Как сделать проекцию окружности на плоскость

Обновлено: 07.07.2024

Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

Построение проекций прямого кругового конуса

На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения , заданной высотой и основанием радиусом .

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса с вершиной , совпадающей с осью вращения .

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник заданной высоты , ограниченный:

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:

слева и справа очерковыми образующими и построенными по координате :

вершиной , лежащей на базовой оси ; горизонтальным отрезком проекцией основания;

профильными проекциями характерных образующих и , которые совпадают с осью вращения конуса .

. Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.

. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и , заданных фронтальными проекциям и но их принадлежности круговым параллелям.

Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:

горизонтальные проекции точек и построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:

Графический алгоритм I:

1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели через заданную фронтальную проекцию точки : проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели полученным радиусом .

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки на горизонтальной проекции параллели

Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции и точек и .

Построение профильных проекций заданных точек. Точки и построены по принадлежности характерным образующим:

точка лежит на видимой характерной образующей , совпадающей с осью конуса;

На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки по ее принадлежности образующей .

1-е действие. Провести через вершину конуса и заданную невидимую фронтальную проекцию точки вспомогательную образующую

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей проходящей через вершину конуса и вспомогательную точку , лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности образующей .

На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом окружность вспомогательной параллели или вспомогательную образующую , на которых лежит горизонтальная проекция точки .

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели или вспомогательной образующей :

параллель провести через вспомогательную точку на образующей параллельно основанию конуса;

образующую провести через вспомогательную точку на основании конуса и вершину конуса

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки по ее принадлежности либо параллели , либо образующей .

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):

1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим (фронтально-проецирующая плоскость , рис. 4.73).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей , рис.4.74).

4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость параллельна двум образующим — и , рис.4.75).

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).

Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.

1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью , проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью , расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость пересекает поверхность конуса по образующим , горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки лежащей на основании конуса.

Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной параллельно одной образующей конуса .

Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью , расположенной параллельно двум образующим конуса и .

Плоскость пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости под углом к оси конуса. При плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью пересекающей все образующие конуса под углом к оси, отличным от прямого.

Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате (алгоритм I).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания и высоте фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью ;

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:

1. Фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей конуса и пересекает его поверхность по участку параболы , которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения плоскостей срезов и .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Лист 1. Тема урока: Построение окружности в аксонометрии.
Лист 2. Фронтальная диметрическая проекция (см. рис. 18.1).

Рис. 18.1 Рис. 18.2
Лист 3. Изометрическая проекция (см. рис. 18.2).
Лист 4. Центровые оси (см. рис. 18.3). Для выполнения построений учащимся выдаются распечатанные заготовки (см. приложение 8).

Рис. 18.3 Рис. 18.4
Лист 5. Обозначения осей для построения овала в плоскости V, W, H (см. рис. 18.4).

Рис. 18.5 Рис. 18.6

Лист 6-7. Построение овала в горизонтальной плоскости проекции. Обозначение оси Z – главная ось (см. рис. 18.5), на пересечении окружности и осевой обозначаем точки (см. рис. 18.6), из них проводим вспомогательные радиусы (синие стрелки) до пересечения с осевыми линиями (см. рис. 18.7).

Рис. 18.8 Рис. 18.9

Рис. 18.10 Рис. 18.11
Строим две малые дуги овала. Центры малых дуг лежат на пересечении двух левых и двух правых стрелок. Радиус равен остатку стрелки (см. рис. 18.10). Овал в горизонтальной плоскости построен (см. рис. 18.11).
Лист 15 – 20. Построение овала во фронтальной плоскости проекции. Обозначение оси Y – главная ось (см. рис. 18.12), на пересечении окружности и осевой обозначаем точки (см. рис. 18.13), из них проводим вспомогательные радиусы до пересечения с осевыми линиями (см. рис. 18.14). Строим большие дуги овала (см. рис. 18.15). Затем малые дуги овала (см. рис. 18.16).

Рис. 18.12 Рис. 18.13

Рис.18.14 Рис.18.15 Рис. 18.16
Лист 21 – 25. Построение овала в профильной плоскости проекции. Обозначение оси X – главная ось, на пересечении окружности и осевой обозначаем точки, из них проводим вспомогательные радиусы до пересечения с осевыми линиями.

Рис. 18.17 Рис. 18.18

Рис. 18.19 Рис. 18.20 Рис. 18.21
Лист 26. Домашнее задание (см. рис. 18.22).

Все точки окружности, проецируемой на плоскость, должны быть параллельны этой плоскости. Так как все плоскости в изометрической проекции находятся под наклоном, окружность принимает форму эллипса. Для упрощения работы эллипсы в изометрической проекции заменяются овалами.

Как построить окружность в изометрии
Как сделать аксонометрию
Как построить окружность в аксонометрии

- карандаш;
- угольник или линейка;
- циркуль;
- транспортир.

Построение овала в изометрии начинается с определения положения его малой и большой оси, которые пересекаются в его центре. Поэтому сначала определите положение центра окружности на нужной плоскости изометрической проекции. Обозначьте центр окружности точкой O.

Начертите малую ось овала. Малая ось параллельна отсутствующей в плоскости оси изометрической проекции и проходит через центр окружности O. Например, в плоскости ZY малая ось параллельна оси X.

С помощью угольника или линейки с транспортиром постройте большую ось овала. Она перпендикулярна малой оси овала и пересекает ее в центре окружности O.

Проведите через центр окружности O две линии параллельные осям плоскости, в которой строится проекция.

С помощью циркуля отметьте на малой оси овала и на линиях параллельных осям проекции по две точки в противоположных от центра сторонах. Расстояние до каждой точки на всех линиях откладывается из центра O и равно радиусу проецируемой окружности. Всего у вас должно получиться 6 точек.

Обозначьте на малой оси овала точки A и B. Точка A располагается ближе к началу координат плоскости, чем точка B. Начало координат плоскости соответствует точке пересечения осей изометрической проекции на чертеже.

Обозначьте отмеченные точки на линиях параллельных осям проекции как точки C, D, E и F. Точки C и D должны располагаться на одной линии. Точка C располагается ближе к началу координат оси проекции, которой параллельна выбранная линия. Аналогичные правила действуют для точек E и F, которые должны быть расположены на второй линии.

Соедините точки A и D, а также точки BC отрезками, которые должны пересекать большую ось овала. Если получившиеся отрезки не пересекают большую ось, обозначьте точку E как точку C, а точку C как точку E. Аналогично измените обозначение точки F на D, а точки D на F. И соедините получившиеся точки A и D, B и C отрезками.

Задайте циркулю радиус, который равен длине отрезка CG, и начертите дугу между точками C и F. Центр дуги должен быть расположен в точке G. Аналогичным способом начертите дугу между точками D и E.

Из точки A начертите дугу радиусом равным длине отрезка AD между точками F и D. Аналогичным способом начертите вторую дугу между точками C и E. Построение овала на первой плоскости готово.

При выполнении машиностроительных чертежей часто возникает необходимость построения прямоугольных проекций окружности.

Если окружность лежит в плоскости уровня, то, естественно, она проецируется на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, а на другую плоскость проекций - в отрезок, совпадающий с вырожденной проекцией плоскости.

Если окружность лежит в проецирующей плоскости, то одна ее проекция вырождается в отрезок, равный диаметру заданной окружности, и совпадает с вырожденной плоскостью, вторая проекция - эллипс (рис. 8.5).. Построение проекции окружности l, заданного диаметра d, лежащей во фронтально проецирующей плоскости, расположенной под углом 45° к П₁ ясно из чертежа.

На П₂ отрезок С₂D₂ равен d. На П₁ эллипс l₁ строим известным способом с помощью окружностей радиусами малой и большой полуоси эллипса, делением окружностей диаметральными линиями и получением точек М i .

Окружность, лежащая в плоскости общего положения, проецируется на обе плоскости проекций в эллипсы.

Пример. Построить проекции l₁, l₂ окружности l(О,R), лежащей в плоскости q(hÇf), где О=hÇf (рис. 8.6).

Отметим, что большие оси эллипсов l₁,l₂ принадлежат линиям уровня, соответственно горизонтали h и фронтали f и по величине равны диаметру окружности l. Поэтому большую ось А₁В₁ эллипса l₁ на П₁ откладываем на горизонтальной проекции горизонтали h₁, а большую ось М₂N₂ эллипса l₂ - на фронтальной проекции фронтали f₂. Вторые проекции А₂В₂, М₁,N₁ находим из условий принадлежности соответственно точек А,В,М,N горизонтали и фронтали.

Для построения малых осей С₁Д₁ и Р₂Q₂ проводим прямые n₁^А₁В₁, m₂^М₂N₂. Эллипс l₁ теперь определен большой осью А₁В₁, направлением n₁ малой оси и двумя точками М₁,N₁. Этих условий достаточно для графического определения величины его малой оси:

¨ через точку М₁ искомого эллипса l₁ проводим прямые, параллельные А₁В₁ и n₁;

¨ отмечаем точку 2 пересечения прямой, параллельной n₁, с окружностью u, описанной на А₁В₁, как на диаметре;

¨ отмечаем точку 1=0₁2ÇМ₁1 и получаем отрезок 0₁1, определяющий величину малой полуоси эллипса l₁.

Аналогично определяется величина малой полуоси эллипса l₂ - фронтальной проекции окружности l.

Обводы

Решение ряда задач требует построения линий, проходящих через упорядоченный массив точек или через данные точки и имеющие в них наперед заданные положения касательных, кругов кривизны и т.д. Иногда требуется какую-либо графически или аналитически заданную кривую заменить другой кривой.

Если исходная кривая задана большим числом точек, то выбор новой кривой, качественно заменяющей исходную, требует выполнения сложных вычислений. Для упрощения решения задачи в качестве заменяющей линии конструируют составную кривую - обвод.

Обводом называется линия, составленная из дуг кривых выбранного вида, которые в стыковых точках имеют определенный порядок соприкосновения.

В инженерной практике в качестве составляющих обводов обычно используют отрезки прямых, дуги кривых второго и третьего порядка. Порядок составляющих в стыковых точках определяет порядок гладкости обвода. Если смежные составляющие имеют в стыковых точках общие касательные, то составная линия называется обводом первого порядка гладкости. Составная линия представляет собой обвод второго порядка гладкости, если график изменения кривизны по ее длине будет непрерывным.

Рассмотрим один из способов построения обводов - радиусографический.

Пример. Через упорядоченный массив точек А i (i=1,2. n) необходимо провести обвод первого порядка гладкости, составленный из дуг окружностей (рис. 8.7).

Построение составляющих обвода основано на простых свойствах окружностей при построении их сопряжений. Первая составляющая m 1 однозначно определяется первыми тремя точками А 1 ,А 2 ,А 3 . Центр О 1 дуги m 1 строится как точка пересечения перпендикуляров р 1 ,р 2 , восстановленных из середин С 1 ,С 2 ее хорд - А 1 А 2 , А 2 А 3 .

Вторая и последующие составляющие m 2 , m 3 определяются двумя точками и касательной, построенной к предыдущей составляющей в стыковой точке. Центр О 2 второй составляющей m 2 определяется как точка пересечения прямой О 1 А 3 , соединяющей центр О 1 предыдущей окружности со стыковой точкой А 3 , с перпендикуляром р 3 , восстановленным из середины С 3 хорды А 3 А 4 . Аналогично строится все последующие составляющие m j (j=1,2. n-2).

Вопросы для самопроверки к лекции 8:

1. Как принято рассматривать кривую линию в начертательной геометрии?

2. Назовите основные понятия, характеризующие кривую линию.

3. Назовите проекционные свойства кривых линий.

4. Как может проецироваться окружность на плоскости проекций?

5. Что называется обводом?

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхности составляют обширное многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Любое тело ограничивается своей поверхностью. Нет ни одной области деятельности человека, где бы он не сталкивался с поверхностями в виде материальных, физических моделей.

Инженерная деятельность связана непосредственно с конструированием, расчетом, изготовлением различных технических поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчету и воспроизведению сложных технических поверхностей.

Основные понятия и определения

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) -многочлен n-й степени, или в форме какой либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором - трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n -й степени, то поверхность считается n-го порядка. Любая произвольно расположенная плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому поверхность целесообразно рассматривать кинематически: как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Изображение по-верхности на плоскости проекций получают обычно заданием перемещающейся l и направляющей линий m с указанием характера перемещения подвижной линии (рис. 9.1.) Перемещающаяся линия называется образующей. Характер перемещения образующей может быть определен, например, с помощью проецирующей плоскости S.

Процесс образования и изображения показанной поверхности можно записать так:

Эти условия сохраняются и на проекции поля П₁.

Другим способом образования и задания поверхности на чертеже является изображение поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий, которые выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи (рис. 9.2).

Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями каркасы подразделяются на точечные и линейчатые.

Линейчатый каркас считается непрерывным, если его параметр выражается непрерывной функцией, в противном случае он называется дискретным.

Поверхность будет задана (определена), если в любой момент движения образующей будут известны ее положение и форма, а это в свою очередь позволяет однозначно отвечать на вопрос положения точки на данной поверхности.

Кинематический способ образования поверхности подводит нас к понятию определителя, под которым мы будем подразумевать необходимую и достаточную совокупность геометрических элементов и связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

В определитель должны быть включены:

1. Геометрическая часть, определяющая перечень геометрических элементов, участвующих в образовании поверхности.

2. Алгоритмическая часть, указывающая на взаимосвязь между геометрическими элементами.

Итак, определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических элементов (1-я часть) и дополнительных сведений (2-ая часть).

В общем случае определитель будет иметь следующую структурную форму:

Ф (Г) [А], где (Г) - геометрическая часть,

[А] - алгоритмическая часть.

Для определения конкретного вида поверхности в каждую часть определителя вкладывается конкретное содержание.

Читайте также: