Как сделать параллельное проектирование

Обновлено: 05.07.2024

В статье приводятся основные принципы информационной технологии параллельного проектирования, позволяющей в результате одновременного согласованного рассмотрения вопросов проектирования, изготовления, сборки и сервисного обслуживания изделий улучшить прибыльность предприятий. Обосновывается необходимость использования в промышленности России этой новой информационной технологии. Рассматриваются проблемы внедрения технологии в России, обусловленные спецификой экономической ситуации и инженерными традициями. Предполагается наиболее эффективный путь внедрения технологии в современных экономических условиях - на стадии концептуального проектирования производственных систем при реинжиниринге предприятий.

Введение

В сложившейся в России экономической ситуации рассчитывать на капиталоемкие способы подъема конкурентоспособности предприятий не приходится, да и это, как показывает мировой опыт, не всегда так необходимо, как кажется на первый взгляд. Известно, например, что наибольшую отдачу дают так называемые "мягкие" методы увеличения производительности и повышения качества, ориентированные на усовершенствование организации (инжиниринга) Жизненного Цикла Изделия (ЖЦИ). К числу "мягких" методов относятся прежде всего новые информационные технологии, предназначенные для обеспечения следующих принципиально новых возможностей производственных систем: информационный менеджмент инжиниринга Жизненного Цикла, поддержка творческого инжиниринга, информационный менеджмент управляемых изменений, кооперация вместо конкуренции (внешняя и внутренняя кооперация), деловая интеграция c поставщиками и потребителями, поддержка коммуникаций в децентрализованном и глобальном производстве, динамическое размещение производственных мощностей, быстрое прототипирование продукции, увеличение количества и значимости инновационных стратегий.

В этих условиях традиционный, последовательный подход к разработке новых изделий стал уступать место другому. Этот подход получил название "параллельное проектирование" (сoncurrent engineering, simultaneous engineering) [1, 2]. В настоящее время он широко и с успехом развивается ведущими американскими и западноевропейскими фирмами. В частности, в США исследовательские проекты в рамках этой технологии (С-технологии) разрабатываются по заказу Управления перспективных военных проектов Пентагона (DARPA), известного в качестве координатора разработок наиболее перспективных и экономичных технологий. Известны исследовательские системы - CERnet [3] и DAISIE [4], имеются и коммерческие, например, ICEM (CDC), CATIA (DASSAULT), Pro/ ENGINEER (Parametric Technology Corporation), UNIGRAPHICS (Electronics Data Systems) и другие. В Западной Европе аналогичные работы проводятся в рамках программы ESPRIT, в частности, в рамках проектов KADS (Knowledge Acquisition and Design Support) и KADS-II, IKADE (Intelligent Knowledge Assisted Design Environment), MCOES (Manufacturing Cell Operators Expert System).

В России подобные работы практически не проводятся, хотя необходимость внедрения С-технологии очевидна.

Концепция параллельного проектирования

С-технология - это принципиально новый, интегрированный подход к разработке изделий. В основе технологии лежит идея совмещенного проектирования изделия, а также процессов его изготовления и сопровождения, координируемая с помощью специально создаваемой для этой цели распределенной информационной среды. Подобная технология позволяет использовать проектные данные, начиная с самых ранних стадий проектирования, одновременно различными группами специалистов. Например, в трех главных конструкторских бюро компании Boeing действует 220 групп "проектирования - производства", которые координируют параллельные разработки и состоят из специалистов таких разнообразных областей, как проектирование, технология материалов, производство и взаимодействие с клиентами. Фактически при использовании С-технологии удается достичь "перекрытия" всех стадий ЖЦИ (рис. 1) [1].

Рисунок 1.
Организация ЖЦИ в зависимости от используемой технологии:
а) П-технология; б) С-технология.

Развитие С-технологии связано прежде всего с повышением значимости для потребителя таких неценовых факторов конкурентоспособности продукции как качество, способность к быстрому выполнению индивидуального заказа. Использование подобной организации проектирования изделий, ориентированной на применение новых информационных технологий и интеграцию знаний из различных проблемных областей ЖЦИ "маркетинг-проектирование-производство", позволяет экономить не только время (время от идеи до рынка сокращается на 25-50%), но и средства за счет повышения качества изделий, сокращения изменений (в 2-3 раза), вносимых в конструкцию на стадии изготовления, и упрощения сервисного обслуживания [1, 3].

С-технология обеспечивает устранение известных недостатков последовательного проектирования, в частности, когда ошибки проекта изделия неожиданно обнаруживаются на последних его стадиях. Как показывает отечественный опыт, 50-70% имеющихся дефектов в готовой машиностроительной продукции вызваны ошибками в конструкторских решениях, 20-30% - недостатками технологии изготовления, 5-15% - возникают по вине рабочих. Устранение первой группы дефектов осуществляется, в основном, за счет совмещенного проектирования составляющих технологической системы - "изделие-технология-оборудование" и "раннего" учета возникающих при этом ограничений.

C-технология является особым видом нововведения, специфические особенности которого влияют на разработку методологического подхода к анализу проблем ее внедрения:

Эффективность С-технологии по сравнению с технологией последовательного проектирования объясняется следующими соображениями.

Все проектные работы имеют три общих составляющих: спецификация требований (начальное состояние), информационная модель изделия (цель, конечное состояние), средства, обеспечивающие достижение цели. Первая составляющая определяет все доступные для выполнения проектной работы ресурсы и существующие в настоящий момент времени ограничения (внутренние и внешние). Вторая составляющая - это "мишень", определение которой требует максимального учета знаний о факторах, которые на нее влияют и формируют. Чем "четче" (точнее) она поставлена, тем меньше риск, что она не будет достигнута. Третья составляющая - это средства, обеспечивающие максимальную эффективность достижения цели (наиболее точное попадание в "мишень" при минимальном риске "промаха") и допускающие пересмотр и изменение сценария достижения цели в процессе его реализации.

Пользователи С-технологии по сравнению с традиционной, образно говоря, имеют более "четкую" цель и более "управляемые" средства ее достижения. Качественное сопоставление технологий, относительно стоимости реализации стадий ЖЦИ и стоимости риска при достижении требуемых характеристик изделия, приведены на рис. 2.

Рисунок 2.
Сравнительные характеристики технологии.

Основные положения параллельного проектирования

С-технология предполагает согласованное проектирование системы "изделие - технологический процесс - производственная система (оборудование-люди)". Соответственно информационной основой технологии является единая информационная модель "изделие-технология-оборудование".

С-технология основывается на использовании технологии поддержки принятия решений и распадается на три стадии (рис. 3): формирование спецификации требований (A), концептуальное проектирование (B) и детализированное проектирование (C) [5]. На первой стадии осуществляется анализ исходных требований и ограничений, дается оценка возможности нахождения проектного решения, на второй - выбор допустимых (в смысле последующего комплексирования) типов проектных решений (концепций реализации элементов модели предметной области), на третьей - выбор технических решений.

Рисунок 3.
Основные стадии С-технологий.

Основными составными частями методологии параллельного проектирования объекта являются [1, 3]:

Основными составляющими С-технологии являются [1, 4, 6, 7]:

Проблемы внедрения С-технологии

При внедрении С-технологии возникает большой комплекс проблем, которые могут быть структурированы в следующие три группы.

Первая связана с обоснованностью экономической эффективности С-технологии. В настоящее время эффективность внедрения С-технологии не вписывается в нормативы эффективности нововведений, так как она оценивается единственно с позиций получаемого на предприятии эффекта от капитальных вложений без адекватного соизмерения с государственными интересами.

Вторая - это организация и управление всем комплексом деятельности, связанной с внедрением С-технологии. Внедряемая технология не является просто заменой старой техники, так как имеет принципиально другие характеристики. Отсюда вытекает требование о проведении потребителем организационных и технических мероприятий, таких как, например, изменение технологического процесса или модификации организационной структуры. Другими словами, необходимо обеспечить создание организации производства, которая была бы наиболее адекватной специфике С-технологии, в противном случае достижение ощутимых экономических результатов будет невозможно.

Третья - разработка стратегии планирования развития и внедрения С-технологии, требующая для своего решения комплексного рассмотрения задач исследования производства, проектирования, доставки, монтажа и пуска в эксплуатацию ее составляющих, подготовки кадров и обслуживания. В рамках решения этой проблемы необходимо определить желаемый уровень эффективности ЖЦИ и наметить пути ее достижения, ориентируясь на стратегию поэтапного развития С-технологии.

Решение этих проблем в существенной мере опирается на использование следующих системных атрибутов организации и внедрения С-технологии (см. таблицу).

Атрибут	Значение
Цель разработки	1. Частичные улучшения 2. Модернизация 3. Новая система для новых потребностей
Тип разработки	1. Собственная разработка 2. Типовая система и собственная доработка 3. Система "под ключ"
Направление построения	1. Снизу вверх 2. Сверху вниз
Модульность системы	1. Немодульная 2. Частично модульная 3. Полностью модульная
Уровень интеграции	1. Типовое решение 2. Частное решение 3. Интегрированное решение
Возможность развития системы	1. Отсутствует 2. Ограниченная 3. Неограниченная
Способ внедрения системы	1. Параллельный 2. Последовательный 3. Однократный
Срок внедрения	1. Короткий (1 год) 2. Средний (2 - 5 лет) 3. Длинный (более 5 лет)
Подготовка кадров	1. Целевая к пуску 2. Параллельно с внедрением

Основные пути внедрения С-технологии в России

Мировой опыт показывает, что С-технология дает максимальный эффект в наукоемких отраслях, которым свойственны высокие капитало- и трудоемкости. Уровень высококвалифицированных работников в них достигает 50%. Развитие таких производств требует создания скоординированной национальной стратегии научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, предполагающей долгосрочное планирование, стабильные источники финансирования и возможность использования зарубежного научно-технического опыта.

В России исторически наукоемкие производства были сосредоточены в военно-промышленном комплексе (ВПК), где фондовооруженность рабочего места в 4 раза выше, чем в других отраслях, а концентрация высококвалифицированных работников достигает 40%. На наш взгляд, внедрение С-технологии наиболее эффективно может быть осуществлено на предприятиях ВПК, так как эти предприятия в рамках конверсии и военно-гражданской интеграции должны решать вопросы структурного перепрофилирования производства и высвобождения рабочих мест. Использование этими предприятиями С-технологии может способствовать предохранению экономики от конверсионного спада производства, а также сохранению инновационного потенциала ВПК на случай осложнения международной обстановки.

Использование С-технологии объединит разнообразные научно-технические знания, полученные при проведении военных и гражданских исследований, что в итоге позволит снизить издержки производства как гражданской продукции, так и современных вооружений. Для российской военной промышленности С-технология особенно важна, так как в настоящий момент эта промышленность характеризуется четким организационным разделением разработчиков и производителей вооружений.

В зависимости от целей внедрения и объема инвестирования возможны следующие пути внедрения С-технологии. Первый - закупка и установка системы "под ключ". Второй - закупка существующей типовой системы поддержки этой технологии за рубежом и адаптация ее к местным условиям (в частности, с целью привязки к действующим стандартам - обозначения, классификаторы и т.п.). Третий - разработка и внедрение С-технологии не на всех стадиях ЖЦИ, а только там, где имеются для этого предпосылки как технические (наличие соответствующих систем автоматизации), так и экономические. В сложившейся в России экономической ситуации наиболее реалистичным является, на наш взгляд, третий путь.

Известно, что наибольшую отдачу дают методы, ориентированные на усовершенствование организации ЖЦИ на начальной стадии С-технологии - стадии концептуального проектирования (рис. 4). По оценкам специалистов, затраты на концептуальное проектирование составляют до 3% от общих затрат в течение Жизненного Цикла, а правильность принятых на этой стадии решений во многом определяет эффективность проекта в целом, так как на этой стадии закладывается до 75% стоимости изделия (рис. 5) [1].

Рисунок 4.
Распределение стоимости изделия (совокупный процент, связанный со стоимостью изделия в Жизненном Цикле) по фазам ЖЦИ.

Рисунок 5.
Содержание концептуального проектирования.

Заключение

Успешность внедрения C-технологии, как и любой новой информационной технологии, определяется уровнем технических средств (10%), качеством программного и информационного обеспечения (40%), человеческим фактором (50%). В наибольшей степени местные конструкторские, технологические и производственные традиции и стандарты проявляются в сфере информационного и кадрового обеспечения, поэтому внедрение C-технологии требует привлечения при ее адаптации к условиям конкретного предприятия его специалистов.

На основе приведенных принципов С-технологии в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН создана программная среда, позволяющая решать основные задачи концептуального проектирования предприятий при их реинжиниринге [8 - 11]. Дальнейшее развитие данной среды будет осуществляться с целью обеспечения доступа к ней пользователей сети INTERNET [12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Nevins J.L., Whithey D.E. Concurrent Design of Products and Processes. - McGraw-Hill, New York, 1989. - 268 p.

2. Eversheim W. et.al. Simultaneous Engineering. Erfahrungen aus der Industrie fuer die Industrie. - Springer-Verlag, 1995. - 264 p.

3. Ishi K., Goel A., Adler R.E. A Мodel of Simultaneous Engineering Design - Artificial Intelligence in Design / Ed. by J.S.Gero. - N.-Y.: Springer, 1989. - 483-501 p.

4. Reddy Y.V., Wood R.T., Cleetus Y.J. The DARPA Initiative in Concurrent Engineering - Concurrent Engineering Research in Review. - 1991/1992. - V.1. - 2-10 p.

6. Смирнов А.В., Юсупов Р.М. Совмещенное проектирование: необходимость, проблемы внедрения, перспективы. - С.-Пб.: СПИИРАН, 1992. - 38 с.

7. Smirnov A.V., Yusupov R.M. Concurrent Design - A New Information Technology of Manufacturing Development - ITAP'93: Proceedings of the International Conference on Information Technology and People. - Moscow, 1993. - Part II. - 164-170 p.

8. Smirnov A.V. Conceptual design for manufacture in concurrent engineering: Proceedings of the Conference "Concurrent Engineering: Research and Applications". - Pittsburg, Pennsylvania, 1994. - 461-466 p.

9. Рахманова И.О., Смирнов А.В., Турбин П.А., Шереметов Л.Б., Шпаков В.М. Методы и средства групповой поддержки принятия решений в динамических проблемных областях - Труды 4-й С.-Петербургской международной конференции "Региональная информатика". - СПб., 1995. - 131-141 с.

Определение понятия и рассмотрение существующих в математике теорий параллельного проектирования. Характеристика и доказательство основных свойств параллельного проектирования. Установление связи между параллельным проектированием и решением задач.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	03.04.2016
Размер файла	987,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования Иркутской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Иркутской области

по дисциплине: Математика

Выполнила: Бобова Юлия

Проверил: Юдина Ю.А.

Ангарск - 2016 год

Содержание

1. Что такое параллельное проектирование

2. Свойства параллельного проектирования

3. Решение задач с помощью параллельного проектирования

Список использованной литературы

Введение

В этой работе рассмотрен удивительный способ для решения ряда задач. Способ, не описанный в школьном учебнике. Способ, основанный на свойствах параллельного проектирования таких как: любой треугольник при помощи параллельного проектирования можно перевести в правильный; при параллельном проектировании сохраняются отношения отрезков и площадей фигур.

Работа состоит из двух частей. В первой части работы рассказывается, что же такое параллельное проектирование, формулируются и доказываются некоторые его свойства. Во второй - практической части рассмотрен ряд задач, которые можно решать с помощью параллельного проектирования.

К сожалению, параллельное проектирование очень редко используется. Оно не упоминается в школьной программе до десятого класса, хотя оно могло бы существенно упростить решение некоторых задач по геометрии. К тому же я считаю эту тему очень интересной и стоящей, ведь мы встречаемся с параллельным проектированием каждый день.

Цель: исследование параллельного проектирования и его свойств, а также применение параллельного проектирования при решении задач.

1. Изучение теории по параллельному проектированию

2. Доказательство некоторых свойств параллельного проектирования

3. Установление связи между параллельным проектированием и решением задач

4. Выполнение практической части.

1. Что такое параллельное проектирование

Ветреный летний день.

Прижавшиеся к стене

Дерево и его тень.

И тень интересней мне.

Пусть - р некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью р называется параллельной проекцией точки A на плоскость р в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость р считается точка пересечения прямой l с плоскостью р.

математика параллельный проектирование

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость р. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость р в направлении прямой l.

Определение: Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость р образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость р в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.

Мы не раз встречались с параллельным проектированием в жизни. Например, наша тень в солнечный день на ровном асфальте есть наша параллельная проекция ( солнечные лучи приближенно можно считать параллельными ввиду большой удалённости Солнца от Земли).

Параллельное проектирование позволяет получать наглядные изображения пространственных (трёхмерных) фигур на (двумерной) плоскости (рис. 4). Дело в том, что параллельное проектирование сохраняет ряд важных черт изображаемой фигуры. Перечислим основные свойства параллельного проектирования в предложении, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым прямым и отрезкам (в противном случае их проекциями являются точки.

2. Свойства параллельного проектирования

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка - отрезок.

Свойство 2. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой.

Свойство 3. Длины проекций параллельных отрезков или отрезков лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам этих отрезков

Доказательство свойства №3. Пусть АВ и СD - отрезки не параллельные направлению проектирования l ; А`, B`, C`, D` - проекции точек А, В, С, D соответственно на плоскость а в направлении l . Если А` B` и C` D` - один и тот же отрезок, то АВ = СD и доказываемое утверждение очевидно. Пусть А` B` и C`D`различны. Рассмотрим сначала случай, когда проектируемые отрезки лежат на одной прямой (рис. 10). Тогда их проекции лежат на линии пересечения плоскости а и плоскости, проходящей через прямую АВ параллельно направлению проектирования l. Применяя известную теорему о пропорциональных отрезках, получим, что АВ :CD = A` B` : C` D`.

Теперь рассмотрим случай, когда отрезки АВ и СD параллельны, а их проекции различны (рис. 11). Возьмём на продолжении отрезка СD за точку С точку Е такую, что СЕ = АВ. Так как (СЕ) ll (AB), но четырёхугольник АВЕС - параллелограмм в плоскости, проходящей через прямые АВ и СD ( по признаку параллелограмма), следовательно, (АС) ll (BE). Пусть Е` - проекция точки Е на плоскость а в направлении l. По свойству №2 (A` C`) ll (B` E`) и (A` B`) ll (C` E`) ( так как (АС) ll (BE) и (АВ) ll (CE)), но (A`B`) ll (C`D`), значит, Е` принадлежит (C`D`) и, так как A`B`E`C` - параллелограмм, А`B` = C`E`. Итак равенство АВ : СD = A`B` : C`D` равносильно равенству СЕ : ЕD = A`B` : C`D`, тем самым мы свели рассматриваемый случай к разработанному выше.

Свойство 4. При параллельном проектировании сохраняется отношения площадей двух любых фигур, если направление проектирования не параллельно плоскостям фигур.

Свойство 5. Любой треугольник можно рассматривать как параллельную проекцию данного треугольника с точностью до подобия.

Доказательство свойства 5: Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости р Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости р. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость р в направлении прямой l.

3. Решение задач с использованием параллельного проектирования

Задача №1. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Решение: Изобразим на плоскости в (рис. 11) и мысленно параллельно спроектируем его на плоскость б так, чтобы треугольник AMD перешел в A1M1D1 равнобедренный треугольник (рис.12).

Из свойств параллельного проектирования следует, что проекцией трапеции ABCD является трапеция A1B1C1D1, то есть B1C1 // A1D1. Далее, так как треугольник A1M1D1 равнобедренный, то его высота M1H1 совпадает с медианой и является осью симметрии треугольника.

При симметрии относительно прямой M1H1 точка A1 переходит в точку D1, поэтому прямая A1M1 переходит в прямую D1M1 , а прямая B1C1 переходит в себя, так как она перпендикулярна оси симметрии.

Следовательно, точка C1 переходит в точку B1, прямая A1C1 переходит в прямую B1D1, а поэтому N1 точка пересечения прямых A1C1 и B1D1 находится на оси симметрии, то есть на прямой M1H1.

В результате доказано, что для трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Поэтому при обратном параллельном проектировании трапеции A1B1C1D1 в трапецию ABCD точки M1, P1, N1, H1 , лежащие на одной прямой, проектируются соответственно в точку M пересечения прямых AB и CD, в точку P - середину основания BC, в точку N пересечения диагоналей AC и BD и в точку H - середину основания AD, причем точки M, P, N, H также лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

1. Анализ теоретического материала по параллельному проектированию позволил узнать свойства и область применения параллельного проектирования.

2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные можно решить с помощью параллельного проектирования, сэкономив при этом и время, и силы.

3. Я узнала много нового и интересного, работая над данной темой. Многие задачи оказываются не такими трудными, как казалось бы. Это действительно занимательно и увлекательно. Так же эта прекрасная тема пригодится мне в будущем, при изучении стереометрии в старших классах.

Список литературы

Подобные документы

Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.

курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011

Основные понятия и предложения. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Задача о дополняемости. Доказательство замкнутости ядра. Формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число.

дипломная работа [105,7 K], добавлен 08.08.2007

Ознакомление с принципами параллельного переноса, растяжения и сжатия функции y=f(x) вдоль осей Ох и Оу. Рассмотрение правил симметрического отображения функции относительно осей координат. Особенности сложения и умножения ординат точек графиков.

презентация [356,6 K], добавлен 16.12.2011

Сущность и графическое отображение игры на преследование, ее математический смысл и формулирование соответствующих теорем. Стратегия параллельного сближения и ее обоснование. Порядок преследования на плоскости с одним или несколькими преследователями.

творческая работа [24,9 K], добавлен 03.01.2010

Сущность и структура орнамента, его предназначение и классификация (по характеру композиции и поверхности, содержанию элементов, количеству цветов). Особенности построения орнамента с помощью симметрии относительно прямой и параллельного переноса.

Зато я остановлюсь здесь более подробно на вопросе о применении к правильному изготовлению чертежей, необходимому как для физиков, так и для математиков. Действительно, коль скоро речь идет о параллельном проектировании, то в основе всегда лежат только аффинные преобразования пространства. К сожалению, в этой области правильного изображения пространственных фигур на плоском чертеже поразительно много грешат; как в математических книгах при изображении пространственных конфигураций, так и в книгах по физике при изображении аппаратов вы можете найти совершенно невероятные ошибки. Особенно часто бывает—я привожу только один пример, — что при изображении шара экватор чертят в форме двуугольника из дуг круга (рис. 55, слева). Это, конечно, является полным извращением действительности, ибо на самом деле, как мы сейчас увидим, экватор всегда следует изображать в виде эллипса.

Принцип геометрически правильного изображения заключается в том, что фигуру, которую следует изобразить, проектируют на плоскость чертежа прямолинейными лучами, исходящими из одной точки. Наиболее простые соотношения получаются в том случае, когда представляют себе этот центр проектирования удаленным в бесконечность, т. е. когда изображение выполняют при помощи параллельной связки лучей; это и является тем случаем, который нас здесь интересует. Впрочем, эти разъяснения относятся к области начертательной геометрии.

Я ни в коем случае не думаю систематически здесь ее излагать, а хочу только показать вам, какое место она занимает в общем здании всей геометрии. Поэтому я также не всегда буду иметь возможность входить в подробности доказательств.

Начнем с исследования изображения плоской фигуры, т. е. с проекции одной какой-нибудь плоскости Е на другую плоскость Е при помощи параллельной связки лучей. Для этого начало координат О помещаем на линии пересечения плоскостей Е и Е (рис. 56) и направляем вдоль нее ось ось у проводим произвольно на плоскости Е через О, например перпендикулярно к оси и определяем ось у как проекцию оси у на плоскость Е при проектировании с помощью рассматриваемой связки параллельных лучей, так что на плоскости Е получаем некоторую, вообще говоря, косоугольную систему координат. Тогда координаты двух соответственных точек на плоскостях Е и Е оказываются связанными такими соотношениями:

где — некоторая константа, зависящая от заданного положения плоскостей и связки параллельных прямых; таким образом, мы действительно имеем здесь дело с аффинным преобразованием. Доказательство этих формул является настолько простым, что мне вряд ли приходится на нем задерживаться. Отметим, что эти уравнения имеют по сравнению с общей формулой (6) уравнений аффинного преобразования то упрощение, что здесь так что Причина этого, конечно, заключается в том, что ось является линией пересечения оригинальной и картинной плоскостей, так что на ней каждая точка совпадает со своим изображением. Можно сразу получить все существенные свойства нашего отображения, специализируя для случая плоскости все теоремы, выведенные раньше для пространства; так, например, каждой окружности на Е соответствует эллипс на Е и т. д.

Теперь представляется вполне естественным задать обратный вопрос: можно ли любые две плоскости Е, Е, связанные заданным аффинным соответствием, так расположить друг относительно друга, чтобы одна из них получалась из другой посредством некоторого параллельного проектирования.

Для решения этого вопроса будем, исходить из произвольной окружности на плоскости Е и соответствующего ей эллипса на плоскости Е (вместо этого мы могли бы также воспользоваться какими-нибудь двумя соответственными эллипсами). Центру М окружности соответствует центр М эллипса (рис. 57).

Перенесем теперь эту окружность из плоскости Е в плоскость Е, совмещая ее центр с точкой тогда она либо пересечет эллипс в четырех точках, либо не будет иметь с ним ни одной общей точки. Промежуточный случай касания мы ради простоты оставляем здесь без рассмотрения.

В первом случае, показанном на рисунке, рассматриваем оба диаметра эллипса и которые проходят через упомянутые четыре точки пересечения, лежащие на плоскости им соответствуют в силу нашего аффинного преобразования два диаметра окружности на плоскости Е, которым они равны по построению. Поэтому, вообще, соответственные отрезки, лежащие на прямых и , а также на прямых оказываются равными согласно общему свойству аффинных отображений (см. 4) на с. 112).

Совмещая теперь плоскость Е с Е так, чтобы точка М совпала с М и чтобы совпали прямые одной из названных пар, например, чтобы совпала с а затем выводя плоскость Е за пределы Е в Пространство поворотом вокруг этой прямой как вокруг оси, получаем некоторое аффинное отображение одной плоскости на другую, при котором каждая точка линии пересечения соответствует себе самой.

Тогда легко можно показать — я опять-таки не останавливаюсь на подробностях доказательства, — что все прямые, попарно соединяющие соответственные точки плоскостей, параллельны между собой, каков бы ни был угол, образованный этими плоскостями, т. е. что аффинное отображение плоскостей действительно может быть произведено параллельным проектированием.

Применение метода проектов на уроках математики

Параллельная проекция и ее свойства

Автор: Михайлова Мария Борисовна, преподаватель математики

S пр = S cos φ

Цели проекта

Цели урока:

ознакомление учащихся с параллельной проекцией,
подведение их к открытию свойств параллельной проекции,
формирование первичных умений решать задачи, используя свойства параллельной проекции,
создание условий для формирования аналитических способностей (умений сравнивать, сопоставлять, делать выводы и умозаключения).

Оборудование урока:

Место проведения урока:

Организационный момент
Изучение нового материала – параллельная проекция
Исследовательские задачи на открытие свойств параллельной проекции (лабораторная работа №1)
Углубление и систематизация знаний – свойства параллельной проекции
Первичное закрепление - использование интерактивной среды
Исследовательские задачи применение свойств параллельной проекции (лабораторная работа №2)
Изучение нового материала – ортогональная проекция (использование интерактивной среды)
Исследовательские задачи на изучение свойств ортогональной проекции (лабораторная работа №3)
Итог урока

1.Организационный момент

Урок посвящен параллельной проекции и ее свойствам .
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.
Сегодня первый урок по параллельному проектированию – рассмотрим параллельную проекцию и ее частные случаи прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проектирование.
Умение изображать пространственные фигуры необходимо не только будущему математику, физику, инженеру, конструктору, но и скульптору, архитектору, художнику, дизайнеру и вообще каждому человеку. Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, вы знакомитесь с законами восприятия окружающих предметов, приобретаете необходимые практические навыки, формируете свои пространственные представления.
Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнение чертежа, и от того, насколько правильно он выполнен, во многом зависит успешность решения самой задачи.

2. Изучение нового материала

Метод параллельного проектирования

Дана плоскость α и прямая l, задающая направление проектирования.
Зададим фигуру, которую надо спроектировать (отрезок AB ). Через точки А и В проведем прямые, параллельные l и пересекающие плоскость α в точках A 1 , B 1 .
Отрезок A 1 B 1 – проекция АВ на плоскость α (рис.1). Обозначается A 1 B 1 =пр α AB .

Параллельные проекции точек на плоскость проекций П 1

Кликните тут для просмотра картинки

Различают прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проектирование, в зависимости от угла, образованного направлением проектирования с плоскостью проекций.

3. Лабораторная работа №1 на открытие инвариантных свойств параллельной проекции

Исследовательские задачи

Чем является проекция точки на плоскость при параллельном проектировании?
Определяет ли одна проекция точки ее положения в пространстве?
Чем является проекция прямой на плоскость при параллельном проектировании?
В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка?
Сколько проекций точек, принадлежащих прямой надо построить, чтобы построить проекцию саму прямую?

Исследовательские задачи

4. Углубление и систематизация знаний Инвариантные свойства параллельной проекции

Проекция точки на плоскость есть точка.

Рис. 4 . Параллельные проекции точек на плоскость проекций П 1

Одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как может быть проекцией любой точки, принадлежащей прямой параллельной направлению проектирования.

2. Проекцией прямой на плоскость есть прямая – свойство прямолинейности . Проекция прямой в общем случае прямая, прямая вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования.

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой – свойство принадлежности .

Рис. 5. Инвариантные свойства параллельного проецирования

Следствие из пп. 2 и 3.

Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек.

4 . Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций (рис.6)

Кликните тут для просмотра картинки

5. Проекции параллельных прямых параллельны свойство сохранения параллельности .

Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 7):
Если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 5):

6. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости П параллельной плоскости проекций (например, П 1 ), то проекция этой фигуры на плоскость П 1 равна самой фигуре

7. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций

5. Первичное закрепление изученного материала

5.1. Параллельное проектирование

5.2. Свойства параллельной проекции

6. Лабораторная работа №2 применение свойств параллельной проекции

Исследовательские задачи
Внимание: 1. Подумайте, проанализируйте чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов параллельного проектирования.
2. Подумайте, сохраняются ли рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проектирования при изменении направлении проецирования.
3. Какой фигурой является проекция плоского многоугольника?

Ответ:

Плоский многоугольник в общем случае проектируется в многоугольник с тем же числом вершин. Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны.

Исследовательские задачи

4. Какие фигуры могут быть параллельными проекциями двух скрещивающихся прямых?
5. Точки A’, B’ являются параллельными проекциями точек A, B . AA’ = a, BB’ = b. Точка C делит отрезок AB в отношении m : n . Найдите расстояние между точкой C и ее проекцией C’.

Ответ:

Две пересекающиеся прямые; две параллельные прямые; прямая и точка, ей не принадлежащая.

Исследовательские задачи

6. Докажете, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Подсказка - рисунок

Подсказка –

доказательство

Пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π (рис. 10). Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB 1 C так, чтобы точка B 1 не принадлежала плоскости π . Обозначим через l прямую, проходящую через точки B 1 и B . Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB 1 C на плоскость π в направлении прямой l .

7. Ортогональная проекция

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, когда направление проектирования s перпендикулярно плоскости проекции П .

В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции.

Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя AB 2 ║ A ’ B ’ (рис.8), получим из прямоугольного треугольника AB 2 B , что AB 2 = AB cos α или

A 1 B 1 = AB cos α.

Ортогональная проекция точки на плоскость проекций П 1

Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все рассмотренные выше свойства параллельного проектирования.

Кликните тут для просмотра картинки

Ортогональная проекция

Свойства ортогональной проекции

6. Лабораторная работа №3 применение свойств ортогональной проекции

Чем является проекция точки на плоскость при ортогональном проектировании?
Чем является проекция прямой на плоскость при ортогональном проектировании?
Чем является проекция окружности на плоскость при ортогональном проектировании?

Ответ:

Проекцией окружности на плоскость при ортогональном проектировании может быть окружность, эллипс, отрезок.

Читайте также: