Как сделать поэтажную схему балки

Обновлено: 05.07.2024

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Для балки требуется построить эпюры изгибающего момента M и поперечной силы Q (аналитически). Дано: F=10кН, q=4кн/м, M=12кНм

Расчет ведется с верхнего этажа. Для верхней балки определяются реакции и строятся эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Далее рассчитываются нижележащие этажи. При этом нагрузка с верхнего этажа на нижний передается через реакцию в соответствующей опоре с обратным знаком.

После расчетов всех этажей построенные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов соединяются по одной линии.

Решение:

1. Строим этажную схему: мысленно убираем шарниры и конструкция распадается на простые балки.

3. Рассчитываем нижележащие этажи, нагрузка с верхнего этажа на нижний передается через соответствующую реакцию с обратным знаком.

Балка СE Определяем опорные реакции:

Построим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M для балки СЕ.

Балка AB: Эта балка консольная, реакции можно не определять, но расчет вести со свободного незакрепленного конца.

Балка EK: Эта балка тоже консольная, реакции можно не определять, расчет ведем со свободного незакрепленного конца.

4. Совмещаем все построенные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по одной линии.

Пример решения задачи по расчёту многопролетной балки: выполним её кинематический анализ, определим реакции опор и построим эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.

Многопролетной (шарнирной) балкой называется статически определимая система, состоящая из ряда однопролетных и консольных балок, соединенных между собой шарнирами.

В большинстве случаев на практике возведение многопролетных балок выгодно с точки зрения снижения расхода материалов.

Рассмотрим типовой пример расчета многопролетной статически определимой балки (рисунок 3.17):

Кинематический анализ:

W = 3×6 – 3×3 – 2×2 −5 = 0, следовательно система может быть неизменяемой; : диск АВ вместе с диском "земля" образует единый диск, который соединен с диском СDЕGН с помощью трех непараллельных и непересекающихся в одной точке стержней.
Система в целом неизменяема.

Расчет реакций опор

После кинематического анализа выполняется определение опорных реакций и реакций связей.

Для этого: заменим внутренние (шарниры В,С) и внешние (заделка А, шарнирно-подвижные опоры D,G) связи их реакциями, которые будут представлять собой неизвестные пока сосредоточенные воздействия.

После этого расчленим заданную систему на элементы.

Рассматривая каждый элемент с учетом их совместной работы, определим опорные реакции и реакции связей.

Рисунок 3.17 – Пример расчета многопролетной балки

Построение эпюр

Построение эпюры изгибающих моментов

Для решения задачи методом сечений имеем шесть (AB, ВС, СD, DЕ, ЕG, GН) силовых участков.

Начало силового участка примем в сечении "А":

Рисунок 3.18 – Построение эпюры М на участке АВ

Рисунок 3.19 — Построение эпюры М на участке ВА

Участок ВС:
Начало консоли примем в точке "В".

Рисунок 3.20 — Построение эпюры М на участке ВС

Рисунок 3.21 — Построение эпюры М на участке СD

Рисунок 3.22 — Построение эпюры М на участке DE

Рисунок 3.23 — Построение эпюры М на участке GH

Рисунок 3.24 — Построение эпюры М на участке ЕG

Окончательно получим эпюру моментов, изображенную на рисунке 3.17.

Построение эпюры поперечных сил

Первоначально рассмотрим силовые участки с линейной эпюрой моментов.

Эпюра моментов параллельна базису (оси участка), поэтому тангенс угла наклона эпюры моментов, а значит и поперечная сила на этом участке равны нулю.

Участок ЕG: Участок DЕ:

Участок АВ: Участок ВС:

Рисунок 3.25 – Построение Эпюр Q на участках EG, DE, AB, BC, CD

Окончательная эпюра Q изображена на рисунке 3.17.

Построение эпюры продольных сил

Отсутствие горизонтальных составляющих всех реакций позволяет сделать вывод о том, что продольные усилия на всех силовых участках отсутствуют.

Общая статическая проверка.

Рисунок 3.26 – Статическая проверка

Балка состоит из двух дисков Д₁ и Д₂ (Д = 2), одного простого шарнира Ш (Ш = 1) и четырех опорных стержней С₁ – С₄ (С_ОП = 4) (рисунок 2).

1. Определяем степень свободы системы по формуле Чебышева

W = 3Д – 2Ш – С_оп = 3 × 2 – 2 × 1 – 4 = 0.

Так как W = 0, балка статически определима и может быть геометрически неизменяемой.

2. Проводим структурный анализ системы. Диск Д₁ присоединен к земле при помощи трех опорных стержней С₁, С₂, С₃, не параллельных между собой и не пересекающихся в одной точке. Следовательно, систему Д₁–земля можно считать одним диском. К нему посредством шарнира Ш и стержня С₄ прикреплен диск Д₂, причем ось стержня не проходит через шарнир.

Таким образом, данная многопролетная балка является статически определимой, геометрически неизменяемой и неподвижно прикрепленной к земле.

2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки

Наметим расчетные сечения 1–6 (рисунок 3, а). Изобразим поэтажную схему (рисунок 3, б), в которой двухопорная балка 1–5 является основной, балка 5–8 – дополнительной.

Расчет начнем с дополнительной балки 5–8, на которую действует только заданная нагрузка. Рассматриваем ее как простую двухопорную балку (рисунок 3, в). Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

∑М₇ = 0; – V₅ · 2d + 2P · 2d – Pd = 0, ∑М₅ = 0; V₇ · 2d – P · 3d = 0,

откуда V₅ = (4Pd – Pd)/2d = 1,5P; V₇ = 3Pd/2d = 1,5P.

Проверка: SY = V₅ + V₇ – 2P – P = 1,5P + 1,5P – 3P = 0.

Далее выполняем расчет основной балки 8–11, которая загружена заданной нагрузкой и сосредоточенной силой, равной соответствующей опорной реакции вышерасположенной балки 5–8: V₅ = 1,5P.

Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

∑М₄ = 0; – V₁ · 3d – V₅ · d + 2P · 2d – 0,5Pd = 0,

∑М₁ = 0; V₄ · 3d – V₅ · 4d – 2Pd – 0,5P · 2d = 0,

откуда V₁ = (– 1,5Pd + 4Pd – 0,5Pd)/3d = P; V₄ = (1,5P · 4d + 2Pd + Pd)/3d = 3P.

Проверка: SY = V₁ + V₄ – V₅ – 2P – 0,5P = P + 3P – 1,5P – 2P – 0,5P = 0.

Определяем методом сечений внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в расчетных точках, рассматривая отдельные однопролетные балки (см. рисунок 3, в).

Балка 1–5.

Q₂ справа = V₁ – 2Р =

= P – 2Р = –Р,

Q₃ справа = V₁ – 2Р – 0,5Р =

= Р – 2,5Р = –1,5P,

Q₄ справа = Q₅ слева = V₅ = 1,5P;

М₁ = 0, М₂ = V₁ · d = Pd,

М₃ = V₁ · 2d – 2P · d =

= 2Pd – 2Pd = 0,

М₄ = –V₅ · d = –1,5Pd.

Балка 5–8.

– 2Р = 1,5Р – 2Р = –0,5P,

Q₇ справа = Q₈ = P;

М₆ = V₅ · d – 2P · d =

= 1,5Pd – 2Pd = –0,5Pd,

М₇ = –Рd, М₈ = 0.

Строим эпюры Q и M (рисунок 3, г).

3 Построение линий влияния статическим методом

Для заданной многпролетной балки (рисунок 4, а) изображаем поэтажную схему (рисунок 4, б).

Линия влияния V₁. Опора 1 относится к основной балке 1–5. Вначале строим линию влияния в пределах этой балки (рисунок 5, а), при этом положение силы Р = 1 задаем координатой z₁, отсчитываемой от опоры 1. Составим уравнение равновесия SМ₄ = 0:

1 × (3d – z₁) – V₁· 3d = 0, отсюда V₁ = 1 – z₁/3d.

Определим V₁ при расположении груза Р = 1 в двух характерных точках:

(груз на опоре 1), (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее продолжаем линию влияния в вышерасположенную дополнительную балку 5–8. Уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V₁ показана на рисунке 4, в.

Линия влияния V₄. Опора 4 также принадлежит основной балке 1–5. Построение ведем аналогично. Составим уравнение SМ₁ = 0:

– 1 × z₁ + V₄ · 3d = 0, отсюда V₄ = z₁/3d.

(груз на опоре 1), (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V₄ показана на рисунке 4, г.

Линия влияния v₇. Опора 7 принадлежит дополнительной балке 5–8, поэтому линия влияния будет расположена только в ее пределах. Начало координат выберем на опоре 5, положение груза Р = 1 будем задавать координатой z₂. Составим уравнение равновесия SМ₅ = 0;

V₇ · 2d – 1 × z₂ = 0, откуда V₇ = z₂/2d.

(груз на опоре 5),

(груз на опоре 7).

По полученным ординатам строим линию влияния V₇ (рисунок 4, д).

Линии влияния Q₂ и М₂. Сечение 2 расположено между опорами основной балки 1–4, поэтому вначале построим л. в. под ней (рисунок 6, а). Рассечем балку в точке 2 (рисунок 5, б, в) и рассмотрим равновесие той ее части, на которой нет груза Р = 1 (таблица 1).

Таблица 1. Построение л. в. Q₂ и М₂.

Груз Р = 1 слева

Груз Р = 1 справа

SY прав. ч. = 0, Q₂ = –V₄.

SY лев. ч. = 0, Q₂ = V₁.

Л. в. Q₂ = – л. в. V₄

Л. в. Q₂ = л. в. V₁

SМ₂ прав. ч. = 0,

Л. в. М₂ = 2d · л. в.V₄

Л. в. М₂ = d · л. в.V₁

Определяем реакции опор и строим эпюры моментов М и поперечных сил Q.

Изображаем расчетную схему