Как сделать проекцию угла

Обновлено: 05.07.2024

В общем случае плоский угол ни на одну из плоскостей проекций не будет проецироваться без искажения.

Любой плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны какой-либо плоскости проекций (АВС угол лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций) (рис.35). Одно из инвариантных свойств ортогонального проецирования утверждает, что прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Имеется несколько способов доказательства данного положения. Возьмем, пожалуй, самый простой. Прямой угол АВС расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости H, тогда угол abc – прямой. Возьмем на перпендикуляре Aa любую точку D и соединим ее с точкой В. Угол DBC = 90 0 , т.к. ВС перпендикулярен плоскости ABba. Проекции углов АВС и DBC совпадают, т.к. точки А и D находятся на одном перпендикуляре к плоскости H, т.о. 0 .

Комплексный чертеж угла, одна из сторон которого ( АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций) дан на рисунке 1.34.

1.14 Плоскость

Способы задания плоскости. Плоскостью является простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками А, В, С, не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на эпюре Монжа (комплексном чертеже), (рис. 1.35 ) достаточно указать проекции:

1) трех различных, не принадлежащих одной прямой точек (рис. 1.35 а);

2) прямой и не принадлежащей ей точки (рис. 1.35 б);

3) двух параллельных прямых (рис. 1.35 в);

4) двух пересекающихся прямых (рис. 1.35 г);

5) проекциями любой плоской фигуры ( рис. 1.35 д).

Все эти способы задания плоскости равноценны. Нетрудно, имея одну комбинацию элементов перейти к любой другой.

Например, проведя через точки А и В прямую, получим задание плоскости прямой и точкой. От него можно перейти к двум последующим или к последнему – быть заданной на чертеже любой плоской фигурой (треугольником, четырехугольником, кругом и т. д.).

В некоторых случаях, бывает целесообразным задавать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций.

Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами. На рисунке 1.36 показана плоскость Q. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости:

Q_H – горизонтальный след плоскости Q,

Q_V - фронтальный след плоскости Q,

Q _W – профильный след плоскости Q.

Точки пересечения плоскости с осями проекций (Q_x , Q_y ,Q_z ) называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одноименные следы двух прямых, лежащих в этой плоскости (рис 1.37).

Сопоставляя между собой наглядное изображение ( рис.1.36) и его плоскостную модель – эпюр Монжа (рис. 1.37), мы видим, что задание плоскости следами обладает преимуществом перед другими вариантами. Ее изображение на эпюре:

во-первых, сохраняет наглядность изображения, что позволяет легко представить положение плоскости в пространстве;

во-вторых – при задании плоскости следами требуется указать только две прямые вместо четырех (рис. 1.35 в , 36г ), или шести (рис. 1.35д ).

Рис. 1.36 Рис. 1.37

Показанная на рисунке 1.36 и 1.37 плоскость Q, занимает общее (произвольное) положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций – произвольные, но отличные от 0 и 90 0 ). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На рисунке 1.37 видно, что на эпюре Монжа следы плоскости общего положения составляют с осью проекции также произвольные углы. Угол между следами плоскости на эпюре не равен углу, образованному ими в пространстве. Действительно, в точке схода следов находится вершина трехгранного угла, две грани которого совпадают с плоскостями проекций. Сумма двух плоских углов данного трехгранного угла больше третьего плоского угла.

Рис. 1.38 Рис. 1.39

Точка и прямая в плоскости.К числу основных позиционных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение в плоскости прямой; построение в плоскости некоторой точки; построение недостающей проекции точки, лежащей в плоскости; проверка принадлежности точки плоскости. Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости или если она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости

Пусть некоторая плоскость Q определена точками А,В,С (рис. 1.42). Проведя прямые через одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника АВС. Точка D, взятая на прямой АВ, принадлежащей плоскости треугольника, тем самым принадлежит плоскости АВС. Проведя прямую через точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую этой плоскости (например, С), прилучаем одну и ту же плоскость.

На рисунке 1.41 дан комплексный чертеж плоскости Q общего положения, заданной следами. Точка А принадлежит плоскости Q и кроме того принадлежит фронтальной плоскости проекций. Точка В так же принадлежит заданной плоскости Q и принадлежит горизонтальной плоскости проеций. Точка Е не принадлежит заданной плоскости Q.

На рисунке 1.38 показана прямая СD, принадлежащая плоскости Q, т.к две ее точки принадлежат заданной плоскости.

Т.о. точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой принадлежащей данной плоскости.

Построение недостающей проекции точек. На рисунке 1.38 плоскость задана треугольником АВС. Принадлежащая этой плоскости точка D задана фронтальной проекцией d / . Требуется найти горизонтальную проекцию точки D . Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводим фронтальную проекцию прямой АD, отмечаем на ВС точку е, строим горизонтальную
проекцию прямой АЕ и на ее продолжении находим горизонтальную проекцию точки D.

Рис. 1.40 Рис. 1.41

На рисунке 1.39 плоскость задана следами. Задана точка А горизонтальной проекцией. Проведя через нее вспомогательную прямую ВС и найдя ее фронтальную проекцию, находим на ней недостающую проекцию точки.

Рис. 1.42 Рис. 1.43

Проверка принадлежности точки плоскости.Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так на рисунке 40 плоскость задана параллельными прямыми АВ и СD, точка E - фронтальной проекцией e / и горизонтальной e. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, горизонтальная проекция вспомогательной прямой MN проходит через горизонтальную проекцию точки - e. Построив фронтальную проекцию прямой m / n / , убеждаемся, что фронтальная проекция точки E не принадлежитпрямой MN. Следовательно, точка E не принадлежит плоскости.

На рисунке 1.41 задана следами плоскость общего положения Q и и точка Е. Проведя через фронтальную проекцию точки e / фронтальную проекцию прямой АВ и найдя ее горизонтальную проекцию, убеждаемся, что точка E не принадлежит заданной плоскости Q.

Частные случаи расположения плоскостей. Кроме рассмотренного общего случая, плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие частные положения:

1)
перпендикулярное к плоскости проекции,

2) параллельные плоскости проекции.

Плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. При этом плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (рис.1.44), плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующей (рис. 1.45).

Рисунки 1.44 и 1.45 дают наглядное представление о проецирующих плоскостях и их задании на эпюре Монжа, причем одна и та же горизонтально-проецирующая плоскость Q задана следами и треугольником (рис. 1.44), и фронтально-проецирующую Р – следами и треугольником ВСК (рис. 1.45).

На ту плоскость проекций, к которой эта плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую линию. Эту проекцию можно рассматривать и как след плоскости. Кроме того, на эту плоскость проекций в натуральную

величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Проецирующие плоскости обладают следующим важным свойством,

называемым собирательным: если точка, прямая или фигура расположена в

плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпадают со следом проецирующей плоскости.

Плоскости, параллельные плоскости проекций, называют плоскостями уровня. Плоскость Q (рис. 1.46), параллельную фронтальной плоскости проекций (эта плоскость одновременно перпендикулярна двум другим плоскостям проекций), называют плоскостью фронтального уровня или фронтальной. На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в прямую, параллельную оси ОХ, все что в ней находится (в данном случае треугольник АВС ) проецируется в этулинию – ее горизонтальный след. На фронтальную плоскость проекций геометрические образы, находящиеся в этой плоскости, проецируются без искажения (в данном случае величина фронтальной проекции треугольника равна величине самого треугольника).

Эта плоскость не имеет фронтального следа.

Плоскость R (рис. 1.47), параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной или плоскость горизонтального уровня или горизонтальной. На горизозонтальную плоскость проекций треугольник АВС, находящийся в плоскости фронтального уровня R, проецируетсябез искажения, а на фронтальную – в линию параллельную оси ОХ, являющуюся фронтальным следом плоскости R.

Главные линии плоскости. Прямых, принадлежащих плоскости, множество. Среди них выделяют прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относят – горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называют главными линиями плоскости.

Горизонталь (АВ)– прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 1.48).

Горизонтальная проекция горизонтали ab параллельна горизонтальному следу плоскости, которой она принадлежит. Фронтальная проекция гори-

зонтали а / b / параллельна оси x , профильная – оси y. По имеющейся, например , фронтальной проекции легко найти горизонтальную, используя условие принадлежности точки плоскости.

Фронталь (CD) – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости ( рис. 1.48, 1.51 ). Фронтальная проекция фронтали c / d / параллельна фронтальному следу плоскости, в которой она находится.Горизонтальная проекция фронтали, параллельна оси x , профильная – оси -z.

Профильная пямая (EF) – прямая, принадлежащая плоскости и параллельна профильной плоскости проекций (рис.1.49, 1.50). На рисунке 1.51 дан комплексный чертеж главных линий, построенных в плоскости треугольника ACE.

Следы плоскостей являются частными случаями горизонтали, фронтали и профильной прямой. В проективной геометрии горизонтальный след, например, называется горизонталью нулевого уровня или нулевой горизонталью.

Рис. 1.49 Рис. 1.50

Главные линии применяются для решения задач по определению геометрических элементов в плоскости.

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций отметим линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций. Эту линию называют линией ската.

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали (рис. 1.51, 1.52). Линия ската EB перпендикулярна горизонтальному следу плоскости Q , а в треугольнике АВС - горизонтали. Из условия проецирования прямого угла горизонтальная

проекция линии наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций перпендикулярна горизонтальному следу плоскости (рис. 1.51), а в случае задания плоскости треугольником перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (рис.1.52). Линейный угол двухгранного, образованного заданной плоскостью и горизонтальной плоскость проекций можно определить методом прямоугольного треугольника, определив угол наклона прямой ВЕ (линии ската) к горизонтальной плоскости проекций.

Соответственно, линия наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна фронтали или фронтальному следу плоскости.

Рис. 1.51 Рис. 1.52

На комплексном чертеже используется правило проецирования прямого угла. Т.о для построения линии ската, в заданной плоскости строится горизонталь. Построение проекции линии ската выполняют с горизонтальной проекции, проводя ее перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали.

Следовательно, линия наибольшего наклона к плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к соответствующей плоскости проекции. Величину углов наклона к соответствующим плоскостям проекций можно определить используя метод прямоугольного треугольника.

Линия наибольшего наклона определяет положение самой плоскости.

Построить плоскость возможно, используя заданную прямую наибольшего наклона как одну из пересекающихся прямых искомой плоскости, а за вторую принять горизонталь данной плоскости.

Таким образом,построив линию наибольшего наклона заданной в пространстве плоскости общего положения, можно, используя метод прямоугольного треугольника, определить угол наклона всей заданной плоскости к какой-либо плоскости проекций, взяв за исходную только одну линию наибольшего наклона.

Рассмотренные прямые особого положения в плоскости, главным образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных построениях при решении задач на комплексном чертеже. Это объясняется значительной простотой построения указанных прямых, поэтому их весьма удобно применять в качестве вспомогательных.

1. Проекции плоских углов. Свойство проекций прямого угла.

2. Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости.

3.Взаимная перпендикулярность двух плоскостей.

4. Взаимнаяпараллельность прямой и плоскости.

5. Взаимнаяпараллельность двух плоскостей.

6. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения.

Проекции плоских углов. Свойство проекций прямого угла

Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

Особенность проекций прямого угла состоит в следующем:

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на неё в виде прямого же угла (рис. 1).

Теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные:

Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций, на которой угол отображается в виде прямого.

Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой на этой плоскости прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой (рис. 2).

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой – либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой этой плоскости, что следует из свойств проекций прямого угла.

Поэтому, чтобы построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые, как горизонталь и фронталь.

На рисунке 3 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми KN и KM, причем KN является горизонталью, а KM – фронталью этой плоскости. ПрямаяKFперпендикулярна к KN и KM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Рис. 3 Рис. 4

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

В случае, когда плоскость задана следами (рис. 4) получается следующее: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

В случае профильно – проецирующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно – проецирующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей

Построение взаимно перпендикулярных плоскостей может быть проведено двумя путями: 1) плоскость проводится через прямую, перпендикулярную к плоскости (рис. 5, 6); 2) плоскость проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в плоскости или параллельной этой плоскости (рис. 90).

Рис. 5 Рис. 6

На рисунке 5 показана плоскость β, перпендикулярная плоскости α, т. к. плоскость βпроходит через прямую АВ, перпендикулярную плоскости α.

На рисунке 6 показано построение плоскости γ (а∩в), перпендикулярной плоскости α (∆АВС). Плоскость γ проходит через прямую а, перпендикулярную плоскости α(∆АВС), т. к. а _┴f и а _┴ h, причем f α и h α ( - знак принадлежности одного множества другому).

Рис. 7

На рисунке7 показано построение плоскости β(f∩h), проходящей через точку К, перпендикулярно к прямой MN, принадлежащей плоскости α, следовательно, плоскость β(f∩h) перпендикулярна плоскости α (а║в).

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.).

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.

Прямой угол — плоский угол между двумя взаимно перпендикулярными пересекающимися прямыми линиями. Прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна сторона его параллельна этой плоскости.

Для доказательства этого положения рассмотрим прямой угол ЛВС со стороной АВ, параллельной плоскости щ (рис. 3.23, а). Проведя проецирующие прямые ВВ' и СС', определяющие плоскость проецирования а, и проецирующую прямую АА', строят его горизонтальную проекцию. Сторона АВ прямого угла перпендикулярна плоскости а как прямая, перпендикулярная двум прямым, принадлежащим этой плоскости: АВ 1 ВС по условию и АВ 1. ВВ', так как АВ || Ль Горизонтальная проекция стороны АВ также перпендикулярна плоскости а, поскольку А 'В' || АВ, поэтому она перпендикулярна всякой прямой, принадлежащей плоскости а и проходящей через точку В Горизонтальная проекция стороны ВС удовлетворяет такому условию, т.е. В 'С' _1_ А 'В', следовательно, угол А'В'С' является прямым углом. На рис. 3.23, 6 приведен чертеж рассмотренного прямого угла.

Такое же доказательство справедливо для плоскостей п₂ и тс₃. Обобщая сказанное, можно сформулировать положение, позволяющее судить по чертежу о перпендикулярности двух пересекающихся прямых линий, а также строить их:

• прямая линия общего положения и горизонтальная прямая перпендикулярны, если перпендикулярны их горизонтальные проекции (см. рис. 3.23);
• прямая общего положения и фронтальная прямая перпендикулярны, если перпендикулярны их фронтальные проекции (рис. 3.24);
• прямая линия общего положения и профильная прямая перпендикулярны, если перпендикулярны их профильные проекции (рис. 3.25).

В тех случаях, когда необходимо выяснить, перпендикулярны ли две пересекающиеся прямые линии общего положения, используют способ замены плос-

костей проекций (рис. 3.26), преобразуя одну из прямых в прямую линию уровня, например АВ || я₄. В системе плоскостей проекций ъ/щ прямая АВ || щ и С 1У /) 1У ± А™В 1У , следовательно, прямые АВ и С/) перпендикулярны.

Для выяснения вопроса о перпендикулярности двух заданных пересекающихся прямых (рис. 3.27) используют следующие рассуждения.

Прямые АВ и СВ (рис. 3.27, а) не перпендикулярны, так как ни одна из них не параллельна плоскости проекций щ. Поэтому на плоскость щ угол между этими прямыми проецируется с искажением.

Прямые ИЕи ЕЕ(рис. 3.27, б) также не перпендикулярны. Если бы они были перпендикулярны, то угол между ними проецировался бы без искажения на плоскость проекций к₂, так как прямая ИЕ || 712-

Прямые линии, изображенные на рис. 3.27, в, пересекаются под прямым углом. Прямая КЕ параллельна плоскостям П и п₂ и именно на эти плоскости угол между прямыми проецируется в истинную величину.

Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a', образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.

Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P' является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P'O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a', лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a', совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a', совпадает с прямой a .

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P'O. )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P'O )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a' на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P' – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b', параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b', совпадет с прямой b.

Поскольку PP' – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP' перпендикулярна к прямой b'. Прямая a перпендикулярна к прямой b' по условию. Таким образом, прямая b' перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b' перпендикулярна к плоскости POP', откуда вытекает, что прямая b' перпендикулярна и к прямой a', лежащей на плоскости POP'.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a' наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Прямая a' перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP' перпендикулярна к прямой b', поскольку PP' – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b', перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P'O и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b' перпендикулярна к плоскости POP'. Тогда, в частности, прямая b' перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP'.

Читайте также: