Как сделать сечение в четырехугольной пирамиде

Обновлено: 06.07.2024

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Элементы правильной пирамиды

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

в основании должен находиться правильный многоугольник;
боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Объем пирамиды

Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:

S h> , где S — площадь основания, h — высота пирамиды.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Правильная пирамида с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

сторона основания;
боковое ребро;
апофема боковой грани;
высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

Задание 8. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 9. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

1-й способ. Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат со сторонами 9. Сечение проходит точно по центру боковых граней, следовательно, оно представляет собой квадрат со сторонами в 2 раза меньшими, чем основание, т.е. по 4,5. Площадь квадрата со сторонами 4,5, равна

2-й способ. Если все ребра пирамиды равны, то гранями пирамиды являются равносторонние треугольники, у которых углы равны 60 градусов, а высота делит основание пополам и является биссектрисой угла.

Рассмотрим грань пирамиды (равносторонний треугольник), чтобы определить длину ребра сечения .

Рассмотрим прямоугольный треугольник с и углом , т.к. высота является и биссектрисой. Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, т.е.

Плоскость сечения представляет собой квадрат, и соответственно, его площадь равна

Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоско стью, проходящей через сторону основания и точку на од ном из боковых ребер.

Дано: ABCDS-четырехугольная пирамида; Построить: Сечение плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на одном из боковых ребер; Решение: 1) Пусть M-произвольная точка на ребре SC; 2) Искомое сечение проходит через ребро AB и точку M; 3) Так как точки B и M, лежат в одной плоскости BCS, то сечение будет пересекать эту грань по отрезку BM; 4) Отметим точку N на пересечении прямых BA и CD, тогда точка N лежит на пересечении плоскостей BAS и SDC; 5) Проведем отрезок MN, он пересечет ребро SD в точке K, тогда K лежит в плоскости BMA и плоскость пересечет грань DCS по отрезку MK; (Если бы ребра BA и CD были параллельны, то отрезок MK был бы параллелен BA); 4) Так как точки A и K, лежат в одной плоскости ADS, то сечение будет пересекать эту грань по отрезку AK; 5) Таким образом, сечение ABMK-искомое;

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

Читайте также: