Как сделать равносторонний треугольник из доски
Обновлено: 05.07.2024
\u0422\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u0440\u0442\u0438\u0440\u043e\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a \u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0443\u0433\u043b\u044b 60 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432.
\u041e\u0442\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u0438 \u0446\u0438\u0440\u043a\u0443\u043b\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441\u0430\u043c\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 ">]" data-testid="answer_box_list">
Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?
Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности
Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).
Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.
Обобщаем на произвольные треугольники
А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.
Прямоугольные треугольники
Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.
Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).
Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.
Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).
Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.
Разбиения на различные подобные треугольники
А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.
Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.
Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 3 + k 5 .
Вместо заключения
Художник Мария Усеинова
Задачи для самостоятельного решения
1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?
2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?
3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.
4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?
6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?
1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).
Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками cложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.
1. Теоретическая часть
Треугольник важнейшая и неисчерпаемая фигура в геометрии
2. Практическая часть
Построения при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника
Геометрия является самым могущественным
средством для изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать
Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками cложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.
На создание работы натолкнула старинная задача:
Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице?
Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием равностороннего треугольника, знаем его определение, основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки. Родилась идея собрать и неизвестные в школьном курсе задачи на построения при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника.
Объект исследования- изучение различных свойств равностороннего треугольника и задач на построение, связанных с ним.
Предмет исследования –подбор задач на построения при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника. .
Цель работы – выяснить, какие геометрические преобразования выполняются при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
1) сформулировать естественные правила работы с равносторонним треугольником-шаблоном;
2 выполнить построения, необходимые для выполнения геометрических преобразований.
При решении этих задач используются теоретические методы исследования, не выходящие за рамки школьного курса планиметрии.
Гипотеза: правильный треугольник можно разбить на шесть меньших правильных треугольников, необязательно равных и нельзя разбить на два, три и пять меньших правильных треугольников.
Актуальность темы: геометрическая форма треугольника находит различное применение в сферах деятельности человека: в инженерии (металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники), в армии (воинские звания), в медицине, в музыке и т.д.
1 Теоретическая часть
Треугольник важнейшая и неисчерпаемая фигура в геометрии
Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.
Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах, которым более 4000 лет, в Древней Греции и Древнего Египта. Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак ∆ вместо слова треугольник.. В древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника. Первобытные люди штамповали треугольники на разных изделиях. Вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник с точкой в центре, в Африке женщины также украшают себя большими пластинами из равносторонних треугольников. Равносторонние треугольники рисовали - на изображениях священных животных.
Уже тогда была известна теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, которая применялась для построения прямых углов на местности с помощью веревочного треугольника со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник). Через 2000 лет в древней Греции учение о треугольнике достигает высокого уровня. Известны такие древнегреческие ученые, как Архимед, Пифагор, Фалес.
Учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, затем в школе Пифагора. Древние греки решили упорядочить накопленные сведения о треугольнике и написали много трудов. Наиболее совершенной оказалась работа Евклида "Начала" (365-300 до н.э.).
Треугольник - простейшая плоская фигура: три вершины и три стороны. Но с древнейших времен и до наших дней математики занимаются изучением треугольника.
Можно сделать вывод: треугольник важнейшая и неисчерпаемая фигура в геометрии.
Основные свойства равностороннего треугольника
Определение 1. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.
Свойство 1. Высота равностороннего треугольника, опущенная на строну, одновременно является биссектрисой угла между сторонами, медианой и осью симметрии стороны.
Свойство 2. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).
Свойство 3. Из всех треугольников с заданным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.
Свойство 4. Из всех треугольников с заданной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Поясним, что это означает. Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим модели двух фигур - треугольника и четырёхугольника и выясним, можно ли, не меняя длины сторон, изменить форму фигуры? Под действием небольшой силы четырёхугольник изменил свою форму, а треугольник нет.
Вывод: можно сказать, что треугольник – не изменяющаяся фигура. В нем нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, в отличие от любого другого многоугольника. В треугольнике нельзя изменить ни один из углов. Таким образом, треугольник – жесткая фигура.
2 Практическая часть
Построения при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника
Существуют задачи на построения, выполняемые при помощи линейки, имеющей форму равностороннего треугольника.
1. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на 2 равных отрезка.
С помощью линейки продолжим отрезок АВ за точки А и В, затем с помощью шаблона по разные стороны прямой АВ построим два равносторонних треугольника. Отрезок, соединяющих вершины этих треугольников, пересекает отрезок АВ в его середине.
2. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном, имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на три равных отрезка.
Как нарисовать равносторонний треугольник, используя только линейку и карандаш? Этот способ позволяет быстро сделать рисунок правильного или равнобедренного треугольника.
Как нарисовать равнобедренный треугольник
Рисунок начинаем с основания. Длину основания подбираем такой, чтобы ее удобно было делить пополам (берем четное количество клеточек). Вершину треугольника отмечаем ровно над серединой основания:
Если нужен равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона больше основания, вершину ставим повыше:
Если требуется треугольник, основание которого больше боковой стороны, то вершину отмечаем ниже:
Как нарисовать равносторонний треугольник
От конца основания откладываем отрезок равной ему длины так, чтобы второй конец этого отрезка расположился ровно над серединой основания. Соединяем вершину треугольника с другим концом основания:
Если в задаче о равнобедренном треугольнике речь идет о высоте, биссектрисе и медиане, проведенным к основанию, достаточно соединить вершину треугольника с отмеченной серединой основания:
Читайте также: