Как сделать погрешность
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 04.10.2024
Одна из самых быстрых машин, которую можно встретить на городской дороге, — BMW M8 Competition, — согласно тестированиям автопроизводителя способна разгоняться до 100 км/ч за впечатляющие 2.5 с.
Рисунок 1: Панель приборов автомобиля. Спидометр располагается справа.
Физические величины различного рода и их измерения так или иначе окружают нас везде.
К примеру, та же вышеупомянутая динамика разгона, то есть время, за которое транспортное средство разгоняется до определенной скорости, является важным параметром для любого автомобилиста, приобретающего новенький спорткар в салоне.
В жару мы то и дело поглядываем на отметку термометра и ужасаемся, когда температура на отметке безжалостно приближается к 40 °C. Если опаздываем, то обязательно держим под рукой часы и проверяем время по минутам.
Если худеем, то каждое утро начинаем со взвешивания и фиксируем массу своего тела в килограммах. Если растем, то периодически интересуемся, сколько на этот раз метров и сантиметров покажет настенная линейка.
Правда несмотря на то, что физика относится к наукам точным, как бы удивительно ни было, ни одна ее величина — ни время, ни длина, ни скорость, ни что-либо еще — не может быть выражена с предельной точностью.
Ведь вряд ли вы весите, скажем, ровно 60 килограмм без единого лишнего миллиграмма или имеете рост ровно 170 сантиметров. Точно так же, как и BMW M8 Competition не разгоняется до 100 км/ч абсолютно ровно за две с половиной секунды.
Что такое точность?
Точность измерений характеризует близость результата измерения к фактическому значению измеряемой величины. Строго говоря, ни одна физическая величина не может быть измерена с абсолютной точностью — так, чтобы данные измерительного прибора отображали истинное значение.
Мир и его явления, на самом деле, практически всегда имеют отношение к иррациональным числам, таким, как, к примеру, результат деления десяти на три: наберите данную операцию на калькуляторе и посмотрите на то, как неэстетично в реальности выглядят данные — с кучей знаков после запятой, за которыми не угнаться.
Однако иррациональность чисел не удивляет, да и слишком абстрактна, дабы уловить суть. Что есть деление десяти на три? Тогда, для конкретности, стоит покуситься на святое — на время. Казалось бы, что может быть точнее времени, показываемого самыми точными на свете часами — атомными часами?
И тем не менее, даже если вы зайдете на онлайн-ресурс, официально регистрирующий международное атомное время с точностью до миллисекунд, действительного точного измерения времени там вы не найдете.
Всегда есть условности: задержка передачи данных между сетевыми элементами; ваш мозг, регистрирующий и обрабатывающий информацию, поступающую через органы чувств и т. д. Все это отдаляет нас, хоть и несущественно, от фактического значения величины.
Именно поэтому в физике одним из важнейших понятий является понятие погрешности.
Что такое погрешность?
Представьте, что вас отправили в магазин купить сахар, но вот незадача: фасованный в пачках как раз закончился и остался только на развес. Что делать, вы просите продавца тогда отмерить вам ровно килограмм. Продавец взял лопатку, наполнил пакет, положил его на весы, и они выдают значение — 1.000 кг.
Как удачно положили.
Вы рассчитываетесь и счастливым возвращаетесь домой. А теперь представим, что по необыкновенной случайности у вас дома имеются весы, показывающие массу с точностью до миллиграмма. Вы решаете интереса ради перевесить пакет, чтобы посмотреть, действительно ли его масса равна строго килограмму.
И какого же удивление, когда более точные весы показывают массу не в 1.000 кг, а в 0.999990 кг. Иными словами, вас обсчитали. Обсчитали, между прочим, на десять миллиграмм!
Однако все измерительные приборы, пусть и самые точные, несовершенны. Несовершенно даже само то, как мы видим, слышим и ощущаем мир вокруг. Это, наряду с прочими факторами, приводит к тому, что при измерении величины получается ее приближенное значение, не истинное.
Разница между приближенным и истинным значениями и называется погрешностью.
В физике погрешность — обыденное явление, присутствующее внутри практически каждой величины, и мало что имеет общего с ошибкой в привычном понимании слова.
Все величины, которые, к примеру, вы видите в типовых физических задачах на вычисление, так или иначе содержат погрешность. Ее не обозначают для удобства. Поэтому помните о невозможности проводить эксперименты в идеальных условиях и о том, что ни один прибор чаще всего не сможет показать результат таким, каков он есть на самом деле.
Как правило, при однократном проведении измерения определить значение погрешности крайне затруднительно: для ее выявления обычно проводят серию равноточных измерений — измерений, произведенных в одинаковых условиях.
После результаты сличаются, то есть сравниваются между собой и, при необходимости, сопоставляются с различными экспериментальными величинами. На основе данных, полученных в результате измерений и сличения, вычисляется погрешность.
Эксперимент с линейкой
Обнаружить явление погрешности можно самостоятельно вне строгой лабораторной обстановки: достаточно провести простой эксперимент измерения длины с обычной школьной линейкой. В качестве примера, возьмем карандаш и выполним с ним замеры.
Рисунок 2. Замер линейкой с ценой деления 1 см.
Во-первых, необходимо зафиксировать цену деления измерительного прибора. Цена деления определяется разностью двух ближайших отметок. В нашем случае она равна 1 см.
Довольно часто используемые для измерений приборы не работают с основными единицами СИ — единицы величин либо являются производными, как сантиметр, либо, как миллиметр ртутного столба, являются внесистемными.
Когда вас просят привести ответ в СИ, не забывайте о переводе значений, если измерительный прибор работает с внесистемными или производными единицами. В случае с сантиметровой линейкой, при подобном требовании, обязательно выражение результата в метрах и т. п.
Далее совмещаем конец карандаша с нулевой отметкой. Видим, что второй конец располагается между отметками 12 и 13.
Какой из этих результатов следует принять за длину нашего карандаша?
Очевидно, что тот, который будет ближе к истинному значению — 12 см. Если бы мы провели аналогичный опыт, использовав более точную линейку с ценой деления в миллиметр, мы получили бы значение 12.2 см.
Рисунок 3. Замер линейкой с ценой деления 1 мм.
А какой из этих результатов лучше будет засчитать теперь? Какой правильный?
Оба результата фактически являются верными, их разница заключается лишь в том, что получены они были с разной точностью измерения: длина карандаша во втором варианте была дана с точностью до миллиметра, в первом — до сантиметра. Можно было бы воспользоваться микро́метром, еще более точным измерительными прибором, и получить результат с точностью до микроме́тра. Однако в случае с карандашом точности до миллиметра будет достаточно.
Наш ответ: 12.2 см.
Вычисление погрешности
Но что делать, если бы мы захотели учесть погрешность? Как ее вычислить и обозначить математически?
На самом деле, точно определить погрешность не так просто. Для этого необходимо владение методами математической статистики, для чего требуется уже знание высшей математики. Плюс немаловажно определение комплексных параметров вроде класса точности измерительного прибора.
Поэтому для простоты измерений с погрешностью считается, что обычно она равна половине цены деления прибора. В нашем эксперименте при цене деления линейки в сантиметр погрешность составила 0.5 см. При цене деления в миллиметр — 0.05 см.
Так, полученные замеры, где $l$ — длина карандаша, можно было бы записать в следующем виде:
$l$ = 12 ± 0.5 cм — в случае, когда цена деления составляла сантиметр;
$l$ = 12.2 ± 0.05 см — в случае, когда цена деления составляла миллиметр.
Формула погрешности
Таким образом, общая формула для записи величин с погрешностью выглядит следующим образом:
$$X = x \pm \Delta x$$
где $X$ — измеряемая величина, $x$ — результат измерений, $\Delta x$ — погрешность.
Выходит, что истинное значение длины карандаша располагается в диапазоне значений от 11.5 см до 12.5 см.
При более точных замерах до миллиметра: от 12.15 см до 12.25 см.
Однако остается один последний интересный момент. Несмотря на то, что мы провели замеры и определили длину, философски говоря, вопрос остается вопросом: так какую же точную длину имеет карандаш?
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые | 150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм | 0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см 3 | 5 см 3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25 , 25–50 , 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 | |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | |
| Cx | CΔx | |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 | |
| x n | |n||x| n−1 Δx | |
| lnx | ||
| sinx | |cosx| Δx | |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.
Вычисление погрешности (или ошибки) сильно зависит от конкретной задачи, которую мы должны решить, а также от вида погрешности, которая нам необходима.
Общие сведения о погрешностях
Точность полученного результата может быть охарактеризована при помощи разных видов погрешностей:
- абсолютная погрешность – разность между истинным (точным) значением величины и тем значением, которое было получено в ходе измерений;
- относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному (точному) значению измеряемой величины; обычно эта ошибка выражается в процентах;
- приведенная погрешность – отношение абсолютной ошибки к нормирующему значению, которое имеет прибор, с помощью которого было выполнено измерение;
- основная погрешность – ошибка результата, которую обеспечивает прибор, выполняющий измерения при нормальных условиях (для каждого прибора эти условия свои);
- дополнительная погрешность – ошибка результата, которую обеспечивает прибор, работающий в условиях, отличающихся от нормальных условий;
- систематическая погрешность – постоянно возникающая ошибка, связанная с особенностями прибора;
- случайная погрешность – ошибка, появляющаяся из-за действия случайных (непредсказуемых) факторов;инструментальная погрешность – ошибка, которая связана с ошибками, допущенными в процессе изготовления прибора;
- методическая погрешность – ошибка, обусловленная особенностями выбранного метода измерений;
- субъективная погрешность – ошибка, обусловленная квалификацией и личными характеристиками персонала, выполняющего измерения;
- статистическая погрешность – ошибка, которая рассчитывается на основе теории вероятностей;
- статическая погрешность – ошибка, которая появляется при измерении неизменных величин;
- динамическая погрешность – ошибка, которая появляется при измерении меняющихся во времени величин.
Эти и другие виды погрешностей изучаются в рамках теории погрешностей.
Вычисление погрешности измерений
Школьникам и студентам, выполняющим лабораторные работы, чаще всего приходится вычислять абсолютные и относительные погрешности. Делается это при помощи некоторого набора формул и определений.
Абсолютная погрешность ΔА вычисляется как разность между истинным значением величины (А) и ее приблизительным значением (Апр):
Относительная погрешность δА вычисляется как выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности ΔА к приблизительному значению Апр:
Абсолютная инструментальная погрешность ΔиА зависит от конструкции конкретного измерительного прибора и от его класса точности. Обычно это значение указывается на шкале прибора или в его паспорте.
С помощью класса точности можно рассчитать инструментальную погрешность ΔиА, выраженную в процентах. Для этого значение класса точности нужно умножить на наибольшее значение, которое способен измерять данный прибор, и поделить результат на 100.
То есть класс точности (обозначим его γ) связан с абсолютной инструментальной погрешностью (ΔиА) и максимальным показанием шкалы (Аmax) следующей формулой:
γ = ΔиА / Аmax • 100%.
Величины класса точности (γ) и максимально возможного показания шкалы (Аmax) можно узнать из паспорта прибора, которым будет производиться измерение. На их основе можно рассчитать абсолютную погрешность, с которой будет произведено измерение:
ΔиА = γ • Аmax / 100.
Поясним это на примере
Пусть амперметр имеет шкалу от 0 до 5 А, и на его шкале указан класс точности 0,5. Тогда инструментальная погрешность измерений при помощи такого амперметра будет:
ΔиА = 0,5 • 5 / 100 = 0,025.
Часто бывает так, что класс точности не указывают. В этом случае абсолютная инструментальная погрешность принимается такой же, как и погрешность отсчета ΔоА, которая принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора.
Например, погрешность отсчета у обычной школьной линейки с миллиметровыми делениями принимается равной 0,5 мм. Если же линейка проградуирована не в миллиметрах, а, скажем, в дюймах, то погрешность отсчета ΔоА будет равна 0,5 дюймов.
Одна и та же величина, измеренная разными инструментами, будет иметь разную ошибку, и даже разное значение, так как результат необходимо округлять с той точностью, которую обеспечивает конкретная линейка.
Например, вот какие результаты мы получаем при измерении отрезка длиной 7 дюймов сначала при помощи дюймовой линейки, а затем при помощи двухдюймовой линейки.
Также точность конечного результата будет зависеть и от условий, в которых проводится измерение.
Рассмотрим решение следующей простой задачи: 25 зубочисток плотно лежат в коробочке. Ширину коробочки измерили обычной линейкой и получили значение 30 мм. Чему равна толщина одной зубочистки (толщиной стенок коробочки можно пренебречь)?
Линейка обеспечивает погрешность измерений 0,5 мм.
Толщина одной зубочистки:
l = 30 / 25 = 1,2 мм.
Погрешность измерения толщины 25 зубочисток будет 0,5 мм, значит погрешность измерения толщины одной зубочистки:
Согласно правилам в ответе мы должны привести определяемую величину с той же точностью, что и ее погрешность. Таким образом, получаем следующий ответ.
Если же инструментальная погрешность ΔиА прибора известна, то максимальная абсолютная погрешность произведенных с его помощью измерений будет равна сумме абсолютной погрешности измерений и абсолютной инструментальной. Она рассчитывается по формуле:
При расчетах абсолютную погрешность принято округлять до одной значащей цифры.
Основные правила вычисления погрешностей
Чаще всего при выполнении практических измерений приходится определять относительные погрешности величин, которые вычисляются по формулам, и каждый член формулы имеет свою погрешность. В этом случае используются следующие правила:
Соответственно, абсолютная погрешность в таких задачах вычисляется как произведение относительной погрешности и приблизительного значения интересующей нас величины:
Свойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором количественных характеристик — физических величин . Как правило, результат измерения представляет собой число , задающее отношение измеряемой величины к некоторому эталону . Сравнение с эталоном может быть как прямым (проводится непосредственно экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого прибора, которому экспериментатор доверяет). Полученные таким образом величины имеют размерность , определяемую выбором эталона.
Замечание. Результатом измерения может также служить количество отсчётов некоторого события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка (сильно/слабо/умеренно). Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем, когда результат измерения может быть представлен в виде числа или набора чисел .
Взаимосвязь между различными физическими величинами может быть описана физическими законами , представляющими собой идеализированную модель действительности. Конечной целью любого физического эксперимента (в том числе и учебного) является проверка адекватности или уточнение параметров таких моделей.
1.1 Результат измерения
Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с общепринятым стандартным эталоном.
Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат x = x изм . Можно ли утверждать, что x изм — это длина стержня?
Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно, мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим и т.п.
Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измерения есть погрешность .
Об измеренной величине также часто говорят как об оценке , подчеркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.
Замечание. Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3 , но для более серьезного понимания следует обратиться к [ 5 ] .
| x = x изм ± δ x , |
где δ x — абсолютная величина погрешности. Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале x ∈ ( x изм - δ x ; x изм + δ x ) с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2 ). Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать относительную величину погрешности:
| ε x = δ x x изм . |
Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах: ε = δ x x ⋅ 100 % ).
Пример. Штангенциркуль — прибор для измерения длин с ценой деления 0 , 1 мм . Пусть диаметр некоторой проволоки равен 0 , 37 мм. Считая, что абсолютная ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения можно будет записать как d = 0 , 40 ± 0 , 05 мм (или d = ( 40 ± 5 ) ⋅ 10 - 5 м ). Относительная погрешность составляет ε ≈ 13 % , то есть точность измерения весьма посредственная — поскольку размер объекта близок к пределу точности прибора.
О необходимости оценки погрешностей.
Измерим длины двух стержней x 1 и x 2 и сравним результаты. Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?
Казалось бы, достаточно проверить, справедливо ли x 1 = x 2 . Но никакие два результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью! Таким образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопрос дать невозможно .
С другой стороны, если погрешность δ x известна, то можно утверждать, что если измеренные длины одинаковы в пределах погрешности опыта , если | x 2 - x 1 | δ x (и различны в противоположном случае).
Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории, и т. п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей является крайне важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности (по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт к неправильным выводам .
В физическом эксперименте (в том числе лабораторном практикуме) оценка погрешностей должна проводиться всегда (даже когда составители задания забыли упомянуть об этом).
1.2 Многократные измерения
Проведём серию из n одинаковых ( однотипных ) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значений
Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня? И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?
Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины < x i >почти наверняка окажутся различными . Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т. д.
В такой ситуации результат измерения интерпретируется как случайная величина , описываемая некоторым вероятностным законом ( распределением ). Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2 .
По набору результатов 𝐱 можно вычислить их среднее арифметическое:
| ⟨ x ⟩ = x 1 + x 2 + … + x n n ≡ 1 n ∑ i = 1 n x i . | (1.1) |
Это значение, вычисленное по результатам конечного числа n измерений, принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения выборочных средних будем использовать угловые скобки.
Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как
| Δ x i = x i - ⟨ x ⟩ , i = 1 … n . |
Разброс данных относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением :
| s = Δ x 1 2 + Δ x 2 2 + … + Δ x n 2 n = 1 n ∑ i = 1 n Δ x i 2 | (1.2) |
| s 2 = ⟨ ( x - ⟨ x ⟩ ) 2 ⟩ . | (1.3) |
Значение среднего квадрата отклонения s 2 называют выборочной дисперсией .
Будем увеличивать число измерений n ( n → ∞ ). Если объект измерения и методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего Δ x i будут, во-первых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении ( 1.1 ) почти все отклонения Δ x i скомпенсируются и можно ожидать, что выборочное среднее при n ≫ 1 будет стремиться к некоторому пределу:
| lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n x i = x ¯ . |
Предельную величину среднеквадратичного отклонения при n → ∞ обозначим как
| lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n Δ x i 2 = σ . |
Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.
Замечание. Если n мало ( n 10 ), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо формулы ( 1.3 ) использовать исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2 ): s n - 1 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n Δ x i 2 , (1.4) где произведена замена n → n - 1 . Величину s n - 1 часто называют стандартным отклонением .
Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина ⟨ x ⟩ может быть использована как приближенное значение ( оценка ) истинного значения ⟨ x ⟩ ≈ x ¯ , а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.
Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону распределения (подробнее см. Главу 2 ). Для таких величин могут быть строго доказаны следующие свойства:
при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений ( ∼ 68%) попадает в интервал x ¯ - σ x x ¯ + σ (см. п. 2.2 ).
выборочное среднее значение ⟨ x ⟩ оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению x ¯ , чем каждое из измерений < x i >в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего убывает пропорционально корню из числа опытов n (см. п. 2.4 ).
Упражнение. Показать, что s 2 = ⟨ x 2 ⟩ - ⟨ x ⟩ 2 . (1.5) то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата ⟨ x 2 ⟩ = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 и квадрата среднего ⟨ x ⟩ 2 = ( 1 n ∑ i = 1 n x i ) 2 .
1.3 Классификация погрешностей
Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.
В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой величины как таковой.
Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего процесса измерений в лабораторном журнале . Подробнее об этом см. п. 4.1.1 .
При многократном повторении измерении одной и той же физической величины погрешности могут иметь систематический либо случайный характер. Назовём погрешность систематической , если она повторяется от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические ) погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине, так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.
Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить
инструментальные (или приборные ) погрешности , связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиями эксплуатации измерительных приборов;
методические погрешности , связанные с несовершенством теоретической модели явления (использование приближенных формул и моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);
1.3.1 Случайные погрешности
Случайный характер присущ большому количеству различных физических явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключения приборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном повторении опыта — в виде хаотичных изменений ( флуктуаций ) значений < x i >.
Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислении среднего арифметического ( 1.1 ) эти отклонения скомпенсируются, и погрешность результирующего значения ⟨ x ⟩ будем меньше, чем погрешность отдельного измерения.
Случайные погрешности бывают связаны, например,
с особенностями используемых приборов : техническими недостатками (люфт в механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических цепях, тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки);
с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером);
с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность, неоднородность состава);
со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный распад, броуновское движение).
1.3.2 Систематические погрешности
Систематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить, исключить или уменьшить просто многократным повторением измерений. Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов ( инструментальная погрешность ), например, сдвигом нуля отсчёта по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-за износа или деформации деталей прибора, изменением параметров прибора во времени из-за нагрева и т.п. Во-вторых, их причиной может быть ошибка в интерпретации результатов ( методическая погрешность ), например, из-за использования слишком идеализированной физической модели явления, которая не учитывает некоторые значимые факторы (так, при взвешивании тел малой плотности в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда; при измерениях в электрических цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров и т. д.).
Систематические погрешности условно можно разделить на следующие категории.
Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычислены или измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно: внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений. Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления.
Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна, но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму, совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.
Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимо учесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует, что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные опыты.
Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либо причинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении электронных приборов). Такие погрешности должны быть обязательно исключены посредством модификации методики измерения или замены приборов.
Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можно только многократной независимой проверкой измерений, разными методами и в разных условиях.
В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается, как правило, паспортными погрешностями приборов и теоретическими поправками к упрощенной модели исследуемого явления.
Точный учет систематической ошибки возможен только при учете специфики конкретного эксперимента. Особенное внимание надо обратить на зависимость (корреляцию) систематических смещений при повторных измерениях. Одна и та же погрешность в разных случаях может быть интерпретирована и как случайная, и как систематическая.
Пример. Калибровка электромагнита производится при помощи внесения в него датчика Холла или другого измерителя магнитного потока. При последовательных измерениях с разными токами (и соотственно полями в зазоре) калибровку можно учитыать двумя различными способами: • Измерить значение поля для разных токов, построить линейную калибровочную кривую и потом использовать значения, восстановленные по этой кривой для вычисления поля по току, используемому в измерениях. • Для каждого измерения проводить допольнительное измерения поля и вообще не испльзовать значения тока. В первом случае погрешность полученного значения будет меньше, поскльку при проведении прямой, отдельные отклонения усреднятся. При этом погрешность измерения поля будет носить систематический харрактер и при обработке данных ее надо будет учитывать в последний момент. Во втором случае погрешность будет носить статистический (случайный) харрактер и ее надо будет добавить к погрешности каждой измеряемой точки. При этом сама погрешность будет больше. Выбор той или иной методики зависит от конретной ситуации. При большом количестве измерений, второй способ более надежный, поскольку статистическая ошибка при усреднении уменьшается пропорционально корню из количества измерений. Кроме того, такой способ повзоляет избежать методической ошибки, связанной с тем, что зависимость поля от тока не является линейной.
Пример. Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру. В показаниях прибора будет присутствовать три типа погрешности: 1. Статистическая погрешность, связанная с дрожанием стрелки и ошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деления. 2. Систематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля. 3. Систематическая погрешность, связанная с неправильным коэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонением стрелки. Как правило приборы сконструированы таким образом, чтобы максимальное значение этой погрешности было так же равно половине цены деления (хотя это и не гарантируется).
Читайте также: