Как сделать проверку линейных уравнений

Обновлено: 07.07.2024

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) появляется почти в каждой области прикладной математики. В некоторых случаях эти СЛАУ непосредственно составляют ту задачу, которую необходимо решить, в других случаях задача сводится к решению такой системы. Примерами таких задач являются системы нелинейных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, задачи аппроксимации и интерполяции и др. Решение СЛАУ является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными запишем как:

a₁₁ . x₁+a₁₂ . x₂+ . +a_1n . x_n=b₁ ;

a₂₁ . x₁+a₂₂ . x₂+ . +a_2n . x_n=b₂ ;

a_n₁ . x₁ + a_n₂ . x₂ + . + a_nn . x_n=b_n .

Коэффициенты a_i,j (i=1, 2,. ,n; j=1,2,. ,n) этой СЛАУ можно представить в виде квадратной матрицы n × n:

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

………….

Систему можно записать в матричном виде A×X=B, где X – вектор-столбец неизвестных; B – вектор-столбец правых частей.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц :

1 2 3

2 7 4

3 4 8

1 2 3

0 5 7

0 0 9

1 2 0 0

3 4 0 0

0 0 5 6

0 0 7 8

2 3 0 0 0

1 2 3 0 0

0 3 4 5 0

0 0 4 5 6

0 0 0 1 2

Методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные.

1. Прямые методы

Прямые методы используют заранее известное, зависящее от n, количество соотношений (формул) для вычисления неизвестных. К ним относятся правило Крамера, метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных), метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки (частный случай метода Гаусса для СЛАУ с трехдиагональной матрицей), метод Жордана (часто используется для нахождения обратной матрицы), метод квадратного корня (применяется тогда, когда матрица системы является симметричной), клеточные методы (используются для решения больших СЛАУ, когда матрица и вектор правых частей целиком не помещаются в оперативной памяти ЭВМ) и др. Алгоритмы этих методов сравнительно просты и наиболее универсальны, т. е. пригодны для решения широкого класса СЛАУ. К недостаткам таких методов относится требование хранения в оперативной памяти ЭВМ сразу всей исходной матрицы, и, следовательно, при больших значениях n используется большой объем памяти. Прямые методы не учитывают конкретный вид матрицы или ее структуру, т. е. при большом числе нулевых элементов в ленточных или клеточных матрицах эти элементы занимают место в памяти ЭВМ, и над ними проводятся практически бесполезные арифметические операции. Кроме того, существенным недостатком прямых методов является увеличение погрешностей в процессе получения решения, т. к. вычисления на последующем этапе используют результаты предыдущих операций, полученных, в свою очередь, с какой-то погрешностью. Особенно актуальным становится вышеуказанное обстоятельство для больших СЛАУ вследствие резкого увеличения общего количества числа арифметических действий, а также для плохо обусловленных СЛАУ из-за их чувствительности к погрешностям.

Поэтому прямые методы применяются для относительно небольших (n x₁ + x₂ + x₃ – x₄ = 2 ;

x₁ – x₂ – x₃ + x₄ = 0 ;

2x₁ + x₂ – x₃ + 2x₄ = 9 ;

3x₁ + x₂ + 2x₃ – x₄ = 7 .

Для удобства обозначим уравнения буквами и будем выписывать только коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений. Тогда исходная СЛАУ примет вид

A₁ 1 1 1 -1 2

A₂ 1 -1 -1 1 0

A₃ 2 1 -1 2 9

A₄ 3 1 2 -1 7

Исключая члены, содержащие x₁, получим

B₁ = A₁/1 1 1 1 -1 2

B₂ = A₂ – B₁ 0 -2 -2 2 -2

B₃ = A₃ – 2B₁ 0 -1 -3 4 5

B₄ = A₄ – 3B₁ 0 -2 -1 2 1

После исключения членов с x₂ имеем

B₁ 1 1 1 -1 2

C₂ = B₂/(-2) 0 1 1 -1 1

C₃ = B₃ + C₂ 0 0 -2 3 6

C₄ = B₄ + 2C₂ 0 0 1 0 3

Исключения членов с x₃ дает

В₁ 1 1 1 -1 2

С₂ 0 1 1 -1 1

D₃ = C₃ /(-2) 0 0 1 -3/2 -3

D₄ = C₄ – D₃ 0 0 0 3/2 6

Продолжая аналогичные действия с последним рядом, получим

B₁ 1 1 1 -1 2

C₂ 0 1 1 -1 1

D₃ 0 0 1 -3/2 -3

E₄ = 2D₄ /3 0 0 0 1 4

Возвращаясь к общепринятой форме уравнений, запишем

x₁ + x₂ + x₃ – x₄ = 2 ;

x₂ + x₃ – x₄ = 1 ;

x₃ – 1.5 x₄ = -3 ;

x₄ = 4 .

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении исходных неизвестных. Из последнего уравнения находим единственное неизвестное x₄, подставляя значение x₄ в третье уравнение, x₃ – во второе и т. д., находим решение заданной СЛАУ:

x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3, x₄ = 4.

Аналогично строится алгоритм для СЛАУ с произвольным числом уравнений. Необходимо помнить, что при решении СЛАУ может потребоваться операция перестановок уравнений (т. е. перестановки соответствующих коэффициентов), служащая для предотвращения деления на нулевой элемент.

Данный метод целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений (все вместе есть расширенная матрица) находятся в оперативной памяти ЭВМ. Объем вычислений определяется порядком системы n: число арифметических операций примерно равно (2/3)n 3 .

Вычисленное по методу Гаусса решение X * для СЛАУ, записанной в матричном виде A × X = B, отличается от точного решения X из-за погрешностей округления, связанных с ограниченностью разрядной сетки ЭВМ. Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения X * от точного X. Одна из них – погрешность Е, равная разности этих значений: E = X – X * .

Другая – невязка r, равная разности между правой и левой частями уравнений при подстановке в них решения: r = B – A×X * .

Реализация метода на языке Паскаль

Потребуется описание используемых типов для расширенной матрицы коэффициентов и для вектора значений переменных:

type mat=array[1..20,1..21] of real;

vec=array[1..20] of real;

var n:integer;

a:mat; x:vec;

Ввод матрицы наиболее эффективно реализовать из файла данных. Для этого потребуется файловый тип и файловая переменная

var f:text;

В основной части программы ввод можно организовать следующим образом:

Write('Введите число уравнений N = '); readln( n );

reset(f);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n+1 do read(f,a[i,j]);

readln(f);

end;

close(f);

Прямой ход метода Гаусса (формирование треугольной матрицы коэффициентов) может выглядеть так:

for k:=1 to n do

begin

s:=a[k,k];j:=k;

for i:=k+1 to n do

begin

r:=a[i,k];

if abs(r)>abs(s) then

begin

s:=r; j:=i;

end;

if s=0 then

begin

writeln('Переставьте уравнения чтобы на главной диагонали не было нулевых коэффициентов !');

halt;

end;

if j<>k then

for i:=k to n+1 do

begin

end;

for j:=k to n+1 do a[k,j]:=a[k,j]/s;

for i:=k+1 to n do

begin

r:=a[i,k];

for j:=k to n+1 do

a[i,j]:=a[i,j]-a[k,j]*r;

end;

Обратный ход метода Гаусса (вычисление вектора значений переменных) может выглядеть так:

if s<>0 then

for i:=n downto 1 do

begin s:=a[i,n+1];

for j:=i+1 to n do s:=s-a[i,j]*x[j];

x[i]:=s;

end;

Остаётся только вывести результат и сделать проверку.

3. Метод прогонки

Он является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений.

Запишем систему уравнений в виде

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы b₁, b₂. b_n, над ней – элементы c₁, c₂. c_n_-1, под ней – элементы a₂,a₃,a_n. При этом обычно все коэффициенты b_i не равны нулю.

Метод прогонки состоит из двух этапов – прямой прогонки (аналога прямого хода метода Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода метода Гаусса). Прямая прогонка состоит в том, что каждое неизвестное x_i выражается через x_i₊₁ с помощью прогоночных коэффициентов a_i, b_i:

Из первого уравнения системы (8.3) найдем x₁=(–c₁/b₁) x₂ + d₁/b₁.

С другой стороны, по формуле (8.4) x₁=a₁x₂+b₁.

Приравнивая коэффициенты в обоих выражениях для x₁,получаем

Из второго уравнения системы (8.3) выразим x₂ через x₃, заменяя x₁ по формуле (8.4):

Аналогично можно вычислить прогоночные коэффициенты для любого номера i:

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных x_i. Сначала нужно найти x_n . Для этого воспользуемся выражением (8.4) при i = n – 1 и последним уравнением системы (8.3). Запишем их:

Далее, используя формулы (8.4) и выражения для прогоночных коэффициентов (8.5), (8.6), последовательно вычисляем все неизвестные x_n_-1, x_n_-2, . x₁.

4. Итерационные методы

Итерационные методы используют последовательные приближения (итерации, итерационные циклы), в процессе вычисления по которым образуется последовательность значений X 0 , X 1 . X S . сходящаяся к некоторому пределу X P , т. е.

lim X S =X P ,

где каждое последующее значение X S определяется через предыдущее X S - 1 (S – номер итерации).

К таким методам относятся метод Якоби (метод простой итерации, или метод одновременных смещений), метод Зейделя (Гаусса-Зейделя, или метод последовательных смещений), метод верхней релаксации.

Итерации начинаются с задания начального приближенного решения X 0 , которое может быть получено из физических или других разумных соображений. Чем ближе исходное приближение X 0 к решению X P , тем меньше итераций необходимо для его получения. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений E, т. е. итерации заканчиваются при выполнении условия

|X S – X S - 1 | (8.7)

|(X S – X S - 1 ) / X S | (8.8)

где E_a – заданная абсолютная погрешность;

E_о – заданная относительная погрешность.

Преимущества данных методов по сравнению с прямыми заключаются в следующем:

1. В ряде случаев удается хранить в памяти ЭВМ не всю матрицу системы, а лишь несколько векторов (см. матрицы Т, К, Д).

2. Погрешности итерационных методов ограничены, (не увеличиваются), т. к. точность вычислений на итерации S определяется результатами предыдущей итерации S – 1 и практически не зависит от результатов на итерациях S – 2, S – 3, . Это является достоинством итерационных методов, особенно полезным в случае большого числа уравнений, плохо обусловленных СЛАУ (когда малые погрешности вычислений или исходных данных приводят к большим погрешностям в решении).

Для реализации итерационного метода исходную СЛАУ (8.1) обычно приводят к виду :

5. Метод Зейделя

Этот метод является итерационным. На каждой итерации уточняются значения переменных. Система сходится, если на главной диагонали матрицы коэффициентов расположены максимальные элементы. В противном случае необходимо провести эквивалентные преобразования (перестановка строк и др.).

Систему (8.9) приведём к виду

Левую часть уравнений будем считать новыми (последующими) значениями переменных, а x_i в правой части – предыдущими значениями переменных. Первоначально массив X имеет нулевые значения. Затем на каждой итерации вычисляется S – добавка для каждого x_i, которая приближает его к искомому значению. Процесс продолжается до тех пор, пока добавка для каждого x_i будет меньше заданной погрешности вычислений.

Реализация метода на языке Паскаль

Ввод данных рекомендуется организовать так же, как и в методе Гаусса. Далее приводится возможный вариант реализации метода:

for k:=1 to m do

begin

z:=k;

for i:=1 to n do

begin

s:=a[i,n+1];

for j:=1 to n do s:=s-a[i,j]*x[j];

s:=s/a[i,i];

x[i]:=x[i]+s;

if abs(s)>e then z:=0

end;

if z<>0 then Break;

end;

Здесь m – максимальное число итераций (для избежания бесконечного цикла); z – переменная, обнуляющаяся, если хотя бы одна из переменных отличается от предыдущего значения более чем на Е, и содержащая число итераций, если система сошлась.

Остаётся только вывести результат и сделать проверку.

6. Метод простых итераций

Метод простых итераций немного отличается от метода Зейделя. Здесь имеется два вектора переменных: с предыдущими значениями X0 и с последующими значениями X1. В конце каждой итерации производится переприсвоение значений из последующих в предыдущие:

for k:=1 to m do

begin

z:=k;

for i:=1 to n do

begin

s:=a[i,n+1];

for j:=1 to n do s:=s-a[i,j]*X0[j];

s:=s/a[i,i];

X1[i]:=X0[i]+s;

if abs(s)>e then z:=0

end;

if z<>0 then Break

else

for i:=1 to n do X0[i]:=X1[i];

end;

7. Вывод результатов и проверка

Чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, нужно подставить найденные значения x в левую часть каждого уравнения и найти относительную погрешность между полученным значением и правой частью этого уравнения:

for i:=1 to n do

writeln(‘X[,i,]=’,X[i]);

writeln(‘Проверка:’);

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

for j:=1 to n do s:=s+a[i,j]*X[j];

write(‘Уравнение ’,i,‘ ’,s,‘ = ’,a[i,n+1]);

writeln(‘ Погрешность ’, abs((s-a[i,n+1])/s));

end;

Замечание. При решении системы методом Гаусса перед проверкой нужно заново произвести ввод исходной матрицы из файла данных. Это нужно сделать потому, что исходная матрица A была преобразована в треугольную при прямом проходе и теперь требуется перечитать её исходное состояние для проведения проверки.

Линейное уравнение — это уравнение вида ax+b=0 ,
где a и b некоторые числа,
x – переменная стоящая в числителе, находящаяся в первой степени.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Что является решением уравнения?
Решением уравнения является нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия.

Примеры линейных уравнений:
3x+5=0
x+1=5
2x=0
7x=7
3x+1=x

Нелинейные уравнения:

x^2+4x+4=0 (полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.)

1/x+2=0 (уравнение гиперболы)

√(x-1)=1 (иррациональное уравнение)

Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?

У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.

Как решаются линейные уравнения?

Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1 (получили корень уравнения)

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно

2x-6=4x (здесь неизвестное это 2x и 4x. 4х нужно перенести в левую часть уравнения, а -6 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак у -6 меняется с – на +, а у 4х знак меняется с + на -)
2x-4x=6 (при вычитании 2x-4x=-2x)
-2x=6 | : (-2) (далее нам нужно получить просто x без коэффициента -2, поэтому мы все уравнение делим на -2, получим -2x:(-2)=6:(-2) )
x= -3

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

Запомните!

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный .

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Важно!

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

Запомните!

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число .

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Важно!

При делении на отрицательное число помните про правило знаков.

Примеры решения линейных уравнений

Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

— такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;

Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;

Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;

Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);

Затем свести подобные

Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

\[5\left( x+9 \right)=5x+45\]

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;

Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

\[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\]

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

\[12-\left( x-6x\cdot x \right)=3x\cdot 2x-3x+2x\]

Теперь займемся уединением:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

Пример №2

\[8\left( 2x-1 \right)-5\left( 3x+0,8 \right)=x-4\]

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

\[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\]

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

\[8\left( 2x-1 \right)-5\left( 3x+0,8 \right)=x-4\]

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left( 7x+1 \right)\left( 3x-1 \right)-21^>=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Выполняем последний шаг:

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left( 1-4x \right)\left( 1-3x \right)=6x\left( 2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

\[1\cdot 1+1\cdot \left( -3x \right)+\left( -4x \right)\cdot 1+\left( -4x \right)\cdot \left( -3x \right)=6x\cdot 2x+6x\cdot \left( -1 \right)\]

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.

Уединить переменные.

Привести подобные.

Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.

Раскрыть скобки.

Уединить переменные.

Привести подобные.

Разделить на коэффициент.

Пример №1

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\left( 2x+1 \right)\left( 2x-3 \right)=\left( ^>-1 \right)\cdot 4\]

\[2x\cdot 2x+2x\cdot \left( -3 \right)+1\cdot 2x+1\cdot \left( -3 \right)=4^>-4\]

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left( -4 \right) \right.\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

Здесь выполняем все те же действия:

\[1\cdot 1+1\cdot 5x+\left( -x \right)\cdot 1+\left( -x \right)\cdot 5x+5^>=5\]

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.

Умение раскрывать скобки.

Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.

Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

в виде десятичных дробей,

в виде обыкновенных дробей,

в виде периодических десятичных дробей.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: $ -234 $

Ввод: -1,15
Результат: $ -115 $

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

Ввод дробного числа в виде периодической десятичной дроби.
В периодических десятичных дробях период заключается в скобки.
Ввод: 0,(72)
Результат: $$ \frac $$

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система $m$ линейных алгебраических уравнений с $n$ неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
$ \left\< \begin a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_1 \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag $

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от $n$ переменных $ x_1 , \ldots x_n $, а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа $a_ \in \mathbb $ называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения $i$ и номером неизвестного $j$. Действительные числа $ b_1 , \ldots b_m $ называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если $ b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 $. Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных $ x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ $, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При $m=n$, т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты $a_$ СЛАУ при одном неизвестном $x_j$ как элементы столбца, а $x_j$ как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
$ \begin a_ \\ a_ \\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ \\ a_ \\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ \\ a_ \\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end $
или, обозначая столбцы соответственно $ a_1 , \ldots , a_n , b $,
$ x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag $

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца $b$ в виде линейной комбинации столбцов $ a_1, \ldots, a_n $. Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку $A \;,\; X$ и $B$ являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде $AX=B$ называют матричной. Если $B=0$, то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид $AX=0$.

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида $AX=B$
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

"Триединство" форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
$ A = \begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end $
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
$ (A|B) = \left( \begin a_ & a_ & \cdots & a_ & b_1 \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) $
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ $AX=B$ необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы $A$ был равен рангу её расширенной матрицы $ (A|B) $.

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac <|A|>\;,\quad i=\overline \tag $$
где $\Delta_i$ — определитель матрицы, получающейся из матрицы $A$ заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы $m$ линейных алгебраических уравнений с $n$ неизвестными.

Теорема. Если столбцы $ X^, X^, \ldots , X^ $ — решения однородной СЛАУ $AX=0$, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения $ X^, \ldots , X^ $ системы $AX=0$, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из $k=n-r$ линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ $AX=0$, где $n$ — количество неизвестных в системе, а $r$ — ранг её матрицы $A$, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице $A$ однородной СЛАУ $AX=0$ фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ $AX=0$ с $n$ неизвестными и $ \textA = r $. Тогда существует набор из $k=n-r$ решений $ X^, \ldots , X^ $ этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ + \ldots + c_kX^ $$
где постоянные $ c_i \;, \quad i=\overline $, принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ $AX=B$. Заменив столбец $B$ свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ $AX=0$, соответствующую неоднородной СЛАУ $AX=B$. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец $X^\circ$ — некоторое решение СЛАУ $AX=B$. Произвольный столбец $X$ является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление $X = X^\circ + Y $, где $Y$ — решение соответствующей однородной СЛАУ $AY=0$.

Следствие. Пусть $X'$ и $X''$ — решения неоднородной системы $AX=B$. Тогда их разность $ Y = X' - X'' $ является решением соответствующей однородной системы $AY=0$.

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение $X^\circ$ этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть $X^\circ$ — частное решение СЛАУ $AX=B$ и известна фундаментальная система решений $ X^, \ldots , X^ $ соответствующей однородной системы $AX=0$. Тогда любое решение СЛАУ $AX=B$ можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ + c_2 X^ + \ldots + c_k X^ $$
где $ c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline $.
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Читайте также:


Как сделать тайную базу в реальной жизни

Как сделать укол дереву

Как сделать ресницы с пинцетом

Как сделать симметрию в корел дро

Как сделать сообщения в группе одноклассники

x^2+4x+4=0	(полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.)
1/x+2=0	(уравнение гиперболы)
√(x-1)=1	(иррациональное уравнение)

Как сделать проверку линейных уравнений

1. Прямые методы

Реализация метода на языке Паскаль

3. Метод прогонки

4. Итерационные методы

5. Метод Зейделя

Реализация метода на языке Паскаль

6. Метод простых итераций

7. Вывод результатов и проверка

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Свойство № 1или правило переноса

Свойство № 2 или правило деления

Примеры решения линейных уравнений

Примеры решения уравнений

Схема решения простейших линейных уравнений

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Решение сложных линейных уравнений

Пример №1

Пример №2

Нюансы решения

Решение ещё более сложных линейных уравнений

Задача №1

Задача №2

Нюансы решения

Об алгебраической сумме

Решение уравнений с дробью

Пример №1

Пример №2

Ключевые моменты

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Формы записи СЛАУ

Критерий совместности СЛАУ

Формулы Крамера

Однородные системы

Неоднородные системы

Свойство № 1
или
правило переноса

Свойство № 2
или
правило деления