Как сделать осевое сечение конуса
Обновлено: 05.07.2024
Определение. Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом .
Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении ломаной, состоящей из гипотенузы и катета, образует поверхность конуса .
Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении катета, образует фигуру, которая называется основанием конуса .
Понятно, что основание конуса есть круг с центром на оси вращения, радиус которого равен длине катета вращаемого треугольника, не совпадающего с осью вращения.
Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении гипотенузы треугольника, образует фигуру, которая называется боковой поверхностью конуса .
Гипотенуза треугольника называется образующей конуса. Длина катета, лежащего на оси вращения, называется высотой конуса.
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор , радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r . Площадь кругового сектора равна , где α - градусная мера дуги ABA ´, поэтому
Выразим α через l и r . Так как длина дуги ABA ´ равна 2πr , то , откуда . Подставив это выражение в формулу для боковой поверхности, получим
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула
Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями .
1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник , основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым .
2. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник , у которого боковые стороны являются образующими конуса.
3. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Тип урока: урок совершенствования умений и навыков. Цели урока: дидактическая: совершенствовать навыки решения задач на сечения круглых тел, совершенствовать навыки применения полученных ранее знаний .
Урок - семинар по геометрии на тему " Цилиндр, конус, усеченный конус"
Разроботка урока - семинара по геометрии на тему " Цилиндр, конус, усеченный конус".
Планы-конспекты уроков геометрии по теме Конус, сечение конуса плоскостями, вписанная и описанная пирамиды. Урок 4, 5, 6. (11 класс)
Конспекты уроков геометрии по учебнику Погорелова. 11 класс.
Урок по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус", 11 класс
Разработка урока-игры по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус." в 11 классе по геометрии.
СЕЧЕНИЕ КОНУСА И ЦИЛИНДРА
В презентации показано поэтапное построение сечений конуса и цилиндра.
Урок геометрии в 11 классе по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус"
Урок геометрии в 11 классе по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус".
Конус. Усечённый конус.
Цели:Цель преподавателя: способствовать формированию навыка решения задач по нахождению элементов конуса; показать возможность применения конуса в различных областя.
В данном видеоуроке мы напомним, какое геометрическое тело называют конусом. Вспомним о сечениях конуса. Повторим формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и его объёма. Поговорим об усечённом конусе.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Конус. Площади поверхностей. Объём"
Напомним, что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Назовём элементы конуса.
Осью конуса называется прямая вращения.
Основание конуса – круг радиуса , который равен катету треугольника вращения.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Вершина конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.
Образующая конуса – отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все образующие конуса равны между собой.
Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.
В конусе радиус основания , высота и образующая связаны следующим соотношением:
.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.
Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось.
Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.
Обратите внимание, радиус сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим формулам:
, , ,
где – длина окружности основания, – радиус основания, – образующая.
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и площади его основания.
Тогда площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^
,
где – радиус основания конуса, – его образующая.
Объём конуса равен одной третьей произведения площади основания на высоту.
Тогда его можно вычислить по формуле:
,
где – радиус основания конуса, – его высота.
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая (нижняя) называется усечённым конусом.
Усечённым конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось, высоту , радиусы оснований и , образующую . Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.
,
Площадь боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим формулам:
,
Объём усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:
,
где и – площади оснований, – высота усечённого конуса;
или ,
где – высота усечённого конуса, и – радиусы верхнего и нижнего оснований.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задача первая. Радиус основания конуса равен см, высота конуса равна см. Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.
Задача вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с площадью основания см 2 и углом наклона бокового ребра к основанию, равным . Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.
Задача третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см, вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с высотой см так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём параллелепипеда. В ответе запишите значение .
Задача четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого конуса равны соответственно см, см и см. Вычислите его высоту.
ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Чтобы научиться строить сечение конуса плоскостями, перпендикулярными его основанию, нарисуйте вертикальный конус в перспективе и сделайте четыре сечения конуса параллельными вертикальными плоскостями, расположенными на равном расстоянии друг от друга.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ. Рассмотрите рисунок ортогональных проекций конуса, рассеченного параллельными вертикальными плоскостями, на рис. 3.107. Сечение конуса вертикальной плоскостью, проходящей через его вершину, – треугольник, такое сечение вы уже строили в предыдущем задании. Сечения, перпендикулярные плоскости основания, но не проходящие через вершину конуса – разные по высоте гиперболы. Чтобы построить одну такую гиперболу (рис. 3.108), сначала задайте положение секущей плоскости на перспективном рисунке конуса: проведите линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания – прямую 1 – 2 (рис. 3.109). Точки 1 и 2 – характерные точки сечения, определяющие направление ветвей гиперболы.
Затем найдите верхнюю точку гиперболы (точку 3), лежащую на пересечении вертикали 6 – 3 и образующей 7 – 3. Для определения положения точек б и 7 постройте перпендикуляр к прямой 1 – 2 через центр окружности – прямую а, пересечение которой с прямой 1 – 2 и эллипсом основания даст нам искомые точки 6 и 7.
Направление прямой а определите при помощи касательных. Для этого проведите через центр окружности прямую, параллельную прямой 1 – 2, и обозначьте точки ее пересечения с эллипсом как 4 и 5. Прямые бис, касающиеся эллипса в точках 4 и 5, перпендикулярны диаметру 4 – 5, а значит и прямой 1 – 2 (рис. 3.110). Теперь проведите через центр окружности прямую а, параллельную прямым бис (уходящую с ними в одну точку схода) – это и есть искомый перпендикуляр к прямой 1 – 2. Обозначьте точки 6 и 7 (рис. 3.111).
Восстановите перпендикуляр из точки 6 и проведите образующую из точки 7 в вершину конуса – на пересечении этих прямых найдем точку 3 – верхнюю точку гиперболы (рис. 3.112). Таким образом, мы получили три точки (1, 2 и 3), определяющие положение линии сечения. Теперь проведем три вспомогательные прямые, которые позволят нам точнее изобразить гиперболу. Горизонтальная прямая, параллельная 1 – 2 и проходящая через точку 3, касается в этой точке гиперболы и определяет ее очертание в верхней части. Две прямые, проведенные через точки Г и 2′, параллельные образующим конуса из точек 4 и 5, определяют характер ветвей гиперболы. Ветви гиперболы должны постепенно приближаться к этим прямым, но не пересекать их (рис. 3. 113). Изобразите гиперболу. Проверьте симметричность полученной кривой относительно вертикальной оси 3 – 6 (рис. 3.114). Обратите внимание, что прямая 1 – 2 делит радиус основания конуса в той же пропорции, что точка верха гиперболы делит образующую конуса (в нашем примере – на равные части – 1:1). Достройте остальные сечения, проследите за изменением характера гипербол при движении секущей плоскости от края к вершине конуса: ближнее к краю сечение подобно верхней части сечения, расположенного ближе к вершине (рис. 3.115).
Используя наглядный раздаточный материал: цилиндры, призмы, пирамиды, конусы: полные и усеченный ; предметы имеющие форму конуса или усеченного конуса, учитель формирует основные понятия темы урока и добивается поставленных целей.
Урок по геометрии в 11 классе
Учитель МБОУ Евдокимовской средней общеобразовательной школы
Конус. Сечения конуса плоскостями.
Цель : 1.Продолжить формирование систематических сведений об основных видах тел вращения.
2. Разобрать определение конуса и подчиненных понятий : основание, вершина, образующая.
3.Рассмотреть сечения конуса , проходящие через вершину , в том числе осевые ,и перпендикулярные оси .
4. Способствовать развитию пространственного воображения учащихся.
Оборудование : набор геометрических тел : цилиндры, призмы, пирамиды, конусы: полные и усеченный ; предметы имеющие форму конуса или усеченного конуса.
I Организационный момент : проверить готовность класса к уроку , организовать учащихся на восприятие и выполнение работы.
II Актуализация знаний учащихся :
Давайте повторим пройденный нами материал по геометрии, вспомним курс черчения и попробуем назвать тела, которые находятся у меня на столе (учитель показывает тело – дети его называют).
(Учитель показывает пузырек из – под лекарств). Сочетанием каких геометрических тел образована форма этого предмета? (ученик выходит к доске показывает и называет составные части предмета: 2 цилиндра и усеченный конус)
Давайте внимательно посмотрим на предметы, которые находятся у нас в классе и назовем те из них которые по форме напоминают
конус или усеченный конус. ( ведро, цветочный горшок, ведерко из – под майонеза, указка.)
III Новый материал :
1. Теперь давайте попробуем дать определение конуса. (Конусом называется тело, которое состоит из круга, точки не лежащей в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга).
Как называются составные части конуса? ( основание , вершина , образующие )
Что называют образующими конуса ? ( отрезки , соединяющие вершину конуса с точками окружности основания )
Что называется высотой конуса ? ( перпендикуляр , опущенный из его вершины на плоскость основания )
Из чего состоит поверхность конуса? ( из основания и боковой поверхности )
2. Прямой конус
Так же как в школьном курсе геометрии мы рассматриваем только прямые цилиндры , конусы мы будем рассматривать тоже прямые. ( учитель показывает прямые конусы )
Какой же конус мы будем называть прямым ?
(если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания ).
Что мы можем сказать о высоте прямого конуса (основание высоты совпадает с центром основания ) , об образующих прямого конуса (равны между собой ).
Что называется осью конуса ? ( прямая , содержащая его высоту )
А как же получить наглядное представление о прямом конусе, как о теле вращения? ( вращение прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси ).
Теперь рассмотрим вопрос о сечениях конуса плоскостями.
Каким образом можно провести сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?
а) сечение проходящее через вершину конуса и не содержащее ось конуса ( разобрать по рис. 444 учебника )
Задаются вопросы : что собой представляет это сечение ? (треугольник )
Какой треугольник и почему? ( равнобедренный , т. к. боковые стороны являются образующими конуса )
б) сечение проходящее через вершину и ось конуса. (рис. 445 учебника, рис.1 на доске ученик строит сечение и комментирует )
Вопросы : как называется такое сечение ? ( осевое )
Что мы можем сказать об этом сечении? ( равнобедренный треугольник, где боковые стороны являются образующими конуса; основание треугольника – диаметр основания конуса )
Р ешаются задачи по рисунку 1 ( устно )
N 9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.
Решение: из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора l 2 = 3 2 + 4 2 = 25 ; l = 5 м
N 10 Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите высоту.
Решение : H= l cos 30 0 = l /2
Для решения задачи N12 вызвать ученика к доске.
N 12 В равностороннем конусе ( в осевом сечении правильный треугольник ) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен .(рис 467 учебник)
Решение : l= 2R ; S=1/2 (4R 2 sin ) = 2R 2 sin .
Мы рассмотрели сечения конуса плоскостями, проходящими через вершину конуса. А что будет представлять собой сечение конуса плоскостью параллельной плоскости основания конуса.
( круг ). Давайте докажем это.
Преобразование гомотетии относительно вершины конуса совмещает сечение конуса с основанием конуса. А так как основанием конуса является круг, следовательно , это сечение тоже круг ; а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса.
Это Теорема 20.2 Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
Задача N 15 ( разобрана в учебнике ) вызвать ученика для решения (по рис 446 учебника и рис. 2 на доске ).
Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.
Решение : d / H = r / R, следовательно r = Rd / H. S = R 2 d 2 / H 2 .
У сеченный конус.
Обратите внимание, на какие две части разбивает конус плоскость параллельная основанию конуса. Рис 2.
( на меньший конус и усеченный конус )
б ) изобразите у себя в тетрадях усеченный конус и постройте его осевое сечение.( учитель строит осевое сечение на доске ).
Что из себя представляет осевое сечение усеченного конуса? (равнобокая трапеция с основаниями равными диаметрам оснований усеченного конуса )
Решение : по теореме Пифагора :
l 2 = H 2 +(R2-R1) 2
(эту формулу в рамочку )
Задача 19 ( устно по рис. 3) Радиусы оснований усеченного конуса 3м и 6м, высота 4м. Найдите образующую.
Решение : l 2 = 4 2 +( 6-3 ) 2 = 16+9 = 25 ; l = 5м
Задача 21 ( письменно ученик у доски по рис. 3 ) Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60 0 . Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каждый из радиусов.
Решение: пусть х – один радиус, тогда 2х – другой радиус. АК = АО – А1О1 = 2х – х = х. Х = 2а cos 60 0 = а – один радиус, 2а – другой радиус.
Задача 23 ( письменно по рис .3 ) Площади оснований усеченного конуса 4дм 2 и 16дм 2 . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
Р ешение: по теореме Фалеса получаем среднюю линию трапеции . Средняя линия трапеции ( диаметр сечения ) равна полусумме оснований , в данном случае сумме радиусов оснований. Следовательно радиус сечения равен полусумме радиусов оснований. Из формулы для площади круга находим радиусы оснований :
Давайте вспомним, а какие предметы по форме напоминающие конус или усеченный конус мы встречаем в повседневной жизни.
V Д / З : п. 184 – 185 , N 11, N 20, N 22.
Приложение 1
Оформление доски перед началом урока
К онус. Сечения конуса плоскостями.
Д/з § 20 п. 184-185
№ 11, 20, 22
Оформление доски в процессе урока
К
l 2 =H 2 +(R-R1) 2
онус. Сечения конуса плоскостями.
Д/з § 20 п. 184-185
№ 11, 20, 22
Читайте также: