вывод данных на печать - в другой.
Географическая и спроектированная системы координат
Таким образом, существует 2 типа систем координат: географические системы координат и спроектированные системы координат.
Географическая система координат использует сферические (то есть трехмерные) угловые географические координаты (широту и долготу) базирующиеся одном из эллипсоидов (например, WGS 1984 или эллипсоиде Красовского). Эллипсоид (или сфероид) - фигура упрощенно описывающая форму Земли, характеризуется размерами большой и малой полуосей. Для представления географической системы координат визуально на плоскости (например на экране компьютера) иногда представляют широту как Y, долготу как X. В этом случае сеть меридианов и параллелей представляет собой на плоскости сетку с одинаковых размеров ячеей и выглядит таким образом:
Такое представление иногда называют географической проекцией.
Спроектированная система координат - прямоугольная система, с началом координат в определенной точке, чаще всего имеющей координаты 0,0. Спроектированная система координат связана с географической набором специальных формул - проекцией.
Локальная система координат
Не привязанные данные находятся в так называемой локальной системе координат, которая также является прямоугольной (у нее также есть начало координат и оси), но не имеет прямой связи с географической системой, то есть прямой пересчет из нее в географическую с помощью проекции невозможен (пример таких данных - отсканированная карта). То есть, получив данные в спроектированной системе координат, но не зная в какой именно системе эти данные находятся, можно также говорить, что данные находятся в локальной системе координат.
Распространенные географические системы координат.
Самыми распространенными системами координат для территории России являются: универсальная общеземная система WGS-84 (World Geodetic System - 1984) базирующаяся на эллипсоиде WGS-84 с центром в центре масс земли и референцная (используемая в России и некоторых окружающих странах) - Pulkovo-1942 (СК-42) базирующаяся на эллипсоиде Красовского, начало координат смещено относительно центра масс расстояние около 100 м (поэтому эта система и носит название референцной или относительной). Система WGS-84 широко применяется зарубежом, ее используют практически для всех данных производимых в мире. СК-42 широко используется в российской картографии, на ней основаются все топографические материалы ВТУ ГШ РФ (Военно-топографического управления Генерального штаба Российской Федерации).
Проекция
Проекция - набор математических формул, использующаяся для преобразования сферической поверхности в плоскость.
Виды проекций
По типу поверхности на которую осуществляется проектирование проекции разделяются на:
Конические (проектирование сфероида на коническую поверхность)
Цилиндрические (проектирование сфероида на цилиндрическую поверхность)
Азимутальные (проектирование сфероида на плоскость касательную сфероида)
По характеру искажений вносимых в содержание карты после проектирования карты проекции делятся на равноплощадные (отсутствуют искажения площадей), равноугольные (отсутствуют искажения углов и, следовательно формы объектов), равнопромежуточные (отсутствуют искажения длин - расстояния остаются неизменными в определенных направлениях). Существуют также проекции в которых искажения минимизированы сразу по двум или трем показателям (углы, длины, площади). Проекций в которых сохранялся бы масштаб длин во всех направлениях не существует.
Распространенные проекции
Достаточно широко распространены в России и мире группы проекций UTM (Universal Transverse Mercator) и ГК (Гаусса-Крюгера, больше распространена в России и странах Восточной Европы). Обе этих группы базируются на одной поперечной проекции Меркатора (Transverse Mercator), однако имеют различную номенклатуру (нумерацию зон) и параметры проекций для каждой зоны.
Переход между системами координат
Последнее время, с развитием спутниковой навигации, проблема перехода из универсальной общеземной системы координат используемой приборами GPS - WGS84 в другие системы координат , например СК-42 (Pulkovo 1942) встает особенно явно. Для перехода из одной системы координат в другую используется набор параметров определяющих отличие эллипсоида на котором базируется одна СК от другого. Это т.н. линейные элементы трансформирования определяющие сдвиг центра масс эллипсоида относительно общеземного и угловые элементы трансформирования определяющие соответственно поворот эллипсоида относительно общеземного. Обычная разница между одними и теми же координатами в разных системах составляет порядка 150 метров. Если вы видите, что одни ваши данные равномерно смещены относительно других слоев на эту величину, то скорее всего вы используете данные находящиеся в разных системах координат, например одновременно используются данные в WGS84 и Pulkovo 1942.
Файл описания проекции
Проекция данных записывается в специальный файл (имеющий расширение prj), в котором указывается система координат, проекция, единицы измерения и другие данные, важные для пространственной привязки данных. Без этого файла, определение проекции данных может быть затруднительно. Этот файл помогает ГИС определить пространственную привязку данных и перевести их в другую проекцию, если такая команда будет дана ГИС.
Подробнее о проекциях и системах координат:
Часто задаваемые вопросы по координатам, проекциям, системам координат >>>
Практическая часть
В практической части этой главы Вы научитесь:
- Назначать и менять систему координат фрейму данных;
- Узнавать систему координат слоев для которых она указана;
- Правильно отображать данные в разных системах координат;
- Менять систему координат данных с созданием нового слоя.
Упражнение 1. Назначение спроектированной системы координат фрейму данных
- Создайте новый проект ex3.mxd
- Выберите свойства набора данных (на данный момент единственного)
Выбор свойств набора данных может осуществляться двумя способами:
- нажатием правой кнопкой мыши на названии набора данных в таблице содержания вида
- или выбором в главном меню в закладке View\Data Frame Properties.
В свойствах фрейма данных необходимо выбрать закладку Coordinate System и указать систему координат из папки Predefined (спроектированную - из папки Projected Coordinate Systems или географическую - из папки Geographic Coordinate Systems). С помощью кнопки Modify. параметры любой системы координат или проекции могут быть изменены. Используя кнопку New вы можете создавать новые проекции c необходимыми Вам параметрами.
Кроме задания парметров проекции необходимо указать используемую географическую систему координат. Для этого нажмите кнопку Select и из папки Europe выберите систему координат Pulkovo 1942.prj
Как Вы увидите, вновь созданная проекция добавилась в папку
Часто бывает так, что заданные вручную параметры проекции необходимо будет использовать многократно. Для того, чтобы не прописывать эти параметры каждый раз заново, Вы можете сохранить свою проекцию в папку Favorites. Для этого необходимо нажать кнопку Add To Favorites
Упражнение 2. Смена географической системы координат
- В созданный на предыдущем шаге проект с заданной проекцией загрузите растровую карту Висимского заповедника File\Add Data\. \chapt08\o40-24.tif (путь к папке определяется тем, куда вы распаковали архив с упражнением)
- Ответьте "нет" на вопрос о создании пирамидных слоев. Данные слои помогают ускорить отображение больших растров, в данном случае они нам не понадобятся.
Данный пример иллюстрирует особенности работы в ArcGIS с данными, находящимися в разных системах координат и особенности "поведения" ПО, необходимые при этом учитывать.
Упражнение 3. Экспорт данных в другой системе координат (перепроектировка)
- В результате предыдущего упражнения, на экране мы фактически получили все слои в одной системе координат - Pulkovo 1942. Однако, это сохраняется только в проекте, загрузив эти же данные в другой проект, нам придется заново устанавливать необходимые настройки. Для хранения данных в определенной системе координат постоянно может возникнуть необходимость для этих слоев навсегда задать эту систему координат.
- Используя результаты предыдущего проекта, щелкните правой кнопкой на теме, которую вы хотите сохранить в текущей проекции и системе координат фрейма данных.
- Выберите Data\Export Data. (Данные\Экспорт данных).
- В открывшемся окне, установите переключатель в положение Use the same Coordinate System as the data frame (для экспортируемого слоя использовать систему систему координат равную системе координат фрейма данных).
- После экспорта будет предложено добавить экспортированный и сконвертированный слой добавить в проект - сделайте это.
- Удалите предыдущую тему в системе координат WGS84.
- Отмените проектирование фрейма данных, выбрав его свойства, систему координат и нажав кнопку Clear (Очистить). При этом, так как система координат фрейму данных не задается, все слои будут показываться в той системе координат, в которой они находятся изначально, без проектирования "на лету" ArcGIS.
- Как мы видим, слой границ все так же хорошо соответствует топографической карте и в свойствах этих двух слоев значится одинаковая спроектированная система координат.
Данное упражнение иллюстрирует один из способов перевода данных из одной системы координат в другую, так чтобы новая система координат была закреплена за данными постоянно, независимо от того, в какую систему координат имеет набор данных.
Нажмите для просмотра видеоурока
Освой AutoCAD за 40 минут пройдя базовый курс от Максима Фартусова.
Текстовая версия урока:
Привет дорогой друг! В данном уроке мы по шагам разберемся с вопросом “как работать с системой координат в AutoCAD.”
Вопрос 1. Как включить отображение координат в Автокаде рядом с курсором?
Следует отметить тот факт, что для удобства в Автокаде есть возможность отображать текущие координаты около курсора, работает это при включенном динамическом вводе (см. картинки ниже).
Если динамический ввод отключен, следует на панели режимов найти кнопку и нажать на нее. Она выглядит вот так, смотри картинку ниже.
Если такой кнопки нету, ее нужно добавить на панель режимов. Для этого кликаем по иконке “список”, она находится в самом крайнем правом нижнем углу экрана. В списке нам нужно поставить галочку напротив “динамический ввод”.
При включенном динамическом вводе (кнопка должна гореть синим) у Вас будут отображаться координаты курсора при выборе любого инструмента рисования. Например, если мы начнем чертить прямоугольник, то около курсора будут отображаться координаты в Автокаде, это нам и нужно.
Вопрос 2. Как вводить координаты в AutoCAD?
Нужно понимать, что все координаты вводятся относительно АБСОЛЮТНОГО начала координат в Автокаде. Т.е. от нуля. Сначала нужно ввести координату по оси X, а затем, с помощью клавиши TAB ввести координаты по оси Y, затем нажать ENTER. После таких манипуляций мы поставим первую точку нашего прямоугольника по нужным координатам. Давайте рассмотрим на примере.
Делается это очень просто.
Шаг 1. Для ввода координат с клавиатуры, требуется выбрать сначала любой инструмент для рисования. Возьмем все тот же прямоугольник и введем координату по оси X, скажем 4000.
Теперь, чтобы задать координату по оси Y следует нажать на клавишу TAB, она находится вот тут
Шаг 2. Вводим координату по оси Y, 5000.
Шаг 3. Мы поставили первую точку прямоугольника с координатами в Автокаде. Теперь мы можем поставить вторую точку прямоугольника.
Шаг 4. Вторая точка в любом инструменте проставляется относительно уже первой заданной точки. Проще говоря, теперь наша первая точка является нулем отсчета для второй.
Введем для разнообразия значения координат в Автокаде с такими параметрами, по оси X 600, а по оси Y -300. Следовательно, ширина прямоугольника у нас будет, верно, 600 единиц, а высота 300. Но т.к. по оси Y мы задаем значение с минусом, то и сторона уйдет как бы вниз.
Шаг 5. После ввода координат следует нажать ENTER. Еще раз хочу донести до Вас эту мысль. Вторая точка, угол если хотите, ставится относительной первой точки или угла. Поэтому вводя координаты для второй точки, мы автоматически задаем геометрический размер нашему прямоугольнику.
Вопрос 3. Как перенести начало координат в AutoCAD?
Перенести координаты не составляет труда, это очень просто и порой очень удобно для работы, особенно если требуется совместить начало координат в Автокаде с каким-то объектом. Давайте рассмотрим по шагам, как выделить и переместить координаты.
Шаг 1. Для перемещения координат, их нужно выделить. Для этого наводим курсор мышки на любое место координат и кликаем левой кнопкой мыши.
Шаг 2. Если Вы все верно сделаете, то у наших осей покажутся синие ручки.
Шаг 3. Дальше, для переноса координат требуется навести на квадратную ручку и выбрать пункт “Перемещение только начала координат”.
Шаг 4. После этого, мы можем перемещать нашу координату куда нам угодно.
В нашем случае, мы соединим абсолютные координаты в Автокаде с нижней правой точкой нашего прямоугольника. Для этого нужно лишь переместить ее и совместить…
Соединяем координаты с точкой прямоугольника.
Готово! Мы взяли наши координаты и переместили их к одному из углов нашего прямоугольника.
Вопрос 4. Как повернуть оси в AutoCAD?
Для того, чтобы повернуть координаты в Автокаде, следует их заново выделить и навести курсор мышки на одну из осей. Если точнее, то на синий кружочек, маркер.
Шаг 1. Наводим на круглый синий маркер.
Шаг 2. Требуется выбрать параметр “Поворот вокруг оси Z”, чтобы координаты остались в той же плоскости, но повернулись вокруг себя.
Шаг 3. Можно ввести угол поворота или задать его произвольно. Мы решили повернуть на -40 градусов (с отрицательным значением). Нажимаем ENTER.
Шаг 4. Обратите внимание, вспомогательная сетка тоже поменяла угол вместе с координатами.
Вопрос 5. Как вернуть начало координат назад в AutoCAD?
Если нам потребуется вернуть наши координаты в Автокаде туда, где они были, т.е. вернуть их в место по умолчанию, то требуется сделать следующие простые шаги.
Шаг 1. Выделяем опять координаты, наводим на квадратик и выбираем “Мировая СК”
Шаг 2. После выбора команды “Мировая СК”, все станет как раньше и координаты и вспомогательная сетка.
А на этом у нас все!
Подведем итоги. Координаты в Автокаде являются важной частью мира проектирования. С помощью координат, программа AutoCAD узнает куда нужно ставить ту или иную точку в пространстве, также координаты позволяют упростить ряд расчетов и сделать проект еще точнее.
Если урок был для Вас полезным, дайте об этом знать в комментариях под этой статьей. Если возникли вопросы тоже смело пишите. Спасибо Вам за внимание дорогие друзья!
Если вы находитесь в некоторой нулевой точке и размышляете над тем, сколько единиц расстояния нужно пройти строго вперёд, а затем - строго вправо, чтобы оказаться в некоторой другой точке, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. А если точка находится выше плоскости, на которой вы стоите, и к вашим расчётам добавляется подъём к точке по лестнице строго вверх также на определённое число единиц расстояния, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .
С именем французского математика Рене Декарта (1596-1662) связывают прежде всего такую систему координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми. Помимо прямоугольной существует общая декартова система координат (аффинная система координат). Она может включать и не обязательно перпендикулярные оси. Если же оси перпендикулярны, то система координат является прямоугольной.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.
Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.
Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.
С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a; b) удовлетворяют уравнению (x - a)² + (y - b)² = R² .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс, другую - осью Oy , или осью ординат. Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.
Декартовыми прямоугольными координатами x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М называются соответственно её абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M(x, y) .
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.
Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат.
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.
Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс, другую - осью Oy , или осью ординат, третью - осью Oz , или осью аппликат. Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.
Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Ox . Эта плоскость пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .
Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .
Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой, ординатой и аппликатой.
Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .
Задачи о точках в декартовой системе координат
Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:
Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:
Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox .
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Ox направленный отрезок, идущий от оси Ox до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :
Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M(x; y) , если
Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Продолжаем решать задачи вместе
Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :
Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:
Пример 8. В декартовой системе координат в пространстве даны точки
Найти координаты проекций этих точек:
1) на плоскость Oxy ;
2) на плоскость Oxz ;
3) на плоскость Oyz ;
4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат;
6) на ось апликат.
1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :
2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :
3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :
4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:
5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:
6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:
Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
7) начала координат.
1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :
2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :
3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :
По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.
4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:
5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:
6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:
7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат:
Современные технологии позволяют в несколько кликов поделиться с другом нашим месторасположением. Достаточно зайти в гугл карты и пошерить координаты точки. В этом материале узнаем, как такое же действие отобразить на бумаге.
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
- Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
- Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
- Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Читайте также: