Как сделать перпендикуляр в треугольнике

Обновлено: 06.07.2024

Ниже описаны 3 приема восстановления перпендикуляра или построения прямого угла на местности к любой прямой линии. Данные мероприятия очень важны в строительстве при построении осей на плане и при сооружении обноски для дальнейшего возведения фундаментов или стен.

Имея только отрезок любой веревки, шнурки или троса, пользуясь данными способами - вы сможете совершенно точно построить перпендикуляр.

Итак, способ №1: Равнобедренный треугольник

Определяем точку на прямой линии, к которой будем строить перпендикуляр (для наглядности - я в эту точку воткнул шампур :-)

Отмечаем по обе стороны от него две равноудаленные точки (с помощью веревки это очень просто сделать). Теперь мы имеем три точки, которые находятся на одной прямой линии и два равных отрезка между ними (на рисунке ниже - 3 шампура).

Затем, нам достаточно определить середину веревки произвольной длины (В своем случае, для удобства, я на противоположных концах сделал петли, накинул их на колышек (шампур) и натянул веревку, тем самым разделил ее на две равные части).

Теперь, концы веревки совмещаем с двумя крайними точками и натягиваем ее за найденную середину.

Перпендикуляр готов (Свойство равнобедренного треугольника, высота которого делит основание на два равных отрезка)

Способ №2: Пересечение двух дуг

Данный способ выручает, когда у вас есть только короткая веревка. Как и в предыдущем способе, нам требуется опять же построить три точки на одной прямой, где две крайние равноудалены от центральной.

Теперь, подобно циркулю, из каждой крайней точки рисуем дуги одинакового радиуса. Точка пересечения двух дуг и будет давать нам перпендикуляр к прямой.

Схематично, это выглядит так (точка О является точкой пересечения дуг):

Способ №3: Теорема Пифагора

Наверное, это самый используемый способ, в котором применяются равные отрезки в соотношении 3:4:5. Данные отрезки могут измеряться в сантиметрах, метрах, километрах или любой произвольной длины, которую мы и будем использовать.

Для наглядности, я сделал на одной веревке 13 узлов с равными расстояниями друг от друга.

Теперь, достаточно просто туго растянуть веревку за вершины, которые отделяются между собой 3, 4 и 5 отрезками. Опять же, использую шампуры :-)))

Прямой угол построен!

На этом всё, спасибо за терпение :-)))


Дано: прямая m, Mm.


Построить: МPm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.


На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).


Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).


Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.



Докажем, что прямая МР - искомая прямая, т.е. что МPm.

Рассмотрим треугольник АРВ.


АР = ВР, т.к. по построению это радиусы одинаковых окружностей, следовательно, АРВ - равнобедренный. По построению МА = МВ, т.е. МР - медиана равнобедренного треугольника, тогда по свойству равнобедренного треугольника МР и высота, т.е. МPm. Что и требовалось доказать.

2. Даны прямая и точка не лежащая на этой прямой. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.


Дано: прямая m, Mm.


Построить: МNm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем точку М, не лежащую на прямой m.


Далее строим окружность с центром в данной точке М, пересекающую прямую m в двух точках, которые обозначим буквами А и В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).


Затем построим две окружности с центрами в точках А и В, проходящие через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую МN.



Докажем что, прямая МN - искомая, т.е. МNm.


В АМN и ВМN: АМ = АN = ВМ = ВN - радиусы, МN - общая, следовательно, АМN =ВМN (по трем сторонам), значит, углы ВМС и АМС равны (С точка пересечения прямых m и МN). Отсюда следует, что отрезок МС - биссектриса равнобедренного треугольника АМВ (АМ = ВМ - радиусы) с основанием АВ, тогда по свойству равнобедренного треугольника АМ - высота, значит, МNАВ, т.е. МNm.

Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатрисса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части.

Свойства

  • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.
  • Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
    • Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое "Серединный перпендикуляр" в других словарях:

    Глоссарий планиметрии — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия

    Диаграмма Вороного — случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

    Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

    Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

    a, b, c - стороны треугольника

    $$m_a$$ - медиана к стороне a угла A

    $$h_a$$ - высота к стороне a угла A

    $$l_a$$ - биссектриса к стороне a угла A

    Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

    Свойства медиан треугольника

    • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
    • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
    • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

    Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
    Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

    Свойства биссектрис треугольника

    • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
    • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
    • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

    Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

    Свойства высот треугольника

    • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
    • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
    • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
    • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

    Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

    Свойства серединных перпендикуляров треугольника

    • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
    • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

    Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

    Читайте также: