Как сделать проверку эпюры

Обновлено: 06.07.2024

Ранее, здесь мы получили формулы (2),(4) зависимости поперечной силы Q от распределенной нагрузки q и изгибающего момента M от поперечной силы Q. Из этих дифференциальных зависимостей следуют:

Правила контроля эпюр Q и M - для грузовых участков.

Из ф.(2) следует:
- если на участке q=0, то Q - постоянная величина (константа). - если на участке q=Const, то Q линейно зависит от продольной координаты (z), т е эпюра Q на этом участке - наклонная прямая. Более того, если q > 0 (т е направлена вверх), то поперечная нагрука возрастает (увеличивается при изменении z слева - направо). - если на участке q изменяется по линейному закону, то Q - по квадратичному (парабола).
Аналогичные выводы следуют из ф.(4):
- если на участке Q=0, то M - постоянная величина (константа).
- если на участке Q=Const, то M линейно зависит от продольной координаты (z), т е эпюра M на этом участке - наклонная прямая. Более того, если Q > 0 (т е направлена вверх), то M возрастает (увеличивается в алгебраическом смысле, т е с учетом знака +- при изменении z слева - направо). При этом у МЕХАНИКОВ эпюра имеет "положительный" наклон (как / ), а у СТРОИТЕЛЕЙ - "отрицательный" (как \ )
- если на участке Q изменяется по линейному закону, то M - по квадратичному (парабола).
Для определения направления выпуклости этой параболы СТРОИТЕЛИ пользуются правилом ветра и паруса: если вообразить, что ветер дует в направлении q, то выпуклость паруса совпадает с выпуклостью эпюры M. Все связанное с эпюрой М у МЕХАНИКОВ наоборот (механики откладывают значения на эпюре М на сжатой стороне изогнутого бруса, строители - наоборот, на растянутой. Правило знаков +- М для балки совпадают, но графики - эпюры М строятся наоборот (зеркально отражая относительно продольной оси).
Если наклонная эпюра Q пересекает ось z, то в этом сечении M экстремально (т к 1-я производная = 0). Для определения координаты экстремума М см нижнюю часть рис 6.

Правила контроля (продолжение):

Площадь эпюры q на участке, определяемая по расчетной схеме, равна приращению Q на этом же участке.

Площадь эпюры Q на участке, определяемая по эпюре Q, равна приращению M на этом участке.

Более того, можно определить и знак приращения: если q положительна, т е направлена вверх, то Q возрастает (значение на правом краю больше, чем на левом (например: 2 больше чем -6)). Для отрицательного q, естественно, наоборот.

Если площадь эпюры Q положительна, то значение M на правом краю участка алгебраически больше, чем на левом (например: 2 больше чем -6)

Формулы (22), (23) на рис 11 - это следствие из формул (2),(4) главы "Деформации, внутренние силы, внутренние силовые факторы. Эпюры ВСФ".

По формулам (22), (23) можно легко вычислять приращение значений Q и M (соответственно) на каждом грузовом участке.

Правила контроля эпюр Q и M - для границ грузовых участков

Отсечем двумя бесконечно близкими сечениями C₁ и C₂ (см рис 12.1) границу между участками, где приложена сила P. Рассматривая уравнение равновесия отсеченного слоя (сумму проекций всех приложенных извне сил на ось Y - рис 12.1) найдем, что разность между значениями Q по обе стороны границы (т е скачек на эпюре Q в сечении, соответствующем этой границе) равна P.
Более того, если просматривать эпюру Q всегда слева-направо, можно заметить, что НАПРАВЛЕНИЕ скачка совпадает с направлением силы P.
Рассматривая уравнение равновесия отсеченного слоя (сумму моментов всех приложенных извне сил относительно точки C₂ - центра тяжести правого сечения - рис 12.2) найдем, что разность между значениями m по обе стороны границы (т е скачек на эпюре m в сечении, соответствующем этой границе) равна M.
Более того, если просматривать эпюру M всегда слева-направо, можно заметить, что НАПРАВЛЕНИЕ скачка совпадает с направлением внешней пары M - для механиков, а для строителей - противоположно.

Вышеизложенные правила позволяют строить эпюры Q и M для балок без вычислений, изложеных в Примере

Пример: построение эпюр Q и M для балки (рис 4 и 6) на основе правил контроля

Откройте рис 6 в отдельном окне, отрегулируйте размеры окна и удерживайте его на экране одновременно с этим описанием, чтобы видеть эпюры. Считаем, что опорные реакции уже определены и грузовые участки размечены.

На левой границе 1-го участка приложена (вниз) сила Y_A = 36,67 кН, поэтому делаем скачек (вниз) на 36,67 (ОТ НУЛЯ. начинаем с нуля - можно думать, что есть ненагруженный хвостик балки слева от опоры А, где M=0, Q=0).

Теперь находимся в пределах 1-го участка. Распределенная нагрузка на нем равна нулю, поэтому Q - постоянна и равна -36,67 кН на всем участке.

Теперь пересекаем границу со 2-м участком. На этой границе нет сосредоточенных сил, поэтому нет скачка.

Движемся по 2-му участку. Здесь приложена постоянная распределенная нагрузка q= 20 кН/м (вверх), поэтому здесь эпюра Q - наклонная прямая (возрастание слева-направо). Приращение Q по формуле (22) = площади = 20кН/м*3м = 60кН. То есть на правой границе 2-го участка Q = -36,67 + 60 = 23,34кН.

Пересекаем границу с 3-м участком. Здесь тоже нет состредоточенной силы, поэтому нет и скачка.

Движемся по 3-му участку. На участке q=0, поэтому Q постоянна, т е равна значению, которое было на левой границе, т е 23,33 кН.

Пересекаем правую границу 3-го участка. Здесь приложена (вниз) сила Y_B = 23,33 кН (реакция правой опоры). Поэтому эпюра Q делает скачек вниз (и приходит к нулевому значению. Это обязательно - для проверки).

На левой границе 1-го участка пара сил (внешняя нагрузка) не приложена, поэтому эпюра M на 1-м участке начинается от нуля - можно думать, что есть ненагруженный хвостик балки слева от опоры А, где M=0, Q=0)

Теперь мы находимся в пределах 1-го участка. На нем Q - постоянна и равна -36,67 кН, поэтому эпюра M - Наклонная прямая на всем участке. Приращение M на участке вычислим как площадь прямоугольника на эпюре Q = -36,67*2= -73,34 кНм. Механики откладывают на эпюре M -73,34 - вниз, строители - вверх.

Теперь пересекаем границу 2-го участка. Здесь нет приложена пара сил M=80 кНм, поэтому скачок = 80 кНм. "Направление" скачка (то есть его рисунок-зигзаг) для механиков совпадает с рисунком пары M. Для строителей - наоборот. Возможно, проще рассуждать о приращении +80 (это для всех) и откладывать соответственно (у механиков - вверх, у строителей - вниз).

Движемся по 2-му участку. Здесь приложена постоянная распределенная нагрузка q= 20 кН/м (вверх), поэтому здесь эпюра M - парабола. Эпюра Q пересекает ось z на расстоянии 36,67/20 = 1,83 м. Чтобы найти экстремальное значеине M, найдем вначале приращение момента от левой границы 2-го участка до точки эккстремума. Это - пдощадь треугольника на эпюре Q = 36,57*1,83/2=33,55. Приращение отрицательно, так как Q здесь отрицательно.
M_экстр = 6,67 - 33,55 = -26,9 кНм. Значение M на правой границе = -26,9 + 23,33*1,17/2= -13,3 кНм. .

Пересекаем границу с 3-м участком. Здесь тоже - пара сил M = 80, направленная противоположно предыдущей. Соответственно, скачек будет противоположный, поэтому в начале 3-го участка M = -93,35 кНм. Движемся по 3-му участку. На участке Q=+23,33 кН - постоянна, поэтому эпюра M - наклонная прямая, M возрастает (алгебраически) слева-направо. Приращение M на участке равно площади соответствующего прямоугольника на эпюре Q и равно = +23,33*4 = 93,3. Поэтому значение M на правой границе 3-го участка = -93,3 + 93,3 = 0.

Пересекаем правую границу 3-го участка. Здесь не приложена пара сил. Поэтому если далее есть ненагруженный хвостик балки, то на нем M=0 (Это всегда должно соблюдаться, как проверка)

Из рассмотренных примеров, как следствия дифференциальных зависимостей между , и , вытекают следующие правила.

1. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюрах продольной и поперечной сил происходит скачек на величину этих сил в направлении их действия, а эпюра изгибающего момента претерпевает излом в сторону действия сосредоточенных сил.

2. На участках стержней, где отсутствует равномерно распределенная нагрузка, продольная и поперечная сила величины постоянные, а эпюра изгибающего момента изменяется по закону наклонной прямой.

3. На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюры продольной и поперечной сил изменяются по закону наклонной прямой на величину равнодействующей распределенной нагрузки. При положительном значении распределенной нагрузки эпюры возрастают, при отрицательном – убывают.

4. В сечениях на свободном или шарнирно опертом концах балки, где отсутствует сосредоточенный изгибающий момент, изгибающий момент равен нулю.

5. На участках, где приложена поперечная равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающего момента изменяется по закону квадратной параболы, выпуклостью навстречу направлению действия распределенной нагрузки.

6. В сечениях, где приложен сосредоточенный изгибающий момент, на эпюре изгибающего момента происходит скачек на его величину в направлении его действия.

7. В сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент имеет экстремальное значение.

8. На участках, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент величина постоянная.

9. На участках, где поперечная сила положительна, эпюра изгибающего момента возрастает, где отрицательна – убывает.

10. Изгибающий момент в любом сечении равен площади эпюры поперечной силы левой или правой отсеченной части балки плюс приложенные к ним сосредоточенные изгибающие моменты.

Задание 1. Задача №1

Задание 1. Задача №2

Задание 2. Задача №1

Задание № 2, задача № 2

Задание № 2. Задача № 3

Продолжение таблицы 9

Таблицы исходных данных

Общие данные. Сталь марки Ст3. Предел пропорциональности МПа, предел текучести МПа, допускаемое нормальное напряжение МПа, допускаемое касательное напряжение , модуль нормальной упругости МПа, модуль упругости при сдвиге МПа

то есть первая производная от изгибающего момента по длине участка равна поперечной силе.

Это соотношение в общем виде было получено Журавским и носит название теоремы Журавского.

На основании теоремы Журавского могу быть сформулированы правила проверки эпюр:

1. В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q_y должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

2. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M_x должен быть скачок, равный по величине и по знаку приложенному моменту.

3. На участке, где приложена распределенная нагрузка, эпюра Q_y является наклонной прямой (наклон по направлению действия нагрузки), а эпюра M_x - кривой, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.

4. На участках, где Q_y > 0, M_x возрастает, на участках, где Q_y

Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости.
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.

Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.

При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:

эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
эпюры вращающих (крутящих) моментов;
эпюры изгибающих моментов;
эпюры напряжений (нормальных или касательных);
эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).

Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.

Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.

Правила построения эпюр

При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.

Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.

Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.

Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.

По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.

Определение знака фактора на эпюре

При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:

Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:

На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов M_из – наклонную прямую.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре M_из – излом (изменение направления графика).

На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра M_из – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.

Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на эпюре изгибающих моментов M_из будет иметь экстремальное значение (минимальное или максимальное).

Если на границе действия распределенной нагрузки нет сосредоточенных сил, то наклонный участок эпюры Q соединяется с горизонтальным без "ступеньки", а параболический участок эпюры M_из соединяется с наклонным участком плавно, без излома.

В сечениях, где к брусу приложены сосредоченные пары сил, на эпюре M_из будут иметь место ступенчатые скачки на величину действующих внешних моментов, а эпюра Q изменения не претерпевает (приложенные к брусу изгибающие моменты не влияют на эпюру поперечных сил).

Читайте также: