Как сделать развернутый угол
Обновлено: 05.07.2024
В прошлом уроке мы познакомились с понятием угла, теперь настало время узнать, какие виды углов существуют.
Равные углы
Возьмём лист бумаги и изобразим на нём угол DEF. Теперь сложим листок так, чтобы лучи ED и EF совпали, и по полученному сгибу проведём луч EG.
Так как совпадают стороны угла DEF, то совпадают ∠DEG и ∠FEG.
Если два угла совпадают при наложении, то они называются равными.
Равенство углов записывается так: ∠DEG=∠FEG.
Для обозначения равенства углов на рисунке проводят равное количество дужек.
Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.
Тогда на рисунке 2 луч BD – биссектриса угла ABC.
Неравные углы
Изобразим угол КON и проведём произвольный луч ОР. По рисунку 3 видно, что при наложении углы КОP и NОР не совпадут.
Если два угла не совпадают при наложении, то они не равны друг другу и называются неравными.
Неравенство углов записывается так: ∠ КОP≠∠NОР
Для обозначения неравенства углов на рисунке изображают разное количество дужек.
Развёрнутый угол
Рассмотрим рисунок 5. Лучи ML и MN дополняют друг друга до прямой, поэтому называются дополнительными лучами.
Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол.
Стороны такого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развёрнутого угла.
Развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую.
Прямой угол
Возьмём лист бумаги и дважды сложим его пополам. Развернув лист, можно увидеть линии сгиба, которые образовывают 4 равных угла.
Прямой угол – это половина развёрнутого угла.
Для построения прямого угла используют чертёжный треугольник.
Острые и тупые углы
Острый угол – угол, который меньше прямого угла.
Тупой угол – угол, который больше прямого, но меньше развёрнутого угла.
Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.
Определение угла
Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.
Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.
Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.
Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .
Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.
Перейдем к понятию определения угла.
Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.
Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.
Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.
На рисунке ниже изображен развернутый угол.
Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .
Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной - ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.
Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.
Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.
Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.
Определение смежных и вертикальных углов
Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.
На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.
При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.
Сравнение углов
Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.
Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.
Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.
Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.
Развернутые углы являются равными.
Измерение углов
Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.
Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.
Чаще всего используют понятие градус.
Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.
Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .
Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.
Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.
1 ° = 60 ' = 3600 '' , 1 ' = ( 1 60 ) ° , 1 ' = 60 '' , 1 '' = ( 1 60 ) ' = ( 1 3600 ) ° ,
а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 ' 59 '' .
Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.
Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 ' 59 '' . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .
В геометрии используется мера угла из интервала ( 0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.
Острый угол измеряется в интервале ( 0 , 90 ) , а тупой – ( 90 , 180 ) . Ниже наглядно изображены три вида углов.
Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .
Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.
Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С , С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.
Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.
Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.
На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В . По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А .
Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.
На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.
Обозначение углов на чертеже
Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.
Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.
Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.
В этом уроке мы сформируем представление об угле, его вершине и сторонах, обозначении угла, сравнении углов наложением. Введем понятия развернутого и прямого угла. Научимся пользоваться чертежным треугольником.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник"
На этом уроке мы узнаем, что за фигуру называют углом. Рассмотрим элементы, которыми обладает угол. А также рассмотрим взаимное расположение угла и точек.
Для начала вспомним основные плоские геометрические фигуры, которые мы с вами научились уже строить в курсе математики 5-го класса.
Напомним, что плоские геометрические фигуры – это фигуры, которые располагаются в плоскости.
Например,
А теперь давайте перейдём непосредственно к чертежам. Отметим в плоскости, в любом понравившемся вам месте, некоторую точку О. И проведём от этой точки два луча ОА и ОВ. Обратите внимание, у нас получилась новая геометрическая фигура, угол.
Определение
Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, или имеющими одно начало.
Мы же все чаще будем работать именно с внутренними углами.
Определение
Лучи ОА и ОВ – называют сторонами угла, а точку О – его вершиной. При записи угла в середине пишут его вершину.
Обратите внимание угол, который мы построили имеет вершину точку О, и в записи угла буква О стоит в середине. Также угол можно записать одной буквой, обозначающей его вершину, т.е. в нашем случае можно записать угол О.
Рассмотрим взаимное расположение угла и точек на плоскости.
На экране изображён угол ВЕС и 6 точек A, D, F, K, N, T.
Углы, как и любые геометрические фигуры можно сравнивать. А сравнивают их при помощи наложения.
Запомните: два угла называют равными, если их можно наложить один на другой так, что их вершины и стороны совпадут.
Например
На экране изображены три угла АОВ, CED и MKN.
Давайте сравним угол АОВ с углами CED и MKN.
Изобразим следующий рисунок. Начертим угол MON и из его вершины точки О проведём луч ОК.
Обратите внимание луч ОК разделяет наш начальный угол MON на два угла МОК и КОN, каждый из этих углов меньше угла MON. Пишут так:
А вместе два этих угла образуют угол MON. Записать это можно так
Определение
Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол.
Сторонами такого угла является прямая линия, на которой лежит вершина развёрнутого угла.
Посмотрите внимательно на экран.
Лучи ОА и ОВ являются дополнительными друг другу.
Они образуют развёрнутый угол АОВ.
Точка О – вершина развёрнутого угла лежит на прямой АВ.
Пример развёрнутого угла вы можете встретить каждый день.
Например
Мы помним, что прямые могут пересекаться. При пересечении двух прямых образуются 6 углов, 2 из которых – развёрнутые.
Например
Прямые АВ и СD пересекаются в точке О. Угол АОВ – развёрнутый и угол СОD – развёрнутый.
Начертим развёрнутый угол MON и проведём из его вершины луч ОК, так чтобы этот луч разделил угол MON на 2 равных угла.
У нас получились углы МОК и NОК. Эти углы равны между собой и равны половине развёрнутого угла. Записывают это так:
Такие углы называют прямыми.
Для построения прямого угла пользуются чертёжным треугольником.
Запомните алгоритм построения прямого угла.
Для того чтобы построить прямой угол, стороной которого является луч EF, надо:
1) Расположить чертёжный треугольник так, чтобы его вершина совпала с точкой Е, а одна из его сторон пошла по лучу EF.
2) Провести луч ЕС вдоль второй стороны чертёжного треугольника.
3) Угол СEF, который образовался после выполнения 1–го и 2–го шага алгоритма и есть прямой.
Итак, сегодня на уроке мы узнали, что за фигуру называют углом. Рассмотрели элементы, которыми обладает угол. Изучили взаимное расположение угла и точек в плоскости. Узнали, какие углы называют прямыми и развёрнутыми. А также научились пользоваться чертёжным треугольником.
Урок 2: Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник
Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник.
Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, – вершиной угла.
На рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной – точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.
Прямым углом называют половину развернутого угла.
Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником. Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОА, надо:
Читайте также: