Как сделать присоединенную матрицу

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 05.10.2024

Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

Свойства обратной матрицы

Методы вычисления обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:

A\|E =	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	2	1	1	0	0	1

Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-тей строки отнимем 1-ую строку:

~	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	2 - 2	1 - 4	1 - 1	0 - 1	0 - 0	1 - 0

~	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	0	-3	0	-1	0	1

Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:

~	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	0	1	0	1/3	0	-1/3

~	2	4	1	1	0	0	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	2	1	0	1	0

Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:

~	2 - 4·0	4 - 4·1	1 - 4·0	1 - 4·(1/3)	0 - 4·0	0 - 4·(-1/3)	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0 - 2·0	2 - 2·1	1 - 2·0	0 - 2·1/3	1 - 2·0	0 - 2·(-1/3)

~	2	0	1	-1/3	0	4/3	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	0	1	-2/3	1	2/3

Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:

~	2 - 0	0 - 0	1 - 1	-1/3 - (-2/3)	0 - 1	4/3 - 2/3	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	0	1	-2/3	1	2/3

~	2	0	0	1/3	-1	2/3	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	0	1	-2/3	1	2/3

Разделим 1-ую строку на 2:

~	1	0	0	1/6	-1/2	1/3
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	0	1	-2/3	1	2/3

Ответ: A -1 =	1/6	-1/2	1/3
	1/3	0	-1/3
	-2/3	1	2/3

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

det(A) =	2	4	1	=
	0	2	1
	2	1	1

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Таким образом, присоединенная матрица (Adj - по первым буквам английского слова adjust - приспосабливать, прилаживать, присоединять) является транспонированной для матрицы, образованной заменой элементов а_у их алгебраическими дополнениями.

Получить присоединенную матрицу для

Вычислим алгебраические дополнения Су элементов матрицы

Составим присоединенную матрицу согласно (5.5):

Из соотношений (5.4) следует, что

Учитывая определение (5.5) и умножив правую и левую часть последнего выражения на 1/|А| (при условии |а| * 0), получим:

Из выражения (5.6) естественным образом определяется обратная матрица А -1 :

Нетрудно показать, что матрица и обратная ей коммутативны, то есть

Если |А| = 0, то матрица А называется особенной или вырожденной. Если | А| ф 0, то матрица называется неособенной (невырожденной). Таким образом, обратные матрицы существуют только для неособенных матриц.

Из выражения (5.7) следует, что обратная матрица для каждой неособенной матрицы является единственной и, следовательно, множество неособенных квадратных матриц по операции умножения образует некоммутативную группу.

Произведение обратных матриц подчиняется тем же правилам перестановки, что и произведение транспонированных матриц, то есть

Производная от обратной матрицы вычисляется по формуле:

которую нетрудно получить, если рассмотреть соотношение

Некоторые специальные обратные матрицы носят отдельные названия.

Инволютивная матрица - это такая матрица, которая совпадает со своей обратной, то есть АА = Е.

Ортогональная матрица - это матрица, для которой выполняется соотношение А -1 = А 7 .

Унитарная матрица удовлетворяет соотношению А = |(А*) j .

Под вектором будем понимать матрицу размерностью (дх1) или вектор- столбец.

Скалярное произведение двух векторов х и у определяется формулой

В случае вещественных х и у выражение (5.10) приобретает более знакомую форму:

Ясно, что понятие скалярного произведения существует только для векторов одинаковой размерности.

Сумма и разность векторов, а также умножение вектора на скаляр следуют из соответствующих операций над матрицами.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нормой вектора называют квадратный корень из скалярного произведения х и х, то есть

Можно показать, что из соотношения (5.11) вытекают два важных неравенства:

Угол 0 между двумя векторами определяется формулой

Вектор х называют нормированным, если х = ^.

Два вектора будут ортонормированы, если они ортогональны и нормированы.

Векторы х,, ге с компонентамих. x_2i. x_ni будут линейно независимы, если не существует таких постоянных k_i. k_m (хоть одна из не должна равняться нулю), что

Основываясь на понятии линейной независимости векторов, дадим еще пару определений.

Вырожденность или дефект матрицы определяется так. Если строки (столбцы) особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то вырожденность матрицы простая (дефект равен единице). Если таких соотношений q, то матрица имеет вырождение кратности q (или дефект равен q).

Рангом г матрицы А является наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Если размерность матрицы (пхп), то r-n-q.

Существует правило вырожденное™ Сильвестра, которое гласит, что дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из них и не выше суммы дефектов матриц.

Условие линейной независимости векторов можно сформулировать на основе ранга матрицы, образованной из элементов т векторов:

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Определение индексов для клеток матрицы

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются .

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой $_>$ считаются по формуле:

\[_>=\sum\limits_^>>\cdot _>\]

Другими словами: чтобы получить элемент $_>$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется , если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Определение. — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются $>$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как $>$ и считается по схеме:

Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_^$.
Затем умножаем этот определитель на $<<\left( -1 \right)>^>$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_^$.
Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой $>$ алгебраическими дополнениями $>$:

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска $>$. Зацените:

. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица $>$ существует и считается по формуле:

\[>=\frac<\left| A \right|>\cdot ^>\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений $>$ и расставить их на месте $>$.
Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q=/<\left| A \right|>\;$.

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin> & > & . & > & 1 & 0 & . & 0 \\> & > & . & > & 0 & 1 & . & 0 \\. & . & . & . & . & . & . & . \\> & > & . & > & 0 & 0 & . & 1 \\\end \right]\]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=>\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Задание. Для матрицы $ A=\left( \begin & \\ & \end\right) $ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $ A^=\left( \begin & \\ & \end\right) $

Если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.

Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель $ \Delta $ заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на $ \Delta $ и получаем обратную матрицу.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти обратную матрицу для $ A=\left( \begin & \\ & \end\right) $

Решение. Шаг 1. $ \Delta=\left| \begin & \\ & \end\right|=4-4=0 $ , тогда обратной матрицы не существует.

Ответ. Так как определитель матрицы $A$ равен нулю, то она не имеет обратной.

Задание. Найти обратную матрицу для $ A=\left( \begin & \\ & \end\right) $

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $ \Delta=\left| \begin & \\ & \end\right|=2-1=1 \neq 0 $

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Имеет место следующее свойство: $ A \cdot \widetilde^=|A| \cdot E $

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $ A=\left( \begin & & \\ & & \\ & & \end\right) $

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$$ \Delta=\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=1 \cdot(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 3 \cdot 2+0 \cdot 1 \cdot 1- $$

$$ -1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0 $$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^$ к матрице $A$ находится по формуле:

Читайте также: