Как сделать показательную форму
Обновлено: 05.07.2024
Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т.д. Для правильного использования калькулятора, Вам необходимо выбрать форму записи Вашего комплексного числа и ввести данные. В калькулятор можно вводить не только числа и дроби, но и символы (параметры). Ниже представлены необходимые теоретические сведения для правильного использования калькулятора.
где - произвольные действительные числа, называется алгебраической формой записи комплексного числа.
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Наконец, воспользовавшись формулой Эйлера:
можно получить экпоненциальную (показательную) форму записи комплексного числа:
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi).\qquad\qquad\qquad (1)$$ Здесь $|z|=\sqrt,$ a $\varphi$ удовлетворяет условиям: $$\cos\varphi=\frac<\sqrt>,\qquad \sin\varphi=\frac<\sqrt>,\qquad \varphi\in[0, 2\pi).$$
Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$
Примеры:
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.435. $-i$
Решение.
Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,\,\, y=-1.$ Тогда $$|z|=\sqrt=\sqrt 1=1.$$
$$\cos\varphi=\frac=0,\qquad \sin\varphi=\frac=-1\Rightarrow \varphi=\frac<3\pi>.$$
Ответ : $\cos\frac<3\pi>+i\sin\frac<3\pi>.$
1.438. $\frac.$
Решение.
Запишем число $z=\frac$ в алгебраической форме:
Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере (1.435):
Ответ : $\cos\frac<3\pi>+i\sin\frac<3\pi>.$
1.441. $1+\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>.$
Решение.
Таким образом, $\varphi=\frac<\pi>.$
Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+\cos\frac<\pi>+i\sin<\pi>:$
Ответ: $2\cos\frac<\pi>\left(\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>\right).$
Показательная форма комплексного числа:
Символом $e^$ обозначается комплексное число $\cos\varphi+i\sin\varphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^.$$
Примеры.
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.475. $\frac.$
Решение.
Приведем число $z=\frac$ к алгебраическому виду:
$$tg\varphi=\frac=\frac>>=\frac.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $\varphi=arctg\frac.$
1.479. $\sin\alpha-i\cos\alpha.$
Решение.
Кроме этого должны выполняться ус ловия
1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z_1z_2;$ $\frac,$ если $z_1=2\sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3\sqrt 3i.$
Решение.
Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:
Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_1=arctg>=-\frac<\pi>.$
Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_2=arctg=-\frac<\pi>.$
Далее находим $z_1z_2$ и $\frac:$
Ответ: $-24, \frac.$
Домашнее зад ание.
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.436. $1-i\sqrt 3.$
Ответ: $2\left(\cos\frac<5\pi>+i\sin\frac<5\pi>\right).$
Ответ: $\cos\frac<2\pi>+i\sin\frac<2\pi>.$
1.440. $\sin\frac<\pi>+i\cos\frac<\pi>.$
Ответ: $\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>.$
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.476. $5-12i.$
1.477. $-3-4i.$
1.479.$\sin\alpha-i\cos\alpha.$
1.480. $\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$
1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
Комплексное число — это двумерное число вида z = а + bi, где a, b — действительные числа; i — мнимая единица, квадрат этого числа равен -1.
Пусть показателем степени числа е является комплексное число. Согласно определения:
Если z является действительным числом, т.е z = а = а + 0•i, тогда е z = е а .
Если z является мнимыи числом, т.е z = bi, тогда . Полученное равенство называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число (за исключением 0) можно представить в показательной форме: z = |z| • е iф , где |z| — модуль, ф — аргумент комплексного числа.
Представим комплексное число в тригонометрической форме: z = |z| • (соs ф + isin ф), где согласно формулы Эйлера: соs ф + isin ф = е iф , отсюда, получим комплексное число в показательной форме: z = |z| • е iф .
С комплексными числами, представленными в показательной форме, можно довольно легко выполнять операции уиножения, деления, возведения в степень.
Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D Онлайн калькулятор комплексных чисел
Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.
- сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел;
- перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот;
- возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков;
- задание угла как в градусах, так и в радианах;
- предусмотрено использование переменных;
- построение векторных диаграммм ;
- вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета.
Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со "Справкой", которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в комментариях или обращайтесь непосредственно разработчику.
Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:
Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.
Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.
Сложение сопряженных чисел:
При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.
Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.
1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:
Читайте также: