Как сделать полное исследование функции и построить график

Обновлено: 07.07.2024

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения $D(y)$ и область допустимых значений $E(y)$ функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.

Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac-x-1>-2 x>$ и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

$D(y) : x^-2 x \neq 0 \Rightarrow x_ \neq 0, x_ \neq 2 \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ; 2) \cup(2 ;+\infty)$

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью $O x : y=0$ :

$\frac-x-1>-2 x>=0 \Rightarrow x^-x-1=0 \Rightarrow$

то есть точки $A_\left(\frac> ; 0\right), A_\left(\frac> ; 0\right)$

б) с осью $O y : x=0$ : в данной точке функция неопределенна.

а) вертикальные: прямые $x=0$ и $x=2$ - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая $y=1$ - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты $y=k x+b$ :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: $y^ <\prime>\neq 0$ для любого $x$ из области определения функции; $y^<\prime>$ не существует при $x_=0$ и $x_=2$ .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: $y^<\prime \prime>=0 : x=1$ ; при $x=0$ и $x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и $(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках $(-\infty ; 0)$ и $(1 ; 2)$ - выпукла. Так как при переходе через точку $x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

Если нужно построить график некой заданной функции, не обойтись без предварительного исследования этой функции, причем полного. И только потом, применяя полученные данные, можно построить правильный график. На практике построение бывает как отдельной задачей, так и задачей, связанной с графикой (вспомогательной задачей), то есть в последнем случае речь идет о решении уравнений графическим методом. Именно поэтому надо понимать, как происходит исследование и построение.

Как исследовать функцию? Основной алгоритм

Вся работа по исследованию функции и построению выполняется поэтапно, то есть существует алгоритм построения графика функции. Если следовать этому алгоритму, вероятность ошибки будет сведена к минимуму.

Для исследования возьмем функцию y = f(x). Пошаговая реализация алгоритма выглядит следующим образом:

1. Нахождение области определения функции D(f). Речь идет об определении интервалов, на которых эта function существует.
2. Определение четности или нечетности. Когда область определения симметрична относительно нуля (для любого значения x из D(f) значение -x тоже принадлежит области определения), надо выполнить проверку на четность. К примеру, когда f(-x) является равной f(x), функция четная (классическая функция вида y = x 2 является четной). Важное значение имеет факт того, что график четной функции является симметричным относительно оси OY. А вот если f(-x) равняется -f(x), следует говорит о нечетности (для примера нечетности можно вспомнить y = x 3 ). В этом случае график симметриченотносительно начала координат. Когда функцию считают четной либо нечетной, есть возможность построить часть ее графика для x ⩾ 0, а потом отразить ее соответствующим образом.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат. Речь идет о точках пересечения графика функции y = f(x) с OX — осью абсцисс. Чтобы это сделать, надо решить уравнение f(x) = 0. Корни данного уравнения будут абсциссами точек пересечения графика с осью ОХ. Чтобы найти точку пересечения графика с OY (осью ординат) надо найти значение функции при x = 0.
4. Нахождение промежутков знакопостоянства. Следующий важный шаг. Здесь надо найти промежутки, на которых наша ф-я сохраняет знак. Это потребуется в дальнейшем в целях контроля правильности построения нашего графика. Для обнаружения промежутков знакопостоянства надо решить такие неравенства, как f(x) > 0 и f(x)

На этом практическом занятии мы рассмотрим примеры, демонстрирующие методы построения графиков основных типов простейших функций, решим задания на исследование функции по изображенному графику и задачи на преобразования графиков функций.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий С5.

2) Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью :

.

3) Функция непериодическая.

Функция нечетная, поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат.

4) Найдем асимптоты графика функции. Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты , где

Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания, убывания. Для этого вычислим первую производную

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу:

x		-1	(-1;0)	0	(0;1)	1
y’	+	0	—	0	—	0	+
y	возрастает	max	убывает	extr нет	убывает	min	возрастает

Точка — точка максимума, точка — точка минимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

Найдем критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

Найденные точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Значение функции в точках перегиба

.

7) Используя полученные данные, строим график функции.

Задание	Исследовать функцию и построить её график.
Решение	1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.

таким образом, область определения функции:

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ;

с осью .

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты , где

.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

Найдем критические точки: при

, но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

			—	+		+
	возрастает	mах	убывает	возрастает	еxtr нет	возрастает

— точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

	—	—		+
			перегиб

Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.

Читайте также:

  
• Как сделать строганину из лосятины рецепт
  
• Как сделать так чтобы бахрома не распускалась
  
• Как сделать иконку для приложения android studio
  
• Как сделать из коробки под сока пенал
  
• Как сделать из обычной микроволновки встраиваемую