Как сделать профильную проекцию
Обновлено: 04.07.2024
Загрузить презентацию (565 кБ)
Цели урока:
- обучающая: формирование знаний и умений при изучении метода прямоугольного проецирования для выполнении чертежа предмета;
- развивающая: развитие пространственных представлении и пространственного мышления в ходе изучении метода прямоугольного проецирования;
- воспитывающая: воспитание культуры графического труда при выполнении чертежей.
Задачи:
- Обосновать необходимость применения двух и трех плоскостей проекций;
- создать условия для формирования умений проецировать предмет на плоскости проекций;
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Методы обучения: объяснение, беседа, упражнения.
Оборудование: конструкция двухгранного и трехгранного угла, чертежные инструменты, плакаты, модели деталей.
Ход урока
I. Организационная часть
II. Актуализация полученных знаний
- Какое существует проецирование?
- Какое проецирование называется центральным?
- Чем центральное проецирование отличается от параллельного?
III. Объяснение новой темы
1. Прямоугольное проецирование на одну плоскость проекций
При прямоугольном проецировании на одну плоскость проекций деталь следует расположить таким образом, чтобы полученное изображение давало наибольшую информацию о ее форме.
Выберем для получения изображения вертикальную плоскость проекции и обозначим ее буквой V. Плоскость, расположенную перед зрителем, называют фронтальной.Перед этой плоскостью расположим деталь. В результате прямоугольного проецирования получим изображение детали, на котором грани предмета, параллельные плоскости проекций, отобразятся в натуральную величину. Полученное изображение называют фронтальной проекцией детали.
Задание. (работа в группе) Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.
Задание 1. (самостоятельно) выполните чертеж детали по наглядному изображению макета. Чертеж должен содержать одну проекцию (фронтальную). Нанесите размеры, укажите толщину.
2. Прямоугольное проецирование на две плоскости проекций
Перед учащимися ставится проблемная ситуация.
Задание. (работа в группе) Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений.
Рис.1. Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений
Вывод: все 6 деталей имеют одинаковую фронтальную проекцию. Значит, одна проекция не всегда дает полное представление о форме и конструкции детали.
- Какой выход из этой ситуации? (Ответ: Посмотреть на деталь с другой стороны).
Появилась потребность применения ещё одной плоскости проекций.
Вторая плоскость проекций располагается перпендикулярно к фронтальной плоскости.
Эта плоскость в черчении называется горизонтальной плоскостью проекций (плоскость, параллельная земной поверхности) и обозначается латинской буквой H.
- Плоскости V и H пересекаются по оси X, вокруг которой можно вращать плоскость H (показать на модели двугранного угла).
Рис. 2. Проецирования предмета на две плоскости проекций
Итак, помещаем предмет в двугранный угол. Обращаем внимание, что проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций. Предмет проецируется на плоскость Н.
Т.к. тетрадный лист плоский в отличие от двугранного угла (или формат листа А4), мы разворачиваем грань угла относительно оси Х на 90 градусов. Совмещаем проецирующие плоскости в одну грань.
Две проекции располагаются в проекционной связи относительно друг друга.
Разберем вопрос с размерами на чертеже.
Рис. 3. Постановка размеров:
на фронтальной проекции проставляется длина и высота;
на горизонтальной проекции – длина и ширина
Метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был разработан французский инженером учёным Гаспаром Монжем в конце 18 века. Метод прямоугольного проецирования называется еще Методом Монжа.
Задание (работа в группе).
Найдите фронтальную и горизонтальную проекции к данному наглядному изображению.
3. Проецирование на три плоскости проекций
Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций: фронтальную, горизонтальную и профильную W (плоскость, расположенная перед зрителем сбоку).
Чтобы построить профильную проекцию предмета, удобно воспользоваться постоянной прямой (линия, которую проводят справа от горизонтальной проекции детали под углом 45 o к оси OX). Линии связи, идущие от горизонтальной проекции, доводят до постоянной прямой. Из точек их пересечения проводят перпендикуляры к горизонтальной прямой и строят профильную проекцию детали. (рассмотреть рис. 91, 92, б учебник)
Система плоскостей проекций представляет собой трехгранный угол с вершиной в точке О. пересечения плоскостей трехгранного угла образуют прямые линии – оси проекций ОХ, ОУ, ОZ.
Помним, что лист тетради (формата) плоский. Для получения чертежа предмета плоскость W поворачивают на 90 o вправо, а плоскость Н - на 90 o вниз. Профильную проекцию располагают в проекционной связи с фронтальной плоскостью, справа от нее на одной высоте.
Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций, называют чертежом в системе прямоугольных проекций.
Задание (работа в группе).
Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.
V. Подведение итога урока
Вопросы на закрепление темы урока:
1. С какими плоскостями проекций вы познакомились?
2. Какие размеры проставляются на горизонтальной проекции?
3. Кто обосновал метод прямоугольного проецирования?
4. Как называется комплексный чертеж?
5. В каких случаях применяется прямоугольное проецирование предмета на три плоскости проекций?
4. Закрепление нового материала
Выполнение индивидуальных упражнений по карточкам-заданиям. По наглядному изображению выполнить его фронтальную, горизонтальную и профильную проекции.
Рис.142
Вырез произведен двумя плоскостями. Одна проходит через вершину конуса и рассечет его поверхность по образующим. Вторая плоскость – фронтально-проецирующая, линия пересечения – часть эллипса, ограниченная прямой принадлежащей линии пересечения плоскостей.
1. Отметим фронтальные проекции характерных точек для построения выреза – А”, В”, С”, M",N" (рис. 143).
2. Точки D и Е выбраны произвольно для построения эллипса, т.к. линия среза от А до СN представляет собой часть эллипса.
3. Найдем горизонтальные проекции точек А, В, С, D, Е, N. Точки лежат на поверхности конуса, а значит, они лежат на линиях, принадлежащих поверхности конуса. Горизонтальные проекции точек М и В, D и E найдены на окружностях, принадлежащих поверхности конуса. Точки С и N – на образующих S1 и S2.
4. Соединяем полученные горизонтальные проекции. S’С’ и S’N‘ – прямые, C’, B’, D’, A’, E’, M’, N’ – кривая линия – часть эллипса (рис. 142).
Рис.143 Рис.144
Строим профильную проекцию конуса и профильные проекции точек. Соединяем их (рис.145).
Пример 2. Вырез на цилиндре (рис.146).
Вырез произведен тремя плоскостями. Наклонные фронтально-проецирующие плоскости рассекут цилиндр по части эллипса, ограниченного прямой. Плоскость, параллельная оси вращения, пересекает поверхность цилиндра по образующим.
1. Отметим на фронтальной проекции выреза фронтальные проекции A",F",G",K",L",P". Характерные точки D",E" ,M",N" – на оси симметрии цилиндра, B",C",T",V " – отмечены произвольно на линии, принадлежащей поверхности цилиндра. Все точки принадлежат боковой поверхности цилиндра, которая проецируется в окружность на горизонтальной плоскости проекций. Поэтому все горизонтальные проекции точек принадлежат этой окружности (рис.147).
Рис.147
Найдем профильные проекции всех точек. Затем полученные точки соединяем. Линия GECABDF – часть эллипса, FK и GL отрезки прямых, GF и KL-отрезки прямых, LNVPTMK – часть эллипса (рис. 148).
Рис.148
Пример 3. Вырез на призме (рис.149).
Рис.149 Hbc
Пример 4. Вырез на пирамиде (рис.150).
Пример 5. Вырез на сфере (рис. 151
p>
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9122 – | 7289 – или читать все.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Пошаговое руководство решения задачи №6 — построение линии пересечения сферической поверхности от сквозного призматического выреза.
Необходимо построить линию пересечения сферической поверхности (шара) от сквозного призматического выреза, состоящего из четырех граней (проецирующих плоскостей). Фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей (шара и многогранника) задана исходным чертежом, требуется построить ее в горизонтальную и профильную проекции.
Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:
— построение трех проекций сферической поверхности (шара) по заданным координатам, на комплексном чертеже;
— построение линии пересечения шаровой поверхности с гранным телом;
— частные случаи построения линии пересечения шаровой поверхности с проецирующей плоскостью.
Порядок решения Задачи
Рис.6.1
1. В правой части листа формата A3 наносятся оси координат и согласно варианту задания строится фронтальная, горизонтальная и профильная проекции сферы (шара) заданного радиуса.
По координатам точек, взятым из таблицы по своему варианту, наносятся вершины сквозного четырехгранного выреза во фронтальной проекции (рис.6.1).
2. Решение задачи заключается в построении горизонтальной и профильной проекции линии пересечения данного выреза.
Прежде чем приступить к построению этих проекций, необходимо вспомнить некоторые частные случаи сечений шаровой поверхности от проецирующей плоскости (сквозное отверстие можно рассматривать как гранное тело, образованное четырьмя плоскостями), а именно:
(а) если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность параллельно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде окружности с радиусом, взятым в этом сечении от оси вращения шара до очерка, а в профильной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии;
(b) если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность перпендикулярно экватору, то в горизонтальной проекции это сечение проецируется в виде прямой линии, а в профильной — в виде окружности с радиусом, взятым тем же способом что и в первом случае;
(c) если плоскость во фронтальной проекции рассекает шаровую поверхность под некоторым (отличным от 0 и 90 градусов) углом к экватору, то в горизонтальной и фронтальной проекциях это сечение будет проецироваться в виде эллипса. Построение эллипса осуществляется по опорным (характерным) и некоторым промежуточным, взятым произвольно, точкам;
(d) все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на очерке, в горизонтальной проекции будут проецироваться на экваторе, а в профильной — на главном меридиане;
(e) все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на экваторе, в горизонтальной проекции будут проецироваться на очерке, а в профильной — на экваторе;
(f) все точки фронтальной проекции сферы, расположенные на главном меридиане, в горизонтальной проекции будут проецироваться также на главном меридиане, а в профильной — на очерке сферы.
Рис.6.2
3. С учетом приведенных частных случаев сечений построение выреза в горизонтальной и профильной проекциях не вызывает особых затруднений и начинается с определения характерных (опорных) точек сквозного выреза во фронтальной проекции. Этими точками являются А, В, С, D. Тогда берем проекцию стороны призмы B’C’ и рассматриваем ее как проецирующую плоскость ’, рассекающую шар параллельно экватору, — строим в горизонтальной проекции окружность с радиусом r1 взятым в этой плоскости, от оси шара до очерка. Проецируем на эту окружность точки B’ и C’, получаем B и C — их горизонтальные проекции. Вполне очевидно, что этих точек будет по две (точки входа и выхода), т.к. отверстие сквозное.
Аналогичным способом строится проекция сечения плоскости А’D’. Берется радиус от оси сферы до очерка (разумеется не до точки A’) и в горизонтальной проекции проводится окружность этим радиусом. Проецированием находятся проекции точек D (их будет две — точка входа и точка выхода) — D и D1 и промежуточной точки, расположенной на экваторе.
Рис.6.3
Сторона четырехугольника СD горизонтальной проекции проецируется в прямую линию, причем эта линия должна начинаться от очерка, т.к. во фронтальной проекции
она пересекает экватор шара и продолжается до точек С и D.
Рис.6.4
Горизонтальной проекцией сторон четырехугольника АВ будет эллипс, строим его по характерным (опорным) точкам. Проецируем точки, расположенные на меридиане, экваторе и очерке фронтальной проекции соответственно на меридиан, очерк и экватор горизонтальной проекции. Соединяя их по лекалу с уже имеющимися
проекциями точек B и B1, и получаем искомую проекцию эллипса.
4. Аналогичным способом строится третья профильная проекция данного выреза (вид слева), поэтому нет надобности в подробном изложении четырехугольника ВС и АD будут проецироваться в прямые линии, СD – в окружность, AB – в эллипс.
Рис.6.5
5. Заключительным этапом в решении задачи является определение видимости сторон сквозного выреза, которая определяется из расположения их на сопряженной плоскости проекций. Тогда видимыми точками и линиями в горизонтальной плоскости будут точки и линии, которые во фронтальной — расположены выше экватора и на профильной проекции видимыми будут точки и линии которые на фронтальной плоскости расположены левее меридианы.
Экватор и меридиан являются границами видимости. Точки и линии, расположенные ниже экватора и правее меридиана во фронтальной проекции, в горизонтальной и профильной проекциях будут невидимыми.
Пример 1. Построить три проекции цилиндра с вырезом (рис. 147).
Отмечаем характерные точки выреза А, В, С, Д, Е, F, а также произвольную точку к для построения профильной проекции части эллипса. Горизонтальные проекции точек отмечаем на горизонтальном очерке цилиндра, так как горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра совпадает с горизонтальным очерком (рис .148)
Построение профильной проекции выреза показано на рис. 149. Для этого целесообразно ось x 12 провести через ось симметрии горизонтальной проекции,а ось x 23 через профильную ось симметрии.
Пример 2. Построить три проекции конуса с вырезом (рис. 150).
Отмечаем характерные точки вареза А, В, С, Е, K, а также произвольную точку D для построения части эллипса. Горизонтальные проекции точек отмечаем на образующих конуса и вспомогательных окружностях (рис. 151).
На рис. 152 показано построение профильной проекции конуса с вырезом.Для этого целесообразно ось x 12 провести через ось симметрии горизонтальной проекции, а ось x 23 через профильную ось симметрии.
Пример 3. Построить три проекции вырезе на призме (рис. 153).
Решение показано на рис. 154
Пример 4. Построить три проекции выреза на пирамиде (рис. 155).
Отмечаем фронтальные проекции характерных точек выреза – это точки 12, 22, 32, 42, 52, 62. Для нахождения горизонтальных проекций точек 4 и 5 проводим по поверхности пирамиды две вспомогательные линии, параллельные основанию пирамиды ABC. Горизонтальные проекции этих линий являются треугольниками, параллельными горизонтальной проекции основания А1В1С1. На этих треугольниках отмечаем горизонтальные проекции точек 4 и 5 (рис. 156).
Затем строим профильную проекцию пирамиды и точек выреза. Для этого оси целесообразно провести как показано на рис. 157.
Пример 5. Построить три проекции выреза на сфере (рис. 158).
Вырез образован двумя фронтально-проецирующими плоскостями α и τ, горизонтальной плоскостью φ, двумя профильными плоскостями β и γ. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность сферы по части окружности, ограниченной прямой. Фронтально-проецирующая плоскость пересекают поверхность сферы по окрухностям, которые на горизонтальной и профильной плоскости проецируются как части эллипсов. Профильная плоскость пересечет поверхность сферы по части окружности, которая на профильной плоскости спроецируется как часть окружности (рис. 159).
Построение профильной проекции показано на рис. 160
Метрические задачи
§ 19.3. Построение чертежей предметов со срезами и вырезами
Построение чертежей предметов со срезами и вырезами
Детали представляют собой комбинации пересекающихся геометрических тел, ограниченных плоскостями и кривыми поверхностями. Геометрические тела могут быть сплошными и полыми, с отверстиями, выемками и т. д. В практике встречается много деталей и других предметов, геометрическая форма которых изменена с помощью различных вырезов (рис. 56.10). Чтобы выполнить или прочитать чертеж такого предмета, нужно представить его первоначальную форму и форму выреза.
Срез - результат сечения поверхности тела вращения или многогранника какой-нибудь плоскостью.
Вырез - результат сечения поверхности тела вращения или многогранника двумя и более плоскостями.
Рассмотрим некоторые примеры выполнения срезов и вырезов в геометрических телах.
Срезы и вырезы в прямой треугольной призме.
Заданы фронтальная и горизонтальная проекция геометрического тела со срезом и вырезом, выполненными плоскостями, перпендикулярными фронтальной плоскости (V).
1. Обозначают на виде спереди точки пересечения плоскостей срезов с ребрами (точки 1(1") и 4(4")), гранями (точка 3(3")) и основанием (точки 5(5"), 2(2")) призмы: Фронтальная проекция линии выреза обозначена проекциями точек 1″, 2″, 3″, а среза — проекциями точек 4″, 5″.
2. Достраивают горизонтальную проекцию призмы со срезом и вырезом, построив проекции обозначенных точек, и определяют видимость плоскостей срезов.
3. Строят вид слева данного геометрического тела (без срезов).
4. Строят профильную проекцию призмы, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек. Затем вырезанную часть удаляют и определяют видимость плоскостей срезов.
Условие
Как вы считаете, в чем отличие среза от выреза?
Срезы и вырезы в цилиндре.
Заданы фронтальная и горизонтальная проекция геометрического тела со срезом и вырезом, выполненными плоскостями, перпендикулярными фронтальной плоскости проекций (V). Срез наклонной плоскостью рассечет цилиндр по эллипсу, ограниченного прямой.
1. Обозначают на виде спереди точки пересечения плоскостей срезов с образующими (точки 1(1"), 3(3") и 6(6"), осью симметрии и основанием цилиндра (точки 4(4") и 2(2")). Отмечают произвольно промежуточную точку 5(5″).
2. Достраивают горизонтальную проекцию цилиндра со срезом и вырезом, построив проекции обозначенных точек, и определяют видимость плоскостей срезов.
3. Строят вид слева данного геометрического тела (без срезов).
4. Строят профильную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек. Полученные проекции 4′′′, 5′′′, 6′′′ соединяют плавной кривой. Затем вырезанную часть удаляют и определяют видимость плоскостей срезов.
Условие
На рисунке даны две проекции детали и варианты третьей проекции. Найдите третью проекцию детали. Укажите основные ошибки в остальных изображениях.
Условие
Помните! Все точки принадлежат боковой поверхности конуса, поэтому проецируются в окружности различного радиуса на горизонтальной плоскости проекций.
Определите, какими плоскостями выполнен вырез конуса.
Срезы и вырезы на пирамиде.
Заданы фронтальная и горизонтальная проекция геометрического тела со срезом и вырезом, выполненными плоскостями, перпендикулярными фронтальной плоскости проекций (V).
1. Обозначают на виде спереди точки пересечения плоскостей срезов с гранями (точки 2(2"), 3(3"), ребрами (точки 5(5"), 1(1"), 4(4") и основанием пирамиды (точка 6(6"). Для построения вершин выреза отмечают на фронтальной проекции точки 1", 2", 3", 4", для построения вершин среза − 5", 6".
2. Строят горизонтальную проекцию пирамиды со срезом и вырезом, построив проекции обозначенных точек, и определяют видимость плоскостей срезов.
Условие
3. Строят вид слева данного геометрического тела (без срезов).
4. Строят профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек. Затем вырезанную часть удаляют и определяют видимость плоскостей срезов.
Используя информацию о построении срезов и вырезов на призме, определите последовательность выполнения срезов и вырезов на пирамиде.
Срезы и вырезы на сфере. Вырез выполнен двумя плоскостями. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости, пересекает поверхность сферы по неполной окружности; наклонная плоскость выреза рассекает сферу по неполной гиперболе; наклонная плоскость среза рассекает поверхность сферы по эллипсу. Все точки принадлежат боковой поверхности сферы, поэтому проецируются в окружности различного радиуса на горизонтальной плоскости проекций.
Комплексный чертеж точки и отрезка прямой. Образование проекций. Методы и виды проецирования. Комплексный чертеж. Проецирование точки. Расположение проекций точки на комплексных чертежах. Проецирование отрезка прямой на две и на три плоскости проекций. Взаимное положение двух прямых в пространстве.
Оглавление
1. Виды проецирования
Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.
Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.
Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).
Рисунок 1.1 – Центральное проецирование
Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.
Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.
Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования
Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р, с плоскостью проекций π1.
Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4),или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называется косоугольным.
Четырехугольник АА1В1В задаёт плоскость π, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π1 (γ⊥π1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.
Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование
2. Плоскости проекций
Чтобы получить полное представление о форме и размерах предмета, его нужно спроецировать на две, три или более плоскостей. Для простоты проецирования эти плоскости располагают взаимно перпендикулярно. Таким образом, три плоскости образуют прямой трехгранный угол. Каждой плоскости даны название и обозначение.
Рис. Плоскости проекций
3. Проекции точки на три плоскости проекций
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.
Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций. Третью плоскость принято называть профильной.
В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.
Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а, необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х, а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.
На рисунке 16 изображено положение проекций а, а́ и а́́ точки А, полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.
В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z).
На рисунке 16 три проекции а, а́ и а́́ точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:
1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а́ всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х;
2) фронтальная и профильная проекции а́ и а́́ всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z;
3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а́́– вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оауа0ан – квадрат.
При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.
4. Проекции прямых линий
По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие.
1. Прямые общего положения.Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций.
Прямые уровня. Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций - П1, П2 или П3. Следовательно, имеем три вида прямых уровня:
1) горизонтальная уровня a (горизонталь), параллельная П1 (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а, б);
2) фронтальная уровня (фронталь), параллельная П2 (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а);
3) профильная уровня, параллельная П3 (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б).
Проецирующие прямые.Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых:
1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П1 (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а);
2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П2 (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б);
3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П3 (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в).
Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
Определение координат точек по их проекциям
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A', имеющая координаты x, y. Проведем из т. A' перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A'' имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A'' на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В'. Так как она лежит на оси х, то Bx = B' и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B'' к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A''' (y, z); B''' (y, z). При этом A'' и A''' лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B'' и B'''. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A'' к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A'''.
Точка B''' лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B'' к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B'''.
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A'. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A'. Отложив от A' параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA', длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.
Читайте также: