Как сделать сечение в геогебре

Обновлено: 05.07.2024

Mathematical experiment in GeoGebra program as one of the means of integration of geometry and Informatics lessons

Vendina Alla Anatolyevna
candidate of physical and mathematical Sciences associate Professor of mathematics and Informatics, Stavropol state pedagogical Institute, Russia, Stavropol
Mironenko Olga Ivanovna
5th year student of the pedagogical faculty, Stavropol state pedagogical Institute, Russia, Stavropol

Одним из требований федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования к результатам освоения основной образовательной программы является формирование у школьников метапредметных результатов обучения, среди которых важное место занимает овладение учащимися навыками учебно-исследовательской деятельности [9, с. 7]. Исследовательская работа со школьниками на всех этапах обучения регламентируется и в Концепции развития математического образования, как одно из приоритетных направлений работы со школьниками [6]. Как отмечается в работах [1; 10, с.18], проведение исследований на уроках математики способствует формированию у обучаемых познавательного интереса, самостоятельной активности, развитию логического, творческого и абстрактного мышления, а также улучшению мотивации к обучению. Кроме того, учебно-исследовательская деятельность помогает ученикам самостоятельно открывать новые знания, что влечет за собой более прочное их усвоение.

Геометрия, как школьный предмет, позволяет организовывать исследовательскую деятельность с обучаемыми, а одним из видов такой деятельности является математический эксперимент, который можно отнести к формам интерактивной работы, так как он позволяет обеспечить диалоговое взаимодействие преподавателя и учащихся в процессе решения образовательных задач [4]. Привлечение информационно-коммуникационных технологий для его реализации позволяет проводить в школе интегрированные уроки математики и информатики, что, к тому же, способствует укреплению межпредметных связей [8].

Как известно, изучать стереометрию без наглядного представления объемных тел практически невозможно. Использование компьютерных моделей позволяет сделать этот процесс более эффективным и понятным для учеников. Кроме того, применение ИКТ не только повышает мотивацию школьников к проведению исследования, но и открывает возможности компьютерных программ для решения учебных задач [5].

Для проведения экспериментальной работы нами была выбрана программа GeoGebra, так как она позволяет строить различные геометрические тела и их сечения; определять форму полученного сечения; менять его; находить площади фигур, полученных в результате пересечения тела плоскостью и многое другое. Важно отметить, что данная программа дает возможность манипулировать объектами, менять их внешний вид в зависимости от значений управляющих параметров.

Рассмотрим следующую исследовательскую задачу: ученикам необходимо определить, какие кривые получаются в сечении при пересечении конуса плоскостью. Ее решение можно реализовывать в 11 классе на интегрированном уроке, который проводят два учителя: математики и информатики. Сечения объемных тел плоскостью – одна из сложных тем курса стереометрии, изучению которой в школе отводится минимальное количество времени, однако задачи на сечение широко представлены в профильном едином государственном экзамене по математике, что, соответственно, требует детальной проработки данной темы на уроках геометрии.

Первый этап эксперимента – работа с понятиями. Здесь происходит сбор и анализ теоретического материала.

В начале эксперимента учитель математики предлагает школьникам вспомнить (или изучить) определения из курсов стереометрии и планиметрии, а именно: коническая поверхность, конус, его ось и образующая, сечение, плоскость, плоскость, параллельная прямой, плоскость, перпендикулярная плоскости, геометрическая модель, окружность, треугольник, эллипс.

Учитель информатики предлагает сформулировать понятия: моделирование, модель, виды моделей, компьютерное моделирование. Ученики также вспоминают компьютерные программы, в которых они строили модели различных процессов или модели геометрических фигур.

Второй этап эксперимента – выдвижение гипотез обучаемыми. Здесь ученики предполагают, какие фигуры могут получиться при пересечении конуса плоскостью, например: треугольники, круги, эллипсы или другие произвольные фигуры.

Третий этап эксперимента – проверка гипотез с помощью компьютерного моделирования. Он включает в себя создание модели конуса и выявление возможных сечений при пересечении конуса плоскостью в программе GeoGebra.

В том случае, если ученики сталкиваются впервые с программой GeoGebra, учителю информатики необходимо с ней познакомить. При ее запуске появляется основное окно, в котором можно выделить следующие области (рис. 1):

1. Главное меню, открывающее доступ к возможностям, предоставляемым программой.

2. Панель инструментов – это набор кнопок быстрого доступа к инструментам создания геометрических конструкций в графическом окне с использованием мыши.

3. Графическое окно – область для отображения геометрических конструкций.

4. Панель объектов – это область для отображения информации о геометрических объектах геометрической конструкции, изображенной в графическом окне. Выданная информация содержит сведения о виде геометрического объекта, символьных обозначениях, координатах или уравнениях.

Рисунок 1. Основное окно программы GeoGebra

Третий этап эксперимента проводят оба учителя, при этом учитель математики здесь, прежде всего, выполняет роль консультанта, комментируя ответы учащихся о полученных фигурах в сечении. Учитель математики также обсуждает с учениками математическую составляющую иследования, например, координаты точек, которые позволят провести нужную секущую плоскость.

Программа GeoGebra имеет несколько режимов работы, школьникам необходимо выбрать в меню Вид опцию 3D Graphics (или Полотно 3D). Данный режим разделен на две области – Алгебраический вид и Графический вид и предназначен для работы с трехмерными объектами. Каждый режим содержит собственную панель инструментов, необходимых для работы в нем. Для активации инструмента достаточно нажать на соответствующий значок. При выборе инструмента в нижней части окна GeoGebra появляется подсказка, объясняющая, как его использовать.

Для проведения эксперимента в нашем случае используются следующие инструменты:

построение многогранников и тел вращения;
построение плоскости;
кривая пересечения (данный инструмент помогает определить, какая кривая получается при пересечении тела плоскостью);
ползунок (инструмент, позволяющий с помощью переменных осуществлять автоматическое перемещение и изменение объекта. Ползунок является управляющим параметром построенной геометрической модели).

Для построения конуса учащимся необходимо выбрать на панели инструментов Построение многогранников и тел вращения –> Построение конуса. При построении необходимо определить две точки: центр круга – основание конуса и высоту конуса (точки можно указать на чертеже или ввести в алгебраическую область, определив их координаты). После указания двух точек программа предлагает ввести радиус основания конуса, и после в графической области программы появляется изображение конуса (рис. 2).

Рисунок 2. Конус в программе GeoGebra

Далее рассмотрим возможные сечения конуса плоскостью.

В первую очередь построим сначала самый простейший случай – осевое сечение. Школьники строят предположения о том, как можно построить плоскость, проходящую через ось конуса, что для этого необходимо знать. В результате обсуждения школьники могут прийти к следующему варианту ответа: чтобы провести плоскость, необходимо выбрать следующие инструменты Построение плоскости –> Построение плоскости через три точки и обозначить три точки на чертеже или ввести их значения в алгебраическую область и отметить их на чертеже. Через эти три точки будет проведена плоскость (рис. 3).

Рисунок 3. Построение осевого сечения

Отметим, что данная плоскость перпендикулярна основанию, а, значит, ее можно построить, используя инструмент Перпендикулярная плоскость.

Определить, что получилось в результате сечения, можно с помощью инструмента Кривая пересечения. При наведении курсора на линию пересечения программа определяет кривую, полученную в результате сечения, а с помощью правой кнопки мыши можно создать ее 2D вид на плоскости. В итоге, мы увидим, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник.

Использование ползунка позволяет организовать передвижение секущей плоскости вдоль оси абсцисс. Для этого выберем инструмент Ползунок и зададим необходимые параметры (шаг и диапазон значений). На дополнительно появившейся области наблюдаем, как будет перемещаться плоскость в зависимости от изменения положения слайдера (черной точки) (рис. 4).

Рисунок 4. Задание ползунка на панели 2D

После активации ползунка плоскость начинает перемещаться. Наблюдаем, что только при расположении плоскости перпендикулярно основанию, осевое сечение образует равнобедренный треугольник, а в остальных случаях мы получаем часть плоскости, ограниченной снизу отрезком, а сверху плавной кривой (рис. 5).

Рисунок 5. Движение плоскости вдоль оси абсцисс

Проведем теперь секущую плоскость так, чтобы она проходила через вершину конуса под разными углами к плоскости основания (рис. 6).

Рисунок 6. Пересечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину

Мы видим, что в этом случае сечение также имеет форму равнобедренного треугольника.

Ученики могут предлагать варианты построения секущей плоскости, проходящей через вершину конуса, используя различные инструменты программы GeoGebra. Полагаем, что их рассуждения необходимо проверять экспериментально и после делать выводы о том, какой способ оказался легче, что будет способствовать развитию вариативности мышления учащихся и умению моделировать геометрические объекты.

С помощью инструментов Параллельная плоскость, Перпендикулярная плоскость или Плоскость, проходящая через три точки школьники могут построить плоскость, параллельную основанию конуса. На чертеже можно увидеть, что в сечении получается круг (рис. 7).

Рисунок 7. Пересечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Изменяя угол расположения секущей плоскости, делаем вывод, что круг в сечении круг получается только тогда, когда плоскость параллельна основанию. В остальных случаях получается эллипс, о чем можно узнать, используя инструмент Кривая пересечения.

На четвертом этапе эксперимента старшеклассники обсуждают алгоритмы действий, приводящих к полученному результату, подводят итоги выполненной работы, формулируют выводы о полученных при пересечении конуса плоскостью фигурах.

В заключение отметим, что проведение эксперимента с помощью программы GeoGebra на интегрированном уроке геометрии и информатики способствует достижению следующих предметных результатов по геометрии и информатике:

владение понятиями: тело вращения (конус), его сечения и умение их применять при решении задач;
построение сечения тел вращения;
оперирование на базовом уровне понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей;
определение результата выполнения алгоритма при заданных исходных данных;
пошаговое выполнение (с использованием компьютера или вручную) несложных алгоритмов;
использование готовых прикладных компьютерных программ в соответствии с типом решаемых задач;
использование компьютерно-математических моделей для анализа соответствующих объектов или процессов;
проведение экспериментов с помощью компьютера.

Таким образом, выполнение экспериментальной деятельности на уроках математики с привлечением ИКТ способствует достижению целого ряда образовательных результатов обучения и соответствует основным направлениям применения ИКТ в образовании [2]: управление реальными объектами, организация и проведение компьютерных экспериментов с виртуальными моделями, осуществление целенаправленного поиска информации.

← Предыдущая статьяМногогранность педагогических приемов, используемых в процессе слушания музыки с дошкольниками, как основа музыкально-эстетического развития

GeoGebra — самая популярная в мире бесплатная математическая программа. С помощью обучающей программы по математике, можно будет выполнить множество полезных вещей: анализировать функции, строить графики, решать задачи, работать с функциями и т. д.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т. п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа ГеоГебра обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т. д. В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android.

С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.

После запуска GeoGebra на компьютере, ознакомимся с интерфейсом программы.

Интерфейс GeoGebra

Интерфейс программы GeoGebra напоминает графический редактор. Программу можно использовать для черчения, но это не основное предназначение приложения.

Давайте рассмотрим основные элементы интерфейса программы GeoGebra:

Далее попытаемся выполнить некоторые элементарные действия в программе GeoGebra.

Построение графика функции в GeoGebra

Вы можете перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом, в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

Вы можете добавить в уравнение переменные параметры, например, следующие (введите их строку ввода поочередно):

В рабочей области появится еще одна парабола, смещенная влево на одну единицу. Кликнув по графику, вы можете из открывшегося контекстного меню производить необходимые действия.

Создание треугольника в GeoGebra

После этого нарисуйте треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, вы можете ввести точные координаты. Для этого вам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

Geogebra online

Расширение GeoGebra

Создано расширение GeoGebra для браузера Google Chrome. Обратите внимание на количество пользователей расширения: более 2.6 миллиона человек. Немногие расширения из магазина Chrome могут сравниться с такими цифрами. Это свидетельствует о том, что приложение GeoGebra широко используется в мире для образовательных целей.

Дополнительные материалы по работе в программе, вы можете найти на сайте производителя приложения, и в интернете.

Выводы статьи

Бесплатная программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью программы GeoGebra (ГеоГебра) можно обучаться или работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру, другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

6) Із точки до площини проведено похилу АВ і перпендикуляр АО. Знайдіть AB, Якщо ВО = 6 см, AO = 8 см. А) 6 см Б) 7 см В) 8 см Г) 10 см 7) Із точки А … проведено до площини а перпендикуляр АС та похилі АВ і AD. Знайдіть довжину похилої АВ, якщо 2ABC=45°, AD=20 см, CD=12 см. 8) Відрізок DA - перпендикуляр до площини трикутника ABC, AB = 10 см, AC = 17 см, ВС = 21 см. Знайти відстань від точки D до прямої ВС, якщо відстань від точки D до площини ABC дорівнює 15 см. 9) З точки до площини проведено дві похилі, відношення яких 17:10. Їх проекції 15 см і 6 см. Знайти відстань від точки до площини.

Найди площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна 18 см2, а угол между плоскостью многоуго … льника и плоскостью проекции равен 30°

Читайте также: