Как сделать проекцию прямой на плоскость

Обновлено: 06.07.2024

Пусть прямая представляется уравнениями

где не равны нулю одновременно (случай рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найти проекцию прямой на плоскость достаточно исключить из уравнений (1)-(2). Полученное уравнение (вместе с уравнением будет представлять искомую проекцию. Аналогично находятся проекции на плоскости и

Пример 1. Найти проекцию прямой

Решение. Чтобы исключить 2, умножим первое из данных уравнений на 4, а второе — на 3 и сложим. Получим:

Это уравнение вместе с уравнением

представляет проекцию прямой на плоскость XOY.

Пояснение. Плоскость (5) проходит через прямую (§ 148). С другой стороны, как видно из (6) (где не содержится z), эта плоскость (§ 124, п. 2) перпендикулярна плоскости Значит, прямая, по которой плоскость (6) пересекается с плоскостью (7), есть проекция прямой на плоскость (7) (ср. § 148, пример 3).

Пример 2. Проекция прямой

на плоскость представляется (в плоской системе координат уравнением (9). Исключать координату не требуется, так как в уравнении (9) она уже не содержится. Плоскость (9) перпендикулярна плоскости она проецирует прямую на

Пример 3. Найти проекции прямой

на координатные плоскости.

Решение. В обоих уравнениях 2 отсутствует, так что обе плоскости (рис. 172) перпендикулярны плоскости Прямая перпендикулярна и проецируется на плоскость в точку с координатой Из системы находим

Уравнение проекции на плоскость можно найти по общему способу, исключая из (10) и (11).

Получим т. е. то же равенство, которое выше найдено для (из рисунка видно, что прямая V отстоит от на расстояние равное Уравнение проекции на плоскость есть

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?

$\dfrac<x-x_0></p> <p>Дано уравнение прямой в каноническом виде<br />=\dfrac=\dfrac$

И общее уравнение плоскости

$Ax+By+Cz+D=0$

И вообще - что значит проекция прямой на плоскость?
Проекция вектора на ось - ясно что значит
Можно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости

Последний раз редактировалось neverland 18.12.2009, 17:34, всего редактировалось 1 раз.

Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если -- точка на искомой проекции, -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),, то ,\vec n)=0$" />
и ,\vec n,\vec a)=0$" />
.

В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная ) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением , то --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
= \left( \frac>, \frac>, \frac> \right) $" />

Пусть _0$" />
--- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного \in \mathbb^3$" />
ортогональная проекция $" />
на нашу плоскость будет равна -\mathbf_0) - \big((\mathbf -\mathbf_0\big) \cdot \mathbf)\mathbf + \mathbf_0$" />
(точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде + t\mathbf : t \in \mathbb \>$" />
. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве _0 = \mathbf$" />
можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость

-- Вс дек 20, 2009 01:20:21 --

Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Стандартно, но математически пока неясно как искать

-- Вс дек 20, 2009 01:22:15 --

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если -- точка на искомой проекции, -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),, то ,\vec n)=0$" />
и ,\vec n,\vec a)=0$" />
.

$(\overrightarrow<M_0 M></p> <p>Да, так посложнее. <br />А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?

-- Вс дек 20, 2009 01:23:27 --

В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная ) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением , то --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
= \left( \frac>, \frac>, \frac> \right) $" />

Пусть _0$" />
--- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного \in \mathbb^3$" />
ортогональная проекция $" />
на нашу плоскость будет равна -\mathbf_0) - \big((\mathbf -\mathbf_0\big) \cdot \mathbf)\mathbf + \mathbf_0$" />
(точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде + t\mathbf : t \in \mathbb \>$" />
. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве _0 = \mathbf$" />
можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

$\vec r$

А что значит тут ?

-- Вс дек 20, 2009 01:39:49 --

Я не очень понял, как находить проекцию точки на плоскость.
Уравнение прямой

$\dfrac<x-x_0></p> <p>=\dfrac=\dfrac$

И общее уравнение плоскости

$Ax+By+Cz+D=0 ; (\gamma)$

Хотелось бы найти проекцию точки на плоскость

У прямой , проходящей через точку и перпендикулярной плоскости направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
=\dfrac=\dfrac$" />

Пусть точка является проекцией точки на плоскость
Т.к. точка принадлежит , то уравнение плоскости можно записать

-- Вс дек 20, 2009 01:43:42 --

По идее

$M_1$

отсюда можно найти координаты точки


Вектор нормали есть -- он в уравнении плоскости задан, точку на прямой выбрать тоже можем. Перпендикуляр к плоскости через точку проведем.

$(\overrightarrow<M_0 M></p> <p>А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?

У прямой , проходящей через точку и перпендикулярной плоскости направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
=\dfrac=\dfrac$" />


Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "" и выразите , и через -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра , ну а за ним и .

Последний раз редактировалось meduza 20.12.2009, 15:23, всего редактировалось 1 раз.

$(\overrightarrow<M_0 M></p> <p>А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?


Это смешанное произведение: . (Хотя "тройное скалярное" -- это вроде синоним).
,\vec n)=0$" />
значит, что вектор $" />
лежит в плоскости (по сути это и есть уравнение плоскости, поэтому вместо него можно написать ваше ), а ,\vec n,\vec a)=0$" />
-- что вектор нормали к плоскости, прямая и ее проекция лежат в одной плоскости. Отсюда уравнение проекции однозначно определяется.

Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция

У прямой , проходящей через точку и перпендикулярной плоскости направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
=\dfrac=\dfrac$" />


Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "" и выразите , и через -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра , ну а за ним и .

$ \left\< \begin</p> <p>Спасибо! Получилось так<br /> x=At+x_0\\ y=Bt+y_0\\ z=Ct+z_0\\ \end \right $



$" />

Координаты проекции точки

$ \left\< \begin</p> <p> x_1=-A\dfrac+x_0\\ y_1=-B\dfract+y_0\\ z_1=-C\dfract+z_0\\ \end \right $

Такое преобразование позволяет определить натуральную величи­ну отрезка прямой и углы наклона его к плоскостям проекций.


При решении задачи новую плоскость, например, V1 (рис. 5), ста­вим в положение, параллельное отрезку. В этом случае новая ось проек­ций будет проходить параллельно горизонтальной проекции прямой:

Через горизонтальные проекции а и Ь, перпендикулярно новой оси х 1 , проводим линии связи и на них откладываем х координаты точек (то есть расстояние от оси х до фронтальных проекций точек). Новая проек­ция а 1 Ь 1 будет равна натуральной величине отрезка, а угол а равен углу наклона отрезка к плоскости Н.

Преобразование прямой уровня в проецирующую прямую

В данном случае прямую необходимо поставить в положение, пер­пендикулярное плоскости проекций, чтобы на эту плоскость прямая спроецировалась в точку (рис. 6).

Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то для преобразования ее в проецирующую прямую, необхо­димо заменить фронтальную плоскость V на новую V1. Располагаем плоскость V1 перпендикулярно АВ. Тогда на плоскость V1 прямая спрое- цируется в точку (а’ 1=Ъ’ 1).

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую за одну замену нельзя, так как невозможно расположить новую плоскость одновре­менно перпендикулярно прямой общего положения и оставшейся старой плоско­сти проекций.

Чтобы прямую общего положения АВ (рис. 7) преобразовать в проецирую­щую, проводят две замены, то есть обе задачи, первую и вторую, решают по­следовательно. Сначала прямую общего
положения преобразуют в прямую, параллельную плоскости проекций (прямую уровня), а затем эту прямую преобразуют в проецирующую.

Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные поло­жения:

  • пересекаться, то есть иметь одну общую точку;
  • скрещиваться, то есть не иметь общей точки;
  • быть параллельными, когда точка пересечения прямых удалена в бесконечность.

Пересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то их одно­именные проекции пересекаются между собой и точки пересечения про­екций лежат на одной линии связи (рис. 8).

Скрещивающиеся прямые. Если прямые в пространстве не пере­секаются, а скрещиваются (рис. 9), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых. Точки 1, 2, 3 и 4 являются конкурирующими. Конкурирующими точками назы­ваются точки, лежащие на одной линии связи, но на разных прямых.

Параллельные прямые

Если прямые общего положения в про­странстве параллельны, то их од­ноименные проекции параллель­ны между собой (рис. 10).

Пря­мые частного положения парал­лельны при условии параллель­ности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 11).

Зависимость между декартовыми координатами принадлежащих плоскости точек, выраженная аналитически в виде многочлена первой степени:

Преобразуется в уравнение проекции прямой, когда как минимум один из них равен нулю: Cz=0; By=0; Ax=0. Например для горизонтальной проекции прямой:

То есть, проекции прямой - линия первого порядка.

Построим проекции прямой, которой принадлежат точки А и В. Спроецировав их на плоскости проекций H, V и W, а затем соединив между собой одноименные проекции A`B`, A"B" и A"`B"` получаем проекции прямой.

Проекции прямой

На эпюре (КЧ) прямая может быть задана проекциями двух точек (отрезком) или непосредственно своими проекциями.

Прямая общего положения

На представленном рисунке положение прямой d определяют проекции прямой d` и d".

Построить проекции прямой зная ее следы lH и lV

Проекции прямой

Для заданных следов lH и lV находим их проекции l"H и l`V. Соединяя проекции следов l"H и l"V получаем фронтальную проекцию прямой l". Соединяя проекции следов l`H и l`V получаем горизонтальную проекцию прямой l`.

Читайте также: